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Espacio estándar de Borel

En matemáticas , un espacio de Borel estándar es el espacio de Borel asociado a un espacio polaco . Salvo en el caso de los espacios polacos discretos , el espacio de Borel estándar es único, salvo isomorfismo de espacios medibles .

Definición formal

Se dice que un espacio medible es "Borel estándar" si existe una métrica en que lo convierte en un espacio métrico completamente separable de tal manera que entonces es la σ-álgebra de Borel . [1] Los espacios de Borel estándar tienen varias propiedades útiles que no se cumplen para los espacios medibles generales.

Propiedades

Teorema de Kuratowski

Teorema . Sea un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que existe una métrica en que define la topología de y que forma un espacio métrico separable completo. Entonces, como un espacio de Borel es Borel isomorfo a uno de (1) (2) o (3) un espacio discreto finito. (Este resultado recuerda al teorema de Maharam ).

De ello se deduce que un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad , [2] y que cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo .

Los isomorfismos de Borel en espacios de Borel estándar son análogos a los homeomorfismos en espacios topológicos : ambos son biyectivos y cerrados bajo composición, y un homeomorfismo y su inverso son ambos continuos , en lugar de que ambos sean solo medibles mediante Borel.

Véase también

Referencias

  1. ^ Mackey, GW (1957): Estructura de Borel en grupos y sus duales. Trans. Am. Math. Soc. , 85, 134-165.
  2. ^ Srivastava, SM (1991), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7