Tipo de grupo simple finito no clasificado como Lie, cíclico o alterno
En la clasificación matemática de los grupos finitos simples , hay una serie de grupos que no encajan en ninguna familia infinita. Estos se denominan grupos esporádicos simples , grupos finitos esporádicos o simplemente grupos esporádicos .
Un grupo simple es un grupo G que no tiene ningún subgrupo normal excepto el grupo trivial y el propio G. El teorema de clasificación mencionado establece que la lista de grupos simples finitos consta de 18 familias infinitas numerables [a] más 26 excepciones que no siguen tal patrón sistemático. Estas 26 excepciones son los grupos esporádicos. El grupo de Tits a veces se considera un grupo esporádico porque no es estrictamente un grupo de tipo Lie , [1] en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos.
El grupo de los monstruos , o gigante amistoso , es el más grande de los grupos esporádicos, y todos los otros grupos esporádicos, excepto seis, son subcocientes de él. [2]
Nombres
Cinco de los grupos esporádicos fueron descubiertos por Émile Mathieu en la década de 1860 y los otros veintiuno se encontraron entre 1965 y 1975. Se predijo la existencia de varios de estos grupos antes de que se los construyera. La mayoría de los grupos reciben el nombre de los matemáticos que predijeron su existencia por primera vez. La lista completa es: [1] [3] [4]
El diagrama muestra las relaciones de subcociente entre los 26 grupos esporádicos . Una línea de conexión significa que el grupo inferior es subcociente del superior y no hay subcociente esporádico entre ellos. Las generaciones de Robert Griess:1º,2do,3º,Paria
Varias construcciones para estos grupos fueron compiladas por primera vez en Conway et al. (1985), incluyendo tablas de caracteres , clases de conjugación individuales y listas de subgrupos máximos , así como multiplicadores de Schur y órdenes de sus automorfismos externos . Estos también están listados en línea en Wilson et al. (1999), actualizados con sus presentaciones grupales y semipresentaciones. También se han calculado los grados de representación fiel mínima o caracteres de Brauer sobre campos de característica p ≥ 0 para todos los grupos esporádicos, y para algunos de sus grupos de cobertura. Estos se detallan en Jansen (2005).
Una excepción adicional en la clasificación de los grupos finitos simples es el grupo de Tits T , que a veces se considera de tipo Lie [5] o esporádico —es casi pero no estrictamente un grupo de tipo Lie [6] — razón por la cual en algunas fuentes el número de grupos esporádicos se da como 27, en lugar de 26. [7] [8] En algunas otras fuentes, el grupo de Tits no se considera ni esporádico ni de tipo Lie, o ambos. [9] [ cita requerida ] El grupo de Tits es el ( n = 0)-miembro 2 F 4 (2)′ de la familia infinita de grupos conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 )′ ; por lo tanto, en sentido estricto, no es esporádico ni de tipo Lie. Para n > 0, estos grupos finitos simples coinciden con los grupos de tipo Lie 2 F 4 (2 2 n +1 ), también conocidos como grupos Ree de tipo 2 F 4 .
El término grupo esporádico se utilizó por primera vez en Burnside (1911, p. 504), donde comenta lo siguiente sobre los grupos de Mathieu: "Estos grupos simples aparentemente esporádicos probablemente merecerían un examen más minucioso del que han recibido hasta ahora" (en ese momento, los otros grupos esporádicos aún no habían sido descubiertos).
El diagrama de la derecha se basa en Ronan (2006, p. 247). No muestra los numerosos subcocientes simples no esporádicos de los grupos esporádicos.
Organización
Familia feliz
De los 26 grupos esporádicos, 20 pueden verse dentro del grupo monstruo como subgrupos o cocientes de subgrupos ( secciones ). Estos veinte han sido llamados la familia feliz por Robert Griess , y pueden organizarse en tres generaciones. [10] [b]
Primera generación (5 grupos): los grupos de Mathieu
M n para n = 11, 12, 22, 23 y 24 son grupos de permutación transitivos múltiples en n puntos. Todos son subgrupos de M 24 , que es un grupo de permutación en 24 puntos. [11]
Co 1 es el cociente del grupo de automorfismos por su centro {±1}
El Co 2 es el estabilizador de un vector de tipo 2 (es decir, de longitud 2).
Co 3 es el estabilizador de un vector de tipo 3 (es decir, longitud √ 6 )
Suz es el grupo de automorfismos que conservan una estructura compleja (módulo su centro)
McL es el estabilizador de un triángulo tipo 2-2-3
HS es el estabilizador de un triángulo tipo 2-3-3
J 2 es el grupo de automorfismos que conservan una estructura cuaterniónica (módulo su centro).
Tercera generación (8 grupos): otros subgrupos del Monstruo
Consiste en subgrupos que están estrechamente relacionados con el grupo Monstruo M : [13]
B o F 2 tiene una doble cubierta que es el centralizador de un elemento de orden 2 en M
Fi 24 ′ tiene una triple cubierta que es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3A")
Fi 23 es un subgrupo de Fi 24 ′
Fi 22 tiene una doble cubierta que es un subgrupo de Fi 23
El producto de Th = F 3 y un grupo de orden 3 es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3C")
El producto de HN = F 5 y un grupo de orden 5 es el centralizador de un elemento de orden 5 en M
El producto de He = F 7 y un grupo de orden 7 es el centralizador de un elemento de orden 7 en M .
Finalmente, el propio grupo Monster se considera parte de esta generación.
(Esta serie continúa más allá: el producto de M 12 y un grupo de orden 11 es el centralizador de un elemento de orden 11 en M .)
El grupo Tits , si se considera como un grupo esporádico, pertenecería a esta generación: hay un subgrupo S 4 × 2 F 4 (2)′ que normaliza un subgrupo 2C 2 de B , dando lugar a un subgrupo 2·S 4 × 2 F 4 (2)′ que normaliza un cierto subgrupo Q 8 del Monstruo. 2 F 4 (2)′ es también un subcociente del grupo de Fischer Fi 22 , y por tanto también de Fi 23 y Fi 24 ′, y del Bebé Monstruo B . 2 F 4 (2)′ es también un subcociente del grupo (paria) de Rudvalis Ru , y no tiene implicancias en grupos simples esporádicos excepto los ya mencionados.
Parias
Las seis excepciones son J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru y Ly , a veces conocidos como los parias . [14] [15]
Tabla de órdenes de grupos esporádicos (con grupo de los Tits)
Notas
^ Los grupos de orden primo, los grupos alternados de grado al menos 5, la familia infinita de grupos conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 )′ de grupos de tipo Lie (que contiene al grupo de Tits), y 15 familias de grupos de tipo Lie.
^ Conway et al. (1985, p. viii) organiza los 26 grupos esporádicos de la siguiente manera:
"Los grupos simples esporádicos pueden clasificarse aproximadamente como los grupos de Mathieu, los grupos reticulares de Leech, los grupos de 3-transposición de Fischer, los otros centralizadores de Monster y la media docena de grupos extraños".
^ A continuación se enumeran las semipresentaciones de los generadores estándar de cada grupo esporádico. La mayoría de los grupos esporádicos tienen múltiples presentaciones y semipresentaciones; se enumeran los ejemplos más destacados.
^ Donde y con .
Referencias
^ abc Conway y otros (1985, pág. viii)
^ Griess, Jr. (1998, pág. 146)
^ Gorenstein, Lyons y Solomon (1998, págs. 262-302)
^ por Ronan (2006, págs. 244-246)
^ Howlett, Rylands y Taylor (2001, pág. 429)
"Esto completa la determinación de generadores de matrices para todos los grupos de tipo Lie, incluidos los grupos trenzados de Steinberg, Suzuki y Ree (y el grupo Tits)".
^ Gorenstein (1979, pág. 111)
^ Conway y col. (1985, pág. viii)
^ Hartley y Hulpke (2010, pág. 106)
"Los grupos finitos simples son los componentes básicos de la teoría de grupos finitos. La mayoría se dividen en unas pocas familias infinitas de grupos, pero hay 26 (o 27 si se cuenta también el grupo Tits 2 F 4 (2)′ ) que estas familias infinitas no incluyen".
^ Wilson et al. (1999, Grupos esporádicos y grupos excepcionales de tipo Lie)
^ Griess, Jr. (1982, pág. 91)
^ Griess, Jr. (1998, págs. 54–79)
^ Griess, Jr. (1998, págs. 104-145)
^ Griess, Jr. (1998, págs. 146-150)
^ Griess, Jr. (1982, págs. 91-96)
^ Griess, Jr. (1998, págs.146, 150-152)
^ Susbido (2003, pág. 172)
Tabelle 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (Tabla 2. El descubrimiento de los grupos esporádicos)
Conway, JH (1968). "Un grupo perfecto de orden 8.315.553.613.086.720.000 y los grupos simples esporádicos". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 61 (2): 398–400. Bibcode :1968PNAS...61..398C. doi : 10.1073/pnas.61.2.398 . MR 0237634. PMC 225171 . PMID 16591697. S2CID 29358882. Zbl 0186.32401.
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1º,
2do,
3º,
Paria
