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Variedad modular de Siegel

Corte bidimensional de una ecuación quintica de Calabi-Yau . Una de estas ecuaciones quinticas es birracionalmente equivalente a la compactificación de la variedad modular de Siegel A 1,3 (2). [1]

En matemáticas, una variedad modular de Siegel o espacio de módulos de Siegel es una variedad algebraica que parametriza ciertos tipos de variedades abelianas de dimensión fija . Más precisamente, las variedades modulares de Siegel son los espacios de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión fija. Reciben su nombre en honor a Carl Ludwig Siegel , el teórico de números alemán del siglo XX que introdujo las variedades en 1943. [2] [3]

Las variedades modulares de Siegel son los ejemplos más básicos de variedades de Shimura . [4] Las variedades modulares de Siegel generalizan los espacios de módulos de curvas elípticas a dimensiones superiores y desempeñan un papel central en la teoría de las formas modulares de Siegel , que generalizan las formas modulares clásicas a dimensiones superiores. [1] También tienen aplicaciones en la entropía de los agujeros negros y la teoría de campos conformes . [5]

Construcción

La variedad modular de Siegel A g , que parametriza principalmente variedades abelianas polarizadas de dimensión g , puede construirse como los espacios analíticos complejos construidos como el cociente del semiespacio superior de Siegel de grado g por la acción de un grupo simpléctico . Los espacios analíticos complejos tienen variedades algebraicas naturalmente asociadas por GAGA de Serre . [1]

La variedad modular de Siegel A g ( n ), que parametriza variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g con una estructura de nivel n , surge como el cociente del semiespacio superior de Siegel por la acción del subgrupo de congruencia principal de nivel n de un grupo simpléctico. [1]

Una variedad modular de Siegel también puede construirse como una variedad de Shimura definida por el dato de Shimura asociado a un espacio vectorial simpléctico . [4]

Propiedades

La variedad modular de Siegel A g tiene dimensión g ( g  + 1)/2. [1] [6] Además, Yung-Sheng Tai, Eberhard Freitag y David Mumford demostraron que A g es de tipo general cuando g  ≥ 7. [1] [7] [8] [9]

Las variedades modulares de Siegel pueden compactificarse para obtener variedades proyectivas . [1] En particular, una compactificación de A 2 (2) es biracionalmente equivalente a la cúbica de Segre, que de hecho es racional . [1] De manera similar, una compactificación de A 2 (3) es biracionalmente equivalente a la cuártica de Burkhardt, que también es racional. [1] Otra variedad modular de Siegel, denotada A 1,3 (2), tiene una compactificación que es biracionalmente equivalente a la quíntica de Barth–Nieto, que es biracionalmente equivalente a una variedad modular de Calabi–Yau con dimensión Kodaira cero. [1]

Las variedades modulares de Siegel no pueden ser anabelianas . [10]

Aplicaciones

Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel. [1] Las variedades modulares de Siegel se han utilizado en la teoría de campos conformes a través de la teoría de las formas modulares de Siegel. [11] En la teoría de cuerdas , la función que captura naturalmente los microestados de la entropía de los agujeros negros en el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos es una forma modular de Siegel. [5]

En 1968, Aleksei Parshin demostró que la conjetura de Mordell (ahora conocida como teorema de Faltings) se cumpliría si la conjetura de finitud de Shafarevich fuera verdadera introduciendo el truco de Parshin. [12] [13] En 1983 y 1984, Gerd Faltings completó la prueba de la conjetura de Mordell demostrando la conjetura de finitud de Shafarevich. [14] [15] [13] La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel. [16]

Véase también

Referencias

  1. ^ abcdefghijk Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares de Siegel". Geometría birracional de dimensiones superiores . Estudios avanzados en matemáticas puras. Vol. 35. págs. 89–156. arXiv : math/9810153 . doi :10.2969/aspm/03510089. ISBN. 978-4-931469-85-3.S2CID 119595519  .
  2. ^ Oda, Takayuki (2014). "Intersecciones de dos paredes del dominio fundamental de Gottschling del grupo modular de Siegel del género dos". En Heim, Bernhard; Al-Baali, Mehiddin; Rupp, Florian (eds.). Formas automórficas, investigación en teoría de números de Omán . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 115. Springer. págs. 193–221. doi :10.1007/978-3-319-11352-4_15. ISBN 978-3-319-11352-4.
  3. ^ Siegel, Carl Ludwig (1943). "Geometría simpléctica". Revista estadounidense de matemáticas . 65 (1). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 1–86. doi :10.2307/2371774. JSTOR  2371774.
  4. ^ ab Milne, James S. (2005). "Introducción a las variedades de Shimura" (PDF) . En Arthur, James; Ellwood, David; Kottwitz, Robert (eds.). Análisis armónico, la fórmula de traza y variedades de Shimura . Clay Mathematics Proceedings. Vol. 4. Sociedad matemática estadounidense e Instituto de matemáticas Clay. págs. 265–378. ISBN. 978-0-8218-3844-0.
  5. ^ ab Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 de abril de 2017). "Formas modulares de Siegel y entropía de agujeros negros" (PDF) . Journal of High Energy Physics . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Bibcode :2017JHEP...04..057B. doi :10.1007/JHEP04(2017)057. S2CID  53684898.Véase la Sección 1 del documento.
  6. ^ van der Geer, Gerard (2013). "La cohomología del espacio de módulos de variedades abelianas". En Farkas, Gavril; Morrison, Ian (eds.). The Handbook of Moduli, Volumen 1. Vol. 24. Somerville, Mass.: International Press. arXiv : 1112.2294 . ISBN. 9781571462572.
  7. ^ Tai, Yung-Sheng (1982). "Sobre la dimensión de Kodaira del espacio de módulos de variedades abelianas". Invenciones Mathematicae . 68 (3): 425–439. Código Bib : 1982 InMat..68..425T. doi :10.1007/BF01389411. S2CID  120441933.
  8. ^ Freitag, Eberhard (1983). Funciones de módulo Siegelsche . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (en alemán). vol. 254. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-68649-8. ISBN 978-3-642-68650-4.
  9. ^ Mumford, David (1983). "Sobre la dimensión Kodaira de la variedad modular de Siegel". En Ciliberto, C.; Ghione, F.; Orecchia, F. (eds.). Geometría algebraica: problemas abiertos, Actas de la conferencia celebrada en Ravello, del 31 de mayo al 5 de junio de 1982. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 997. Springer. págs. 348–375. doi :10.1007/BFb0061652. ISBN. 978-3-540-12320-0.
  10. ^ Ihara, Yasutaka ; Nakamura, Hiroaki (1997). "Algunos ejemplos ilustrativos de geometría anabeliana en grandes dimensiones". En Schneps, Leila ; Lochak, Pierre (eds.). Acciones geométricas de Galois 1: en torno a la esquisse d'un programme de Grothendieck . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 242. Cambridge University Press. págs. 127–138. doi :10.1017/CBO9780511758874.010. ISBN 978-0-521-59642-8.
  11. ^ Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 de noviembre de 2018). "Formas paramodulares de Siegel y escasez en AdS3/CFT2". Journal of High Energy Physics . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Bibcode :2018JHEP...11..037B. doi :10.1007/JHEP11(2018)037. S2CID  54936474.
  12. ^ Parshin, AN (1968). "Curvas algebraicas sobre cuerpos de funciones I" (PDF) . Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 32 (5): 1191–1219. Código Bibliográfico :1968IzMat...2.1145P. doi :10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
  13. ^ ab Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , eds. (1986). Geometría aritmética. Documentos de la conferencia celebrada en la Universidad de Connecticut, Storrs, Connecticut, del 30 de julio al 10 de agosto de 1984. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1.Sr .  0861969.
  14. ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Teoremas de finitud para variedades abelianas en campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349–366. Código Bib : 1983 InMat..73..349F. doi :10.1007/BF01388432. SEÑOR  0718935. S2CID  121049418.
  15. ^ Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . SEÑOR  0732554.
  16. ^ "Faltings relaciona las dos nociones de altura por medio del espacio de módulos de Siegel... Es la idea principal de la prueba". Bloch, Spencer (1984). "La prueba de la conjetura de Mordell" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID  306251. Archivado desde el original (PDF) el 2019-03-03.