Espacio muestral

Conjunto de todos los resultados o resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico

En teoría de la probabilidad , el espacio muestral (también llamado espacio de descripción de la muestra , ^[1] espacio de posibilidad , ^[2] o espacio de resultados ^[3] ) de un experimento o ensayo aleatorio es el conjunto de todos los resultados o resultados posibles de ese experimento. ^[4] Un espacio muestral se denota generalmente utilizando la notación de conjuntos , y los posibles resultados ordenados, o puntos de muestra, ^[5] se enumeran como elementos en el conjunto. Es común referirse a un espacio muestral por las etiquetas S , Ω o U (por " conjunto universal "). Los elementos de un espacio muestral pueden ser números, palabras, letras o símbolos. También pueden ser finitos , infinitos numerables o infinitos incontables . ^[6]

Un subconjunto del espacio muestral es un evento , denotado por . Si el resultado de un experimento está incluido en , entonces el evento ha ocurrido. ^[7] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una sola moneda, el espacio muestral es el conjunto , donde el resultado significa que la moneda es cara y el resultado significa que la moneda es cruz. ^[8] Los eventos posibles son , , , y . Para lanzar dos monedas, el espacio muestral es , donde el resultado es si ambas monedas son cara, si la primera moneda es cara y la segunda es cruz, si la primera moneda es cruz y la segunda es cara, y si ambas monedas son cruz. ^[9] El evento de que al menos una de las monedas sea cara está dado por . ${\displaystyle \{H,T\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E=\{\}}$ ${\displaystyle E=\{H\}}$ ${\displaystyle E=\{T\}}$ ${\displaystyle E=\{H,T\}}$ ${\displaystyle \{HH,HT,TH,TT\}}$ ${\displaystyle HH}$ ${\displaystyle HT}$ ${\displaystyle TH}$ ${\displaystyle TT}$ ${\displaystyle E=\{HH,HT,TH\}}$

Para lanzar un dado de seis caras una vez, donde el resultado de interés es el número de puntos que miran hacia arriba, el espacio muestral es . ^[10] ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$

Un espacio muestral no vacío y bien definido es uno de los tres componentes de un modelo probabilístico (un espacio de probabilidad ). Los otros dos elementos básicos son un conjunto bien definido de eventos posibles (un espacio de eventos), que normalmente es el conjunto de potencias de si es discreto o un σ-álgebra de si es continuo, y una probabilidad asignada a cada evento (una función de medida de probabilidad ). ^[11] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Representación visual de un espacio muestral finito y de eventos. El óvalo rojo representa el evento en el que un número es impar y el óvalo azul representa el evento en el que un número es primo.

Un espacio muestral se puede representar visualmente mediante un rectángulo, cuyos resultados se indican mediante puntos dentro del rectángulo. Los eventos se pueden representar mediante óvalos, donde los puntos encerrados dentro del óvalo conforman el evento. ^[12]

Condiciones de un espacio muestral

Un conjunto con resultados (es decir , ) debe cumplir algunas condiciones para ser un espacio muestral: ^[13] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle \Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}}$

• Los resultados deben ser mutuamente excluyentes , es decir, si ocurre uno, entonces no ocurrirá ningún otro. [ ^6] ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j}$
• Los resultados deben ser colectivamente exhaustivos , es decir, en cada experimento (o ensayo aleatorio) siempre se producirá algún resultado para . ^[6] ${\displaystyle s_{i}\in \Omega }$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$
• El espacio muestral ( ) debe tener la granularidad adecuada dependiendo de lo que le interese al experimentador. Se debe eliminar la información irrelevante del espacio muestral y se debe elegir la abstracción correcta. ${\displaystyle \Omega }$

Por ejemplo, en el ensayo de lanzar una moneda, un posible espacio muestral es , donde es el resultado en el que la moneda cae cara y es para cruz. Otro posible espacio muestral podría ser . Aquí, denota un día lluvioso y es un día en el que no llueve. Para la mayoría de los experimentos, sería una mejor opción que , ya que es probable que al experimentador no le importe cómo afecta el clima al lanzamiento de la moneda. ${\displaystyle \Omega _{1}=\{H,T\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle NR}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$

Espacios muestrales múltiples

Para muchos experimentos, puede haber más de un espacio muestral plausible disponible, dependiendo del resultado que le interese al experimentador. Por ejemplo, al extraer una carta de una baraja estándar de cincuenta y dos naipes , una posibilidad para el espacio muestral podrían ser los distintos rangos (del As al Rey), mientras que otra podría ser los palos (tréboles, diamantes, corazones o picas). ^{[4] [14]} Sin embargo, una descripción más completa de los resultados podría especificar tanto la denominación como el palo, y se puede construir un espacio muestral que describa cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios muestrales mencionados anteriormente (este espacio contendría cincuenta y dos resultados igualmente probables). Aún son posibles otros espacios muestrales, como el derecho hacia arriba o al revés, si se han volteado algunas cartas al barajar.

Resultados igualmente probables

Al lanzar una moneda se obtiene un espacio muestral compuesto por dos resultados que tienen casi la misma probabilidad.

¿Arriba o abajo? Si cambiamos un poco el rumbo, obtenemos un espacio muestral compuesto por dos resultados que no tienen la misma probabilidad.

Algunos tratamientos de probabilidad suponen que los diversos resultados de un experimento siempre se definen de modo que sean igualmente probables. ^[15] Para cualquier espacio muestral con resultados igualmente probables, a cada resultado se le asigna la probabilidad . ^[16] Sin embargo, hay experimentos que no se describen fácilmente mediante un espacio muestral de resultados igualmente probables; por ejemplo, si uno lanzara una chincheta muchas veces y observara si cae con la punta hacia arriba o hacia abajo, no hay simetría física que sugiera que los dos resultados deberían ser igualmente probables. ^[17] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

Aunque la mayoría de los fenómenos aleatorios no tienen resultados igualmente probables, puede ser útil definir un espacio muestral de tal manera que los resultados sean al menos aproximadamente igualmente probables, ya que esta condición simplifica significativamente el cálculo de probabilidades para eventos dentro del espacio muestral. Si cada resultado individual ocurre con la misma probabilidad, entonces la probabilidad de cualquier evento se convierte simplemente en: ^{[18] : 346–347}

${\displaystyle \mathrm {P} ({\text{event}})={\frac {\text{number of outcomes in event}}{\text{number of outcomes in sample space}}}}$

Por ejemplo, si se lanzan dos dados de seis caras para generar dos números enteros distribuidos uniformemente , y , cada uno en el rango de 1 a 6, inclusive, los 36 pares de resultados ordenados posibles constituyen un espacio muestral de eventos igualmente probables. En este caso, se aplica la fórmula anterior, como calcular la probabilidad de una suma particular de los dos lanzamientos en un resultado. La probabilidad del evento de que la suma sea cinco es , ya que cuatro de los treinta y seis pares de resultados igualmente probables suman cinco. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle (D_{1},D_{2})}$ ${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$

Si el espacio muestral fuera todas las sumas posibles obtenidas al lanzar dos dados de seis caras, la fórmula anterior todavía se puede aplicar porque las tiradas de dados son justas, pero el número de resultados en un evento dado variará. Una suma de dos puede ocurrir con el resultado , por lo que la probabilidad es . Para una suma de siete, los resultados en el evento son , por lo que la probabilidad es . ^[19] ${\displaystyle \{(1,1)\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$ ${\displaystyle \{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}}$ ${\displaystyle {\frac {6}{36}}}$

Muestra aleatoria simple

En estadística , se hacen inferencias sobre las características de una población estudiando una muestra de los individuos de esa población. Para llegar a una muestra que presente una estimación imparcial de las características reales de la población, los estadísticos a menudo buscan estudiar una muestra aleatoria simple , es decir, una muestra en la que cada individuo de la población tiene la misma probabilidad de estar incluido. ^{[18] : 274–275} El resultado de esto es que cada combinación posible de individuos que podrían ser elegidos para la muestra tiene la misma probabilidad de ser la muestra que se selecciona (es decir, el espacio de muestras aleatorias simples de un tamaño dado de una población dada está compuesto de resultados igualmente probables). ^[20]

Espacios muestrales infinitamente grandes

En un enfoque elemental de la probabilidad , cualquier subconjunto del espacio muestral se suele denominar evento . ^[9] Sin embargo, esto da lugar a problemas cuando el espacio muestral es continuo, por lo que es necesaria una definición más precisa de un evento. Según esta definición, solo los subconjuntos medibles del espacio muestral, que constituyen un σ-álgebra sobre el propio espacio muestral, se consideran eventos.

Un ejemplo de un espacio muestral infinitamente grande es la medición de la vida útil de una bombilla. El espacio muestral correspondiente sería [0, ∞) . ^[9]

Véase también

• Espacio de parámetros
• Espacio de probabilidad
• Espacio (matemáticas)
• Conjunto (matemáticas)
• Evento (teoría de la probabilidad)
• σ-álgebra

Referencias

1. Stark, Henry; Woods, John W. (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3.ª ed.). Pearson. pág. 7. ISBN 9788177583564.
2. Forbes, Catherine; Evans, Merran; Hastings, Nicholas; Peacock, Brian (2011). Distribuciones estadísticas (4.ª ed.). Wiley. pág. 3. ISBN 9780470390634.
3. Hogg, Robert; Tannis, Elliot; Zimmerman, Dale (24 de diciembre de 2013). Probabilidad e inferencia estadística . Pearson Education, Inc. pág. 10. ISBN 978-0321923271El conjunto de todos los resultados posibles... se denomina espacio de resultados.
4. Albert, Jim (21 de enero de 1998). "Listado de todos los resultados posibles (el espacio muestral)". Bowling Green State University . Consultado el 25 de junio de 2013 .
5. Soong, TT (2004). Fundamentos de probabilidad y estadística para ingenieros. Chichester: Wiley. ISBN 0-470-86815-5.OCLC 55135988  .
6. "UOR_2.1". web.mit.edu . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
7. Ross, Sheldon (2010). Un primer curso de probabilidad (PDF) (8.ª ed.). Pearson Prentice Hall . p. 23. ISBN 978-0136033134.
8. Dekking, FM (Frederik Michel), 1946- (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: entender por qué y cómo . Springer. ISBN 1-85233-896-2.OCLC 783259968  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
9. "Espacio muestral, eventos y probabilidad" (PDF) . Matemáticas en Illinois .
10. Larsen, RJ; Marx, ML (2001). Introducción a la estadística matemática y sus aplicaciones (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . pág. 22. ISBN 9780139223037.
11. LaValle, Steven M. (2006). Algoritmos de planificación (PDF) . Cambridge University Press . pág. 442.
12. "Espacios muestrales, eventos y sus probabilidades". saylordotorg.github.io . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
13. Tsitsiklis, John (primavera de 2018). «Sample Spaces». Instituto Tecnológico de Massachusetts . Consultado el 9 de julio de 2018 .
14. Jones, James (1996). "Estadísticas: Introducción a la probabilidad - Espacios muestrales". Richland Community College . Consultado el 30 de noviembre de 2013 .
15. Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición para profesores (edición Classics). Prentice Hall . p. 633. ISBN 0-13-165711-9.
16. "Resultados igualmente probables" (PDF) . Universidad de Notre Dame .
17. "Capítulo 3: Probabilidad" (PDF) . Coconino Community College .
18. Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2.ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005.
19. "Probabilidad: tirar dos dados". www.math.hawaii.edu . Consultado el 17 de diciembre de 2021 .
20. "Muestras aleatorias simples". web.ma.utexas.edu . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .

Enlaces externos

• Medios relacionados con Espacio muestral en Wikimedia Commons