Pletismo

En álgebra, el pletismo es una operación sobre funciones simétricas introducida por Dudley E. Littlewood ^[1] , quien la denotó por { λ } ⊗ { μ }. La palabra "pletismo" para esta operación (de la palabra griega πληθυσμός que significa "multiplicación") fue introducida más tarde por Littlewood (1950, p. 289, 1950b, p. 274), quien dijo que el nombre fue sugerido por ML Clark.

Si las funciones simétricas se identifican con operaciones en anillos lambda , entonces el pletismo corresponde a la composición de operaciones.

En la teoría de la representación

Sea V un espacio vectorial sobre los números complejos , considerado como una representación del grupo lineal general GL( V ). Cada diagrama de Young λ corresponde a un funtor de Schur L _λ (-) sobre la categoría de representaciones GL( V ). Dados dos diagramas de Young λ y μ, considérese la descomposición de L _λ (L _μ ( V )) en una suma directa de representaciones irreducibles del grupo. Por la teoría de representación del grupo lineal general sabemos que cada sumando es isomorfo a para un diagrama de Young . Por lo tanto, para algunas multiplicidades no negativas existe un isomorfismo. ${\displaystyle L_{\nu }(V)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle a_{\lambda ,\mu ,\nu }}$

${\displaystyle L_{\lambda }(L_{\mu }(V))=\bigoplus _{\nu }L_{\nu }(V)^{\oplus a_{\lambda ,\mu ,\nu }}.}$

El problema del pletismo (externo) es encontrar una expresión para las multiplicidades . ^[2] ${\displaystyle a_{\lambda ,\mu ,\nu }}$

Esta formulación está estrechamente relacionada con la pregunta clásica. El carácter de la representación GL( V ) L _λ ( V ) es una función simétrica en variables dim( V ), conocida como el polinomio de Schur s _λ correspondiente al diagrama de Young λ. Los polinomios de Schur forman una base en el espacio de funciones simétricas. Por lo tanto, para entender el pletismo de dos funciones simétricas sería suficiente conocer sus expresiones en esa base y una expresión para un pletismo de dos polinomios de Schur arbitrarios { s _λ }⊗{ s _μ } . El segundo dato es precisamente el carácter de L _λ ( L _μ ( V )).

Referencias

1. Littlewood  (1936, pág. 52, 1944, pág. 329)
2. Weyman, Jerzy (2003). Cohomología de haces vectoriales y sicigias . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511546556. ISBN . 9780511546556.

• Littlewood, DE (1936), "Matrices invariantes y concomitantes polinomiales", J. London Math. Soc. , 11 (1): 49–55, doi :10.1112/jlms/s1-11.1.49, Zbl  0013.14602
• Littlewood, DE (1944), "Teoría invariante, tensores y caracteres de grupo", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 239 (807): 305–365, doi : 10.1098/rsta.1944.0001 , JSTOR  91389, MR  0010594
• Littlewood, Dudley E. (1950), La teoría de los caracteres grupales y las representaciones matriciales de los grupos, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4067-2, Sr.  0002127
• Littlewood, DE (1950b), Álgebra universitaria, Melbourne, Londres, Toronto: William Heinemann, Ltd., MR  0045079