Espacio topológico en el que el cierre de todo conjunto abierto es abierto.
En matemáticas, un espacio extremadamente desconectado es un espacio topológico en el que el cierre de todo conjunto abierto está abierto. (El término "extremadamente desconectado" es correcto, aunque la palabra "extremadamente" no aparece en la mayoría de los diccionarios [1] y, a veces, los correctores ortográficos la confunden con el homófono extremadamente desconectado ).
Un espacio extremadamente desconectado que también es compacto y Hausdorff a veces se llama espacio Stoneano . Esto no es lo mismo que un espacio Stone , que es un espacio compacto de Hausdorff totalmente desconectado . Todo espacio Stoneano es un espacio Piedra, pero no al revés. En la dualidad entre espacios de Stone y álgebras de Boole , los espacios de Stonean corresponden a las álgebras de Boole completas .
Un espacio de Hausdorff de primera colección contable extremadamente desconectado debe ser discreto . En particular, para espacios métricos , la propiedad de ser extremadamente desconectado (el cierre de todo conjunto abierto es abierto) es equivalente a la propiedad de ser discreto (todo conjunto es abierto).
Ejemplos y no ejemplos
- Todo espacio discreto está extremadamente desconectado. Todo espacio indiscreto está extremadamente desconectado y conectado.
- La compactación de Stone-Čech de un espacio discreto está extremadamente desconectada.
- El espectro de un álgebra abeliana de von Neumann está extremadamente desconectado.
- Cualquier álgebra conmutativa AW* es isomorfa a , para algún espacio que sea extremadamente desconectado, compacto y de Hausdorff.
- Cualquier espacio infinito con topología cofinita está extremadamente desconectado y conectado . En términos más generales, todo espacio hiperconectado está extremadamente desconectado.
- El espacio en tres puntos con base proporciona un ejemplo finito de un espacio que está extremadamente desconectado y conectado. Otro ejemplo lo da el espacio de Sierpinski , ya que es finito, conexo e hiperconectado.
Los siguientes espacios no están extremadamente desconectados:
- El conjunto de Cantor no está extremadamente desconectado. Sin embargo, está totalmente desconectado.
Caracterizaciones equivalentes
Un teorema de Gleason (1958) dice que los objetos proyectivos de la categoría de espacios compactos de Hausdorff son exactamente los espacios compactos de Hausdorff extremadamente desconectados. Rainwater (1959) ofrece una prueba simplificada de este hecho.
Un espacio compacto de Hausdorff está extremadamente desconectado si y sólo si es una retracción de la compactación de Stone-Čech de un espacio discreto. [2]
Aplicaciones
Hartig (1983) demuestra el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani reduciéndolo al caso de espacios extremadamente desconectados, en cuyo caso el teorema de representación puede demostrarse por medios elementales.
Ver también
Referencias
- AV Arkhangelskii (2001) [1994], "Espacio extremadamente desconectado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Gleason, Andrew M. (1958), "Espacios topológicos proyectivos", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , SEÑOR 0121775
- Hartig, Donald G. (1983), "Revisión del teorema de representación de Riesz", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277–280, doi :10.2307/2975760, JSTOR 2975760
- Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-23893-5.
- Rainwater, John (1959), "Una nota sobre resoluciones proyectivas", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR 2033466
- Semadeni, Zbigniew (1971), Espacios de Banach de funciones continuas. vol. I , PWN---Polish Scientific Publishers, Varsovia, MR 0296671
