Clasificando el espacio

Cociente de un espacio débilmente contráctil por una acción libre

En matemáticas , específicamente en teoría de homotopía , un espacio clasificador BG de un grupo topológico G es el cociente de un espacio débilmente contráctil EG (es decir, un espacio topológico cuyos grupos de homotopía son triviales) por una acción libre propia de G. Tiene la propiedad de que cualquier fibrado principal G sobre una variedad paracompacta es isomorfo a un pullback del fibrado principal . ^[1] Como se explica más adelante, esto significa que los espacios clasificadores representan un funtor de valor conjunto en la categoría de homotopía de los espacios topológicos. El término espacio clasificador también se puede utilizar para espacios que representan un funtor de valor conjunto en la categoría de espacios topológicos , como el espacio de Sierpiński . Esta noción se generaliza mediante la noción de topos clasificadores . Sin embargo, el resto de este artículo analiza la noción más comúnmente utilizada de espacio clasificador hasta la homotopía. ${\displaystyle EG\to BG}$

Para un grupo discreto G , BG es, en términos generales, un espacio topológico conexo por caminos X tal que el grupo fundamental de X es isomorfo a G y los grupos de homotopía superiores de X son triviales , es decir, BG es un espacio de Eilenberg-MacLane , o un K ( G , 1).

Motivación

Un ejemplo de un espacio de clasificación para el grupo cíclico infinito G es el círculo como X . Cuando G es un grupo discreto , otra forma de especificar la condición en X es que la cubierta universal Y de X es contráctil . En ese caso, la función de proyección

${\displaystyle \pi \colon Y\longrightarrow X\ }$

se convierte en un fibrado con grupo estructural G , de hecho un fibrado principal para G . El interés en el concepto de espacio clasificatorio surge realmente del hecho de que en este caso Y tiene una propiedad universal con respecto a los fibrados G principales , en la categoría de homotopía . Esto es en realidad más básico que la condición de que los grupos de homotopía superiores se anulen: la idea fundamental es, dado G , encontrar un espacio contráctil Y en el que G actúe libremente . (La idea de equivalencia débil de la teoría de homotopía relaciona las dos versiones). En el caso del ejemplo del círculo, lo que se está diciendo es que observamos que un grupo cíclico infinito C actúa libremente en la línea real R , que es contráctil. Tomando X como el círculo espacial cociente , podemos considerar la proyección π de R = Y a X como una hélice en términos geométricos, experimentando proyección desde tres dimensiones al plano. Lo que se está afirmando es que π tiene una propiedad universal entre los fibrados C principales ; que cualquier fibrado principal de C de una manera definida 'proviene de' π.

Formalismo

Una declaración más formal toma en cuenta que G puede ser un grupo topológico (no simplemente un grupo discreto ), y que las acciones de grupo de G se consideran continuas; en ausencia de acciones continuas, el concepto de espacio clasificador se puede tratar, en términos de homotopía, a través de la construcción del espacio de Eilenberg-MacLane . En la teoría de homotopía, se da la definición de un espacio topológico BG , el espacio clasificador para los fibrados principales de G , junto con el espacio EG, que es el espacio total del fibrado universal sobre BG . Es decir, lo que se proporciona es, de hecho, una aplicación continua.

${\displaystyle \pi \colon EG\longrightarrow BG.}$

Supongamos que la categoría de homotopía de los complejos CW es la categoría subyacente, de ahora en adelante. La propiedad clasificatoria requerida de BG de hecho se relaciona con π. Debemos poder decir que dado cualquier fibrado principal G

${\displaystyle \gamma \colon Y\longrightarrow Z\ }$

sobre un espacio Z , existe una función clasificadora φ de Z a BG , tal que es el retroceso de π a lo largo de φ. En términos menos abstractos, la construcción de mediante 'torsión' debería ser reducible mediante φ a la torsión ya expresada por la construcción de π. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Para que este sea un concepto útil, evidentemente debe haber alguna razón para creer que existen tales espacios BG . Los primeros trabajos sobre la clasificación de espacios introdujeron construcciones (por ejemplo, la construcción de barras ), que dieron descripciones concretas de BG como un complejo simplicial para un grupo discreto arbitrario. Tales construcciones hacen evidente la conexión con la cohomología de grupos .

En concreto, sea EG el complejo simplicial débil cuyos n- símplices son las ( n +1)-tuplas ordenadas de elementos de G . Un n- símplice de este tipo se une a los (n−1) símplices de la misma forma que un símplice estándar se une a sus caras, donde significa que se elimina este vértice. El complejo EG es contráctil. El grupo G actúa sobre EG por multiplicación izquierda, ${\displaystyle [g_{0},\ldots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle [g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}_{i}}$

${\displaystyle g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}],}$

y sólo la identidad e toma cualquier símplex para sí misma. Por lo tanto, la acción de G sobre EG es una acción de cobertura espacial y la función cociente es la cobertura universal del espacio de órbitas , y BG es un . ^[2] ${\displaystyle EG\to EG/G}$ ${\displaystyle BG=EG/G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

En términos abstractos (que no son los utilizados originalmente alrededor de 1950 cuando se introdujo por primera vez la idea) se trata de si un determinado funtor es representable : el funtor contravariante de la categoría de homotopía a la categoría de conjuntos , definida por

h ( Z ) = conjunto de clases de isomorfismo de los G -fibrados principales en Z.

Las condiciones abstractas conocidas para esto ( teorema de representabilidad de Brown ) garantizan que el resultado, como teorema de existencia , sea afirmativo y no demasiado difícil.

Ejemplos

1. El círculo es un espacio clasificador del grupo cíclico infinito El espacio total es ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .}$
2. El n -toro es un espacio de clasificación para , el grupo abeliano libre de rango n . El espacio total es ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.}$
3. La cuña de n círculos es un espacio clasificador para el grupo libre de rango n .
4. Una superficie S cerrada (es decir, compacta y sin límite) conexa de género al menos 1 es un espacio clasificatorio para su grupo fundamental ${\displaystyle \pi _{1}(S).}$
5. Una variedad hiperbólica conexa cerrada (es decir, compacta y sin borde) M es un espacio clasificador para su grupo fundamental . ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
6. Un complejo cúbico CAT(0) localmente conexo finito es un espacio clasificador de su grupo fundamental .
7. El espacio proyectivo de dimensión infinita (el límite directo de los espacios proyectivos de dimensión finita) es un espacio clasificador para el grupo cíclico. El espacio total es (el límite directo de las esferas) . Alternativamente, se puede utilizar el espacio de Hilbert con el origen eliminado; es contráctil. ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }}$ ${\displaystyle S^{n}.}$
8. El espacio es el espacio clasificador del grupo cíclico Aquí, se entiende por espacio un cierto subconjunto del espacio de Hilbert de dimensión infinita con el origen eliminado; se considera que el grupo cíclico actúa sobre él mediante multiplicación con raíces de la unidad. ${\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$
9. El espacio de configuración desordenado es el espacio de clasificación del grupo trenzado de Artin , ^[3] y el espacio de configuración ordenado es el espacio de clasificación para el grupo trenzado de Artin puro ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle P_{n}.}$
10. El espacio de configuración (desordenado) es un espacio de clasificación para el grupo simétrico ^[4] ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle S_{n}.}$
11. El espacio proyectivo complejo de dimensión infinita es el espacio clasificador BS ¹ para el círculo S ¹ considerado como un grupo topológico compacto. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$
12. El Grassmanniano de n -planos en es el espacio de clasificación del grupo ortogonal O( n ) . El espacio total es , la variedad de Stiefel de los sistemas ortonormales n -dimensionales en ${\displaystyle Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}$

Aplicaciones

Esto aún deja la cuestión de hacer cálculos efectivos con BG ; por ejemplo, la teoría de clases características es esencialmente la misma que calcular los grupos de cohomología de BG , al menos dentro de los términos restrictivos de la teoría de homotopía, para grupos interesantes G como los grupos de Lie (teorema de H. Cartan). ^{[ aclaración necesaria ]} Como lo demostró el teorema de periodicidad de Bott , los grupos de homotopía de BG también son de interés fundamental.

Un ejemplo de un espacio de clasificación es aquel en el que G es cíclico de orden dos; entonces BG es un espacio proyectivo real de dimensión infinita, lo que corresponde a la observación de que EG puede tomarse como el espacio contráctil resultante de eliminar el origen en un espacio de Hilbert de dimensión infinita , con G actuando a través de v yendo a − v , y permitiendo la equivalencia de homotopía al elegir BG . Este ejemplo muestra que la clasificación de espacios puede ser complicada.

En relación con la geometría diferencial ( teoría de Chern–Weil ) y la teoría de los Grassmannianos , es posible un enfoque mucho más práctico de la teoría para casos como los grupos unitarios que son de mayor interés. La construcción del complejo de Thom MG mostró que los espacios BG también estaban implicados en la teoría del cobordismo , de modo que asumieron un lugar central en las consideraciones geométricas que surgían de la topología algebraica . Dado que la cohomología de grupos puede (en muchos casos) definirse mediante el uso de espacios de clasificación, también pueden verse como fundamentales en gran parte del álgebra homológica .

Las generalizaciones incluyen aquellas para clasificar foliaciones y los topos clasificadores para teorías lógicas del cálculo de predicados en lógica intuicionista que toman el lugar de un "espacio de modelos".

Véase también

• Espacio de clasificación para O(n) , B O( n )
• Espacio de clasificación para U(n) , B U( n )
• Espacio de clasificación para SO(n)
• Espacio de clasificación para SU(n)
• Pila de clasificación
• Teorema de Borel
• Cohomología equivariante

Notas

1. Stasheff, James D. (1971), "Espacios H y espacios de clasificación: fundamentos y desarrollos recientes", Topología algebraica (Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), American Mathematical Society , pp. 247–272 Teorema 2, doi :10.1090/pspum/022/0321079, ISBN 978-0-8218-9308-1, Sr.  0321079
2. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . pág. 89. ISBN. 0-521-79160-X.OCLC 45420394  .
3. Arnold, Vladimir I. (1969). "El anillo de cohomología del grupo trenzado coloreado". Vladimir I. Arnold — Obras completas . Springer. págs. 183–6. doi :10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0.
4. "clasificación del espacio en nLab". ncatlab.org . Consultado el 22 de agosto de 2017 .

Referencias

• May, JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2.
• Clasificando el espacio en el laboratorio n
• "Clasificación del espacio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]