Espirógrafo

Dispositivo de dibujo geométrico

El espirógrafo es un dispositivo de dibujo geométrico que produce curvas matemáticas de ruleta de la variedad técnicamente conocida como hipotrocoides y epitrocoides . La conocida versión de juguete fue desarrollada por el ingeniero británico Denys Fisher y se vendió por primera vez en 1965.

El nombre es una marca registrada de Hasbro Inc. desde 1998, tras la compra de la empresa que había adquirido la empresa Denys Fisher. La marca Spirograph fue relanzada en todo el mundo en 2013, con sus configuraciones de producto originales, por Kahootz Toys .

Historia

Dibujar patrones con un anillo y una rueda de espirógrafo

Un vendedor ambulante en Fort Kochi, India, muestra los espirógrafos que está vendiendo.

En 1827, el arquitecto e ingeniero inglés nacido en Grecia Peter Hubert Desvignes desarrolló y promocionó un "Speiragraph", un dispositivo para crear elaborados dibujos en espiral. Un hombre llamado J. Jopling pronto afirmó haber inventado métodos similares anteriormente. ^[1] Cuando trabajaba en Viena entre 1845 y 1848, Desvignes construyó una versión de la máquina que ayudaría a prevenir falsificaciones de billetes, ^[2] ya que cualquiera de las variaciones casi infinitas de patrones de ruleta que podía producir eran extremadamente difíciles de aplicar ingeniería inversa. El matemático Bruno Abakanowicz inventó un nuevo dispositivo Spirograph entre 1881 y 1900. Se utilizó para calcular un área delimitada por curvas. ^[3]

Los juguetes de dibujo basados ​​en engranajes han existido desde al menos 1908, cuando The Marvelous Wondergraph se anunció en el catálogo de Sears . ^{[4] [5]} Un artículo que describe cómo hacer una máquina de dibujo Wondergraph apareció en la publicación Boys Mechanic en 1913. ^[6]

El juguete Spirograph definitivo fue desarrollado por el ingeniero británico Denys Fisher entre 1962 y 1964 mediante la creación de máquinas de dibujo con piezas de Mecano . Fisher exhibió su espirógrafo en la Feria Internacional del Juguete de Núremberg de 1965. Posteriormente fue producido por su empresa. Los derechos de distribución en Estados Unidos fueron adquiridos por Kenner , Inc., que lo introdujo en el mercado de Estados Unidos en 1966 y lo promocionó como un juguete creativo para niños. Kenner introdujo más tarde Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman y varios juegos de recarga. ^[7]

En 2013, la marca Spirograph fue relanzada en todo el mundo, con los engranajes y ruedas originales, por Kahootz Toys. Los productos modernos utilizan masilla removible en lugar de pasadores para mantener las piezas fijas en su lugar. El Spirograph fue Juguete del Año en 1967 y finalista del Juguete del Año, en dos categorías, en 2014. Kahootz Toys fue adquirida por PlayMonster LLC en 2019. ^[8]

Operación

El Spirograph original lanzado en los EE. UU. consistía en dos anillos de plástico de diferentes tamaños (o estatores ), con dientes de engranaje tanto en el interior como en el exterior de sus circunferencias. Una vez que cualquiera de estos anillos se mantenía en su lugar (ya sea con pasadores, con un adhesivo o con la mano), cualquiera de las varias ruedas dentadas (o rotores) proporcionadas, cada una con agujeros para un bolígrafo , se podía girar alrededor del anillo para dibujar formas geométricas. Más tarde, el Super-Spirograph introdujo formas adicionales, como anillos, triángulos y barras rectas. Todos los bordes de cada pieza tienen dientes para enganchar cualquier otra pieza; los engranajes más pequeños encajan dentro de los anillos más grandes, pero también pueden girar a lo largo del borde exterior de los anillos o incluso alrededor de ellos. Los engranajes se pueden combinar en muchas disposiciones diferentes. Los juegos a menudo incluían bolígrafos de varios colores, que podían mejorar un diseño cambiando los colores, como se ve en los ejemplos que se muestran aquí.

Los principiantes suelen hacer que los engranajes resbalen, especialmente cuando utilizan los orificios cerca del borde de las ruedas más grandes, lo que da como resultado líneas rotas o irregulares. Los usuarios experimentados pueden aprender a mover varias piezas en relación entre sí (por ejemplo, el triángulo alrededor del anillo, con un círculo "trepando" desde el anillo hasta el triángulo).

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  Animación de un espirógrafo
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  Varios diseños de Spirograph dibujados con un juego de Spirograph utilizando varios bolígrafos de diferentes colores.
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  Primer plano de una rueda de espirógrafo

Base matemática

Construcción geométrica para la explicación matemática del espirógrafo.

Consideremos un círculo exterior fijo de radio centrado en el origen. Un círculo interior más pequeño de radio está rodando en su interior y es continuamente tangente a él. Se supondrá que nunca se deslizará (en un espirógrafo real, los dientes de ambos círculos evitan dicho deslizamiento). Ahora supongamos que un punto que se encuentra en algún lugar dentro se encuentra a una distancia del centro de . Este punto corresponde al agujero del bolígrafo en el disco interior de un espirógrafo real. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que en el momento inicial el punto estaba en el eje. Para encontrar la trayectoria creada por un espirógrafo, siga el punto a medida que se pone en movimiento el círculo interior. ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle \rho <r}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Ahora marque dos puntos en y en . El punto siempre indica la ubicación donde los dos círculos son tangentes. El punto , sin embargo, se desplazará en , y su ubicación inicial coincide con . Después de ponerse en movimiento en sentido antihorario alrededor de , tiene una rotación en el sentido de las agujas del reloj con respecto a su centro. La distancia que recorre el punto en es la misma que la recorrida por el punto tangente en , debido a la ausencia de deslizamiento. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Ahora definamos el nuevo sistema de coordenadas (relativo) con su origen en el centro de y sus ejes paralelos a y . Sea el parámetro el ángulo con el que el punto tangente gira en , y sea el ángulo con el que gira (es decir, con el que se desplaza) en el sistema de coordenadas relativo. Como no hay deslizamiento, las distancias recorridas por y a lo largo de sus respectivos círculos deben ser las mismas, por lo tanto ${\displaystyle (X',Y')}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle tR=(t-t')r,}$

o equivalentemente,

${\displaystyle t'=-{\frac {R-r}{r}}t.}$

Es común suponer que un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj corresponde a un cambio positivo de ángulo y uno en el sentido de las agujas del reloj a un cambio negativo de ángulo. Un signo menos en la fórmula anterior ( ) se adapta a esta convención. ${\displaystyle t'<0}$

Sean las coordenadas del centro de en el sistema absoluto de coordenadas. Entonces representa el radio de la trayectoria del centro de , que (de nuevo en el sistema absoluto) experimenta un movimiento circular así: ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle R-r}$ ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=(R-r)\cos t,\\y_{c}&=(R-r)\sin t.\end{aligned}}}$

Como se definió anteriormente, es el ángulo de rotación en el nuevo sistema relativo. Debido a que el punto obedece la ley habitual del movimiento circular, sus coordenadas en el nuevo sistema de coordenadas relativas son ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos t',\\y'&=\rho \sin t'.\end{aligned}}}$

Para obtener la trayectoria en el sistema de coordenadas absoluto (antiguo), sumamos estos dos movimientos: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

donde se define arriba. ${\displaystyle \rho }$

Ahora, utilice la relación entre y derivada anteriormente para obtener ecuaciones que describan la trayectoria del punto en términos de un solo parámetro : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(usando el hecho de que la función es impar ). ${\displaystyle \sin }$

Es conveniente representar la ecuación anterior en términos del radio y de parámetros adimensionales que describen la estructura del espirógrafo. Es decir, sea ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

y

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

El parámetro representa la distancia a la que se encuentra el punto del centro de . Al mismo tiempo, representa el tamaño del círculo interior con respecto al exterior . ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Ahora se observa que

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

y por lo tanto las ecuaciones de trayectoria toman la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

El parámetro es un parámetro de escala y no afecta la estructura del espirógrafo. Valores diferentes de producirían dibujos del espirógrafo similares . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Los dos casos extremos y dan como resultado trayectorias degeneradas del espirógrafo. En el primer caso extremo, cuando , tenemos un círculo simple de radio , correspondiente al caso en el que se ha reducido a un punto. (La división por en la fórmula no es un problema, ya que tanto y son funciones acotadas). ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$

El otro caso extremo corresponde al radio del círculo interior que coincide con el radio del círculo exterior , es decir , . En este caso la trayectoria es un único punto. Intuitivamente, es demasiado grande para rodar dentro del mismo tamaño sin resbalar. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Si , entonces el punto está en la circunferencia de . En este caso, las trayectorias se denominan hipocicloides y las ecuaciones anteriores se reducen a las de una hipocicloide. ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Véase también

• Cardioide
• Precesión absidal
• Ciclografo
• Torno geométrico
• Guilloché
• Armonógrafo
• Hipotrocoide
• Curva de Lissajous
• Lista de funciones periódicas
• Pantógrafo
• Piñón
• Rosa (matemáticas)
• Rosetta (órbita)
• Nebulosa del Espirógrafo , una nebulosa planetaria que muestra una delicada filigrana similar a la de un espirógrafo.
• Pareja Tusi

Referencias

1. Knight, John I. (1828). "Mechanics Magazine". Knight; Lacey – vía Google Books.
2. "Espirógrafo y ejemplos de patrones dibujados con él | Colección del Science Museum Group".
3. Goldstein, Catalina; Gris, Jeremy; Ritter, Jim (1996). L'Europe mathématique: historias, mitos, identidades. Ediciones MSH. pag. 293.ISBN​ 9782735106851. Recuperado el 17 de julio de 2011 .
4. Kaveney, Wendy. "Colección CONTENTdm: Visor de objetos compuestos". digitallibrary.imcpl.org . Consultado el 17 de julio de 2011 .
5. Linderman, Jim. "ArtSlant - Spirograph? No, ¡PATRÓN MÁGICO!". artslant.com . Consultado el 17 de julio de 2011 .
6. "De El joven mecánico (1913) - Un Wondergraph". marcdatabase.com . 2004. Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2011 . Consultado el 17 de julio de 2011 .
7. Coopee, Todd (17 de agosto de 2015). "Espirógrafo". ToyTales.ca .
8. «PlayMonster adquiere Kahootz Toys». 14 de noviembre de 2019. Consultado el 26 de febrero de 2023 .

Enlaces externos

• Sitio web oficial
• Voevudko, AE (12 de marzo de 2018). "Curvas geográficas". Proyecto Code .