Ínfimo esencial y supremo esencial

Infimum y supremum en casi todas partes

En matemáticas , los conceptos de ínfimo esencial y supremo esencial están relacionados con las nociones de ínfimo y supremo , pero adaptados a la teoría de la medida y al análisis funcional , donde a menudo se trata con afirmaciones que no son válidas para todos los elementos de un conjunto , sino más bien para casi todas partes , es decir, excepto en un conjunto de medida cero .

Si bien la definición exacta no es inmediatamente sencilla, intuitivamente el supremo esencial de una función es el valor más pequeño que es mayor o igual a los valores de la función en todas partes mientras se ignora lo que la función hace en un conjunto de puntos de medida cero. Por ejemplo, si uno toma la función que es igual a cero en todas partes excepto en donde entonces el supremo de la función es igual a uno. Sin embargo, su supremo esencial es cero ya que (bajo la medida de Lebesgue ) uno puede ignorar lo que la función hace en el único punto donde es peculiar. El ínfimo esencial se define de manera similar. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(0)=1,}$ ${\displaystyle f}$

Definición

Como suele suceder en las cuestiones de teoría de la medida, la definición de supremo e ínfimo esencial no comienza preguntando qué hace una función en los puntos (es decir, la imagen de ), sino más bien preguntando por el conjunto de puntos donde es igual a un valor específico (es decir, la preimagen de bajo ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

Sea una función de valor real definida en un conjunto El supremo de una función se caracteriza por la siguiente propiedad: para todos y si para algunos tenemos para todos entonces Más concretamente, un número real se llama cota superior para si para todo lo que es, si el conjunto está vacío . Sea el conjunto de cotas superiores de y defina el ínfimo del conjunto vacío por Entonces el supremo de es si el conjunto de cotas superiores no está vacío, y en caso contrario. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \sup f\leq a.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X;}$ $${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$ $${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}}$$ ${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle \sup f=+\infty }$

Supongamos ahora además que es un espacio de medida y, para simplificar, supongamos que la función es medible . De manera similar al supremo, el supremo esencial de una función se caracteriza por la siguiente propiedad: para - casi todos y si para algunos tenemos para - casi todos entonces Más concretamente, un número se llama ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$ ${\displaystyle a}$límite superior esencial desi el conjunto mediblees un conjunto de-medida cero,^[a]Es decir, sipara-casi todosenSea el conjunto de límites superiores esenciales. Entonces el ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}$$El supremo esencial se define de manera similar a siyde lo contrario. $${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$ ${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Exactamente de la misma manera se define elínfimo esencial como supremo dellímite inferior esencial s, es decir, si el conjunto de límites inferiores esenciales no está vacío, y comoen caso contrario; nuevamente hay una expresión alternativa como (siendo estosi el conjunto está vacío). $${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$ ${\displaystyle -\infty }$

Ejemplos

En la línea real considere la medida de Lebesgue y su álgebra 𝜎 correspondiente. Defina una función mediante la fórmula ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

El supremo de esta función (valor mayor) es 5 y el ínfimo (valor menor) es −4. Sin embargo, la función toma estos valores solo en los conjuntos y respectivamente, que son de medida cero. En todos los demás conjuntos, la función toma el valor 2. Por lo tanto, el supremo esencial y el ínfimo esencial de esta función son ambos 2. ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{-1\},}$

Como otro ejemplo, considere la función donde denota los números racionales . Esta función no está acotada ni por arriba ni por abajo, por lo que su supremo e ínfimo son y respectivamente. Sin embargo, desde el punto de vista de la medida de Lebesgue, el conjunto de los números racionales es de medida cero; por lo tanto, lo que realmente importa es lo que sucede en el complemento de este conjunto, donde la función está dada como Se deduce que el supremo esencial es mientras que el ínfimo esencial es $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \arctan x.}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle -\pi /2.}$

Por otra parte, considérese la función definida para todos los reales Su supremo esencial es y su ínfimo esencial es ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Por último, considere la función Entonces para cualquier y entonces y $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$ ${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

Propiedades

Si entonces y en caso contrario, si tiene medida cero entonces ^[1] ${\displaystyle \mu (X)>0}$ $${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

Si los supremos esenciales de dos funciones y son ambos no negativos, entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

Dado un espacio de medida, el espacio que consiste en todas las funciones mensurables que están acotadas casi en todas partes es un espacio seminormado cuya seminorma es el supremo esencial del valor absoluto de una función cuando ^{[nb 1]} ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$

Véase también

• Gama esencial
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita

Notas

1. Para funciones no mensurables, la definición debe modificarse suponiendo que está contenida en un conjunto de medida cero. Alternativamente, se puede suponer que la medida es completa . ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$

1. Si entonces ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup |f|=-\infty .}$

Referencias

1. Dieudonné J. : Tratado sobre el análisis, vol. II. Associated Press, Nueva York 1976. pág. 172f.

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