Evolucionar

Centers of curvature of a curve

La evoluta de una curva (parábola azul) es el lugar de todos sus centros de curvatura (rojo).

La evoluta de una curva (en este caso, una elipse) es la envolvente de sus normales.

En la geometría diferencial de curvas , la evoluta de una curva es el lugar geométrico de todos sus centros de curvatura . Es decir, cuando se dibuja el centro de curvatura de cada punto de una curva, la forma resultante será la evoluta de esa curva. La evoluta de un círculo es, por tanto, un único punto en su centro. ^[1] De manera equivalente, una evoluta es la envolvente de las normales a una curva.

La evoluta de una curva, una superficie o, más generalmente, una subvariedad , es la cáustica de la función normal. Sea M una subvariedad regular y uniforme en R ⁿ . Para cada punto p en M y cada vector v , con base en p y normal a M , asociamos el punto p + v . Esto define una función lagrangiana , llamada función normal. La cáustica de la función normal es la evoluta de M . ^[2]

Las evolutas están estrechamente relacionadas con las involutas : una curva es la evoluta de cualquiera de sus involutas.

Historia

Apolonio ( c. 200 a. C.) analizó las evolutas en el Libro V de sus Cónicas . Sin embargo, a veces se atribuye a Huygens el mérito de ser el primero en estudiarlas (1673). Huygens formuló su teoría de las evolutas en algún momento alrededor de 1659 para ayudar a resolver el problema de encontrar la curva tautocrona , que a su vez lo ayudó a construir un péndulo isócrono. Esto se debió a que la curva tautocrona es una cicloide , y la cicloide tiene la propiedad única de que su evoluta también es una cicloide. La teoría de las evolutas, de hecho, permitió a Huygens lograr muchos resultados que luego se encontrarían utilizando el cálculo. ^[3]

Evolución de una curva paramétrica

Si es la representación paramétrica de una curva regular en el plano con su curvatura en ningún lugar igual a 0 y su radio de curvatura y la normal unitaria apuntando al centro de curvatura, entonces describe la evoluta de la curva dada. ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle \rho (t)}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$$

Porque y se obtiene y ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$ $${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

Propiedades de la evoluta

La normal en el punto P es la tangente en el centro de curvatura C.

Para obtener las propiedades de una curva regular es ventajoso utilizar como parámetro la longitud del arco de la curva dada, debido a y (ver fórmulas de Frenet-Serret ). Por lo tanto, el vector tangente de la evoluta es: De esta ecuación se obtienen las siguientes propiedades de la evoluta: ${\displaystyle s}$ ${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$ ${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$ ${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$ $${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$

• En los puntos en los que la evoluta no es regular , es decir, en los puntos de máxima o mínima curvatura ( vértices de la curva dada) la evoluta tiene cúspides . (Véase los diagramas de las evolutas de la parábola, la elipse, la cicloide y la nefroide.) ${\displaystyle \rho '=0}$
• Para cualquier arco de la evoluta que no incluya una cúspide, la longitud del arco es igual a la diferencia entre los radios de curvatura en sus puntos extremos. Este hecho conduce a una demostración sencilla del teorema de Tait-Kneser sobre la anidación de círculos osculadores . ^[4]
• Las normales de la curva dada en los puntos de curvatura distinta de cero son tangentes a la evoluta, y las normales de la curva en los puntos de curvatura cero son asíntotas de la evoluta. Por lo tanto: la evoluta es la envolvente de las normales de la curva dada.
• En los tramos de la curva con o la curva es una involuta de su evoluta. (En el diagrama: La parábola azul es una involuta de la parábola semicúbica roja, que en realidad es la evoluta de la parábola azul.) ${\displaystyle \rho '>0}$ ${\displaystyle \rho '<0}$

Demostración de la última propiedad:
Sea en la sección de consideración. Una involuta de la evoluta puede describirse de la siguiente manera: donde es una extensión de cuerda fija (véase Involuta de una curva parametrizada ). Con y se obtiene Esto significa: Para la extensión de cuerda se reproduce la curva dada. ${\displaystyle \rho '>0}$ $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$ ${\displaystyle l_{0}}$
${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$ ${\displaystyle \rho '>0}$ $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$ ${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$

• Las curvas paralelas tienen la misma evoluta.

Demostración: Una curva paralela con una distancia fuera de la curva dada tiene la representación paramétrica y el radio de curvatura (ver curva paralela ). Por lo tanto, la evoluta de la curva paralela es ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ ${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$ $${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$$

Ejemplos

Evolución de una parábola

Para la parábola con representación paramétrica se obtiene de las fórmulas anteriores las ecuaciones: que describe una parábola semicúbica ${\displaystyle (t,t^{2})}$ $${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,}$$

Evoluta (roja) de una elipse

Evolución de una elipse

Para la elipse con representación paramétrica se obtiene: ^[5] Estas son las ecuaciones de un astroide no simétrico . La eliminación de parámetros conduce a la representación implícita ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ $${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}$$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$$

Cicloide (azul), su círculo osculador (rojo) y evoluta (verde).

Evoluta de una cicloide

Para la cicloide con representación paramétrica la evoluta será: ^[6] que describe una réplica transpuesta de sí misma. ${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$ $${\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$$ $${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$$

La evoluta de la nefroide grande (azul) es la nefroide pequeña (roja).

Evolución de curvas logarítmicas estéticas

La evoluta de una curva log-estética es otra curva log-estética. ^[7] Un ejemplo de esta relación es que la evoluta de una espiral de Euler es una espiral con ecuación de Cesáro . ^[8] ${\displaystyle \kappa (s)=-s^{-3}}$

Evoluciones de algunas curvas

La evolutiva

• de una parábola es una parábola semicúbica (ver arriba),
• de una elipse es un astroide no simétrico (ver arriba),
• de una linea es un punto ideal ,
• de una nefroide es una nefroide (la mitad de grande, ver diagrama),
• de un astroide es un astroide (el doble de grande),
• de un cardioide es un cardioide (un tercio más grande),
• de un círculo es su centro,
• de un deltoides es un deltoides (tres veces más grande),
• de una cicloide es una cicloide congruente,
• de una espiral logarítmica es la misma espiral logarítmica,
• de una tractriz es una catenaria.

Curva radial

Una curva con una definición similar es el radial de una curva dada. Para cada punto de la curva, tome el vector desde el punto hasta el centro de curvatura y trasládelo de modo que comience en el origen. Entonces, el lugar geométrico de los puntos al final de dichos vectores se llama radial de la curva. La ecuación para el radial se obtiene eliminando los términos x e y de la ecuación de la evoluta. Esto produce $${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Evolución del círculo". MathWorld .
2. Arnold, VI; Varchenko, AN; Gusein-Zade, SM (1985). La clasificación de puntos críticos, cáusticos y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, vol. 1. Birkhäuser . ISBN . 0-8176-3187-9.
3. Yoder, Joella G. (2004). Desenrollando el tiempo: Christiaan Huygens y la matematización de la naturaleza . Cambridge University Press .
4. Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013). "Curvas osculantes: en torno al teorema de Tait-Kneser". The Mathematical Intelligencer . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. MR  3041992.
5. R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Banda 1, Springer-Verlag, 1955, pág. 268.
6. Weisstein, Eric W. "Evoluta cicloide". MundoMatemático .
7. Yoshida, N., y Saito, T. (2012). "Las evoluciones de curvas planas logarítmicas y los límites dibujables de los segmentos de curva". Diseño asistido por ordenador y aplicaciones . 9 (5): 721–731. doi :10.3722/cadaps.2012.721-731.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. "Evolución de la espiral de Euler". Wiki de Linebender . 2024-03-11.

• Weisstein, Eric W. "Evolute". MathWorld .
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Evolute", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Yates, RC: Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Evolutes", págs. 86 y siguientes.
• Evolucionar en curvas 2d.