Espacio de secuencia

Espacio vectorial de secuencias infinitas.

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de secuencia es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el campo K de números reales o complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las secuencias infinitas posibles con elementos en K , y puede convertirse en un espacio vectorial mediante las operaciones de suma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma , o al menos con la estructura de un espacio vectorial topológico .

Los espacios de secuencia más importantes en el análisis son los espacios ℓ ^p , que consisten en secuencias sumables de potencia p , con la norma p . Estos son casos especiales de espacios L p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias como secuencias convergentes o secuencias nulas forman espacios de secuencia, denotados respectivamente c y c ₀ , con la norma sup . Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual , bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK .

Definición

Una secuencia en un conjunto es simplemente un mapa valorado cuyo valor en se denota por en lugar de la notación habitual entre paréntesis. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x(n).}$

Espacio de todas las secuencias.

Denotemos el campo de números reales o complejos. El conjunto de todas las secuencias de elementos de es un espacio vectorial para la suma de componentes. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$

y multiplicación escalar por componentes

${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Un espacio de secuencia es cualquier subespacio lineal de ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Como espacio topológico, está naturalmente dotado de la topología del producto . Bajo esta topología, está Fréchet , lo que significa que es un espacio vectorial topológico (TVS) completo , metrizable y localmente convexo . Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no existen normas continuas (y, por tanto, la topología del producto no puede definirse mediante ninguna norma ). ^[1] Entre los espacios de Fréchet, es mínimo al no tener normas continuas: ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Teorema ^[1]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$no admite norma continua (es decir, cualquier seminorma continua tiene un espacio nulo no trivial). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo complementado a . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Pero la topología del producto también es inevitable: no admite una topología localmente convexa de Hausdorff estrictamente más burda . ^[1] Por esa razón, el estudio de secuencias comienza encontrando un subespacio lineal estricto de interés y dotándolo de una topología diferente a la topología del subespacio . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

ℓ p espacios

For es el subespacio que consta de todas las secuencias que satisfacen ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

$${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

Si entonces la función de valor real está definida por ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}}$$

normaespacio métrico completoespacio de Banach ${\displaystyle \ell ^{p}.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Si entonces también es un espacio de Hilbert cuando está dotado de su producto interno canónico , llamado ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$Producto interno euclidiano , definido para todospor ${\displaystyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$

$${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.}$$

${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}.}$

Si entonces se define como el espacio de todas las secuencias acotadas dotadas de la norma ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$

${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Si entonces no conlleva una norma, sino más bien una métrica definida por ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

$${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,}$$

c , c 0 y c 00

Una secuencia convergente es cualquier secuencia tal que exista. El conjunto ${\displaystyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle c}$de todas las secuencias convergentes es un subespacio vectorial llamado ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$espacio de sucesiones convergentes . Dado que toda secuencia convergente está acotada,es un subespacio lineal de Además, este espacio de secuencia es un subespacio cerrado decon respecto a lanorma suprema, por lo que es un espacio de Banach con respecto a esta norma. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Una secuencia que converge se llama secuencia nula y se dice que ${\displaystyle 0}$desaparecer . El conjunto de todas las secuencias que convergenes un subespacio vectorial cerradoque, cuando está dotado de lanorma suprema,se convierte en un espacio de Banach que se denota por ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{0}}$y se llama elespacio de secuencias nulas o elespacio de secuencias evanescentes .

Elespacio de secuencias eventualmente cero , ${\displaystyle c_{00},}$es el subespacio que consta de todas las secuencias que tienen solo un número finito de elementos distintos de cero. Este no es un subespacio cerrado y por tanto no es un espacio de Banach con respecto a la norma del infinito. Por ejemplo, la secuencia donde para las primeras entradas (para ) y es cero en el resto (es decir, ) es una secuencia de Cauchy pero no converge a una secuencia en ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{nk}=1/k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle c_{00}.}$

Espacio de todas las secuencias finitas.

Dejar

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$,

denota el espacio de secuencias finitas sobre . Como espacio vectorial, es igual a , pero tiene una topología diferente. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$

Para cada número natural , denotemos el espacio euclidiano habitual dotado de la topología euclidiana y denotemos la inclusión canónica ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$.

La imagen de cada inclusión es

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

y consecuentemente,

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$

Esta familia de inclusiones proporciona una topología final , definida como la topología más fina tal que todas las inclusiones sean continuas (un ejemplo de topología coherente ). Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico completo , de Hausdorff , localmente convexo , secuencial , que no es Fréchet-Urysohn . La topología también es estrictamente más fina que la topología subespacial inducida por . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

La convergencia en tiene una descripción natural: si y es una secuencia en entonces en si y sólo eventualmente está contenida en una sola imagen y bajo la topología natural de esa imagen. ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$

Muchas veces, cada imagen se identifica con la correspondiente ; explícitamente, los elementos y están identificados. Esto se ve facilitado por el hecho de que la topología subespacial en , la topología cociente del mapa y la topología euclidiana en todas coinciden. Con esta identificación, es el límite directo del sistema dirigido donde cada inclusión suma ceros a la derecha: ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)}$.

Esto muestra que es un espacio LB. ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$

Otros espacios de secuencia

El espacio de series acotadas , denotado por bs , es el espacio de secuencias para las cuales ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .}$

Este espacio, cuando está equipado con la norma

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,}$

es un espacio de Banach isométricamente isomorfo a través del mapeo lineal ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

El subespacio cs que consta de todas las series convergentes es un subespacio que pasa al espacio c bajo este isomorfismo.

El espacio Φ o se define como el espacio de todas las secuencias infinitas con solo un número finito de términos distintos de cero (secuencias con soporte finito ). Este conjunto es denso en muchos espacios de secuencia. ${\displaystyle c_{00}}$

Propiedades de los espacios ℓ p y el espacio c 0

El espacio ℓ ² es el único espacio ℓ ^p que es un espacio de Hilbert , ya que cualquier norma inducida por un producto interno debe satisfacer la ley del paralelogramo.

${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$

Sustituir x e y por dos vectores unitarios distintos muestra directamente que la identidad no es cierta a menos que p  = 2.

Cada ℓ ^p es distinto, en el sentido de que ℓ ^p es un subconjunto estricto de ℓ ^s siempre que p  <  s ; además, ℓ ^p no es linealmente isomorfo a ℓ ^s cuando  p ≠ s . De hecho, según el teorema de Pitt (Pitt 1936), todo operador lineal acotado de ℓ ^sa ℓ ^p es compacto cuando p < s . Ningún operador de este tipo puede ser un isomorfismo; y además, no puede ser un isomorfismo en ningún subespacio de dimensión infinita de ℓ ^s y, por tanto, se dice que es estrictamente singular .

Si 1 <  p  < ∞, entonces el espacio dual (continuo) de ℓ ^p es isométricamente isomorfo a ℓ ^q , donde q es el conjugado de Hölder de p : 1/ p  + 1/ q  = 1. El isomorfismo específico se asocia a un elemento x de ℓ ^q el funcional

$${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$$

yℓ ^pLa desigualdad de HölderL _xℓ ^p

$${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$$

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$

De hecho, tomando y como el elemento de ℓ ^p con

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}}$

da L _x ( y ) = || x || _q , de modo que de hecho

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$

Por el contrario, dada una funcional lineal acotada L en ℓ ^p , la secuencia definida por x _n = L ( e _n ) se encuentra en ℓ ^q . Así, el mapeo da una isometría. ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$

$${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$$

El mapa

${\displaystyle \ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}}$

obtenido componiendo κ _p con la inversa de su transpuesta coincide con la inyección canónica de ℓ ^q en su doble dual . Como consecuencia ℓ ^q es un espacio reflexivo . Por abuso de notación , es típico identificar ℓ ^q con el dual de ℓ ^p : (ℓ ^p ) ^*  = ℓ ^q . Entonces se entiende por reflexividad la secuencia de identificaciones (ℓ ^p ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^p .

El espacio c ₀ se define como el espacio de todas las secuencias que convergen a cero, con norma idéntica a || x || _∞ . Es un subespacio cerrado de ℓ ^∞ , por lo tanto un espacio de Banach. El dual de c ₀ es ℓ ¹ ; el dual de ℓ ¹ es ℓ ^∞ . Para el caso del conjunto de índices de números naturales, los ℓ ^p y c ₀ son separables , con la única excepción de ℓ ^∞ . El dual de ℓ ^∞ es el espacio ba .

Los espacios c ₀ y ℓ ^p (para 1 ≤ p < ∞) tienen una base  canónica incondicional de Schauder { e _i  | i  = 1, 2,...}, donde e _i es la secuencia que es cero excepto por un 1 en la i ^-ésima entrada.

El espacio ℓ ¹ tiene la propiedad de Schur : en ℓ ¹ , cualquier secuencia que sea débilmente convergente también es fuertemente convergente (Schur 1921). Sin embargo, dado que la topología débil en espacios de dimensión infinita es estrictamente más débil que la topología fuerte , hay redes en ℓ ¹ que son convergentes débiles pero no convergentes fuertes.

Los espacios ℓ ^p se pueden incrustar en muchos espacios de Banach . La pregunta de si todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene un isomorfo de algún ℓ ^p o de c ₀ , fue respondida negativamente por la construcción del espacio de Tsirelson por parte de BS Tsirelson en 1974. La afirmación dual de que todo espacio de Banach separable es linealmente isométrico para un espacio cociente de ℓ ¹ , fue respondido afirmativamente por Banach & Mazur (1933). Es decir, para cada espacio de Banach separable X , existe un mapa de cociente , de modo que X es isomorfo a . En general, ker Q no está complementado en ℓ ¹ , es decir, no existe un subespacio Y de ℓ ¹ tal que . De hecho, ℓ ¹ tiene incontables subespacios no complementados que no son isomórficos entre sí (por ejemplo, tomemos ; dado que hay incontables X de este tipo , y dado que ningún ℓ ^p es isomorfo a ningún otro, hay, por lo tanto, incontables muchos ker Q 's ). ${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$ ${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$ ${\displaystyle X=\ell ^{p}}$

Excepto en el caso trivial de dimensión finita, una característica inusual de ℓ ^p es que no es polinomialmente reflexivo .

ℓ p espacios aumentan en p

Para , los espacios aumentan en , siendo el operador de inclusión continuo: para , se tiene . En efecto, la desigualdad es homogénea en , por lo que basta demostrarla bajo el supuesto de que . En este caso, sólo necesitamos mostrar eso para . Pero si , entonces para todos , y entonces . ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$ ${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$

ℓ 2 es isomorfo a todos los espacios de Hilbert separables y de dimensión infinita

Sea H un espacio de Hilbert separable . Todo conjunto ortogonal en H es como máximo contable (es decir, tiene dimensión finita o ). ^[2] Los dos elementos siguientes están relacionados: ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• Si H es de dimensión infinita, entonces es isomorfo a ℓ ²
• Si dim( H ) = N , entonces H es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Propiedades de ℓ 1 espacios

Una secuencia de elementos en ℓ ¹ converge en el espacio de secuencias complejas ℓ ¹ si y sólo si converge débilmente en este espacio. ^[3] Si K es un subconjunto de este espacio, entonces los siguientes son equivalentes: ^[3]

1. K es compacto;
2. K es débilmente compacto;
3. K es acotado, cerrado y equipequeño en el infinito.

Aquí K, siendo equipequeño en el infinito , significa que para cada existe un número natural tal que para todos . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{\varepsilon }\geq 0}$ ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

Ver también

• espacio Lp^​
• Espacio Tsirelson
• espacio beta-dual
• Espacio de secuencia de Orlicz
• Espacio de Hilbert

Referencias

1. Jarchow 1981, págs.
2. Debnat, Lokenath; Mikusinski, Piotr (2005). Espacios Hilbert con aplicaciones . Elsevier. págs. 120-121. ISBN 978-0-12-2084386.
3. Trèves 2006, págs. 451–458.

Bibliografía

• Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100-112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen I , Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Pitt, HR (1936), "Una nota sobre formas bilineales", J. London Math. Soc. , 11 (3): 174–180, doi :10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79–111, doi :10.1515/crll.1921.151.79.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.