Espacio de la puerta

En matemáticas , específicamente en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es un espacio puerta si cada subconjunto está abierto o cerrado (o ambos ). ^[1] El término proviene de la mnemónica introductoria de topología que dice que "un subconjunto no es como una puerta: puede estar abierta, cerrada, ambas o ninguna".

Propiedades y ejemplos

Cada espacio de puerta es T 0 (porque si y son dos puntos topológicamente indistinguibles , el singleton no es ni abierto ni cerrado). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Cada subespacio de un espacio de puerta es un espacio de puerta. ^[2] También lo es cada cociente de un espacio de puerta. ^[3]

Cada topología más fina que una topología de puerta en un conjunto también es una topología de puerta. ${\displaystyle X}$

Cada espacio discreto es un espacio de puerta. Estos son los espacios sin punto de acumulación , es decir, en los que cada punto es un punto aislado .

Cada espacio con exactamente un punto de acumulación (y todos los demás puntos aislados) es un espacio de puerta (ya que los subconjuntos que constan únicamente de puntos aislados están abiertos y los subconjuntos que contienen el punto de acumulación están cerrados). Algunos ejemplos son: (1) la compactación en un punto de un espacio discreto (también llamado espacio Fort ), donde el punto en el infinito es el punto de acumulación; (2) un espacio con la topología de punto excluido , donde el "punto excluido" es el punto de acumulación. ${\displaystyle X}$

Cada espacio de puerta Hausdorff es discreto o tiene exactamente un punto de acumulación. (Para ver esto, si es un espacio con distintos puntos de acumulación y con respectivas vecindades disjuntas y el conjunto no es ni cerrado ni abierto ) ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle (U\setminus \{x\})\cup \{y\}}$ ${\displaystyle X.}$

Un ejemplo de espacio de puerta con más de un punto de acumulación lo da la topología de puntos particular en un conjunto con al menos tres puntos. Los conjuntos abiertos son los subconjuntos que contienen un punto particular junto con el conjunto vacío. El punto es un punto aislado y todos los demás puntos son puntos de acumulación. (Este es un espacio de puerta ya que cada conjunto que contiene está abierto y cada conjunto que no contiene está cerrado). Otro ejemplo sería la suma topológica de un espacio con la topología puntual particular y un espacio discreto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Los espacios de puerta sin un punto aislado son exactamente aquellos con una topología de la forma para algún ultrafiltro libre en ^[5]. Dichos espacios son necesariamente infinitos. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X.}$

Hay exactamente tres tipos de espacios de puertas conectados : ^{[6] [7]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

• un espacio con la topología de puntos excluidos ;
• un espacio con la topología de puntos incluida ;
• un espacio con topología tal que es un ultrafiltro libre en ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Conjunto abierto  : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado.

Notas

1. Kelley 1975, capítulo 2, ejercicio C, p. 76.
2. Dontchev, Julián (1995). «En espacios de puerta» (PDF) . Revista india de matemáticas puras y aplicadas . 26 (9): 873–881.Teorema 2.6
3. Dontchev 1995, Corolario 2.12.
4. "Demostrar que si $(X,\tau)$ es un espacio de puerta de Hausdorff, entonces como máximo un punto $x \in X$ es un punto límite de $X$". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. McCartan, SD (1987). "Los espacios de las puertas son identificables". Actas de la Real Academia Irlandesa. Sección A: Ciencias Físicas y Matemáticas . 87A (1): 13-16. ISSN  0035-8975. JSTOR  20489255.
6. McCartan 1987, Corolario 3.
7. Wu, Jianfeng; Wang, Chunli; Zhang, Dong (2018). "Espacios de puertas conectadas y soluciones topológicas de ecuaciones". Aecuaciones Mathematicae . 92 (6): 1149-1161. arXiv : 1809.03085 . doi :10.1007/s00010-018-0577-0. ISSN  0001-9054. S2CID  253598359.Teorema 1

Referencias

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.