La esfera cornuda de Alexander es un objeto patológico en topología descubierto por JW Alexander (1924). Es una incrustación topológica particular de una esfera bidimensional en un espacio tridimensional. Junto con su interior, es una bola topológica de 3 , la bola con cuernos de Alexander , y por eso está simplemente conexa ; es decir, cada bucle se puede reducir hasta un punto mientras permanece dentro. Sin embargo, el exterior no está simplemente conectado, a diferencia del exterior de la habitual esfera redonda.
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La esfera con cuernos de Alexander es la incrustación particular (topológica) de una esfera en un espacio euclidiano tridimensional obtenida mediante la siguiente construcción, comenzando con un toro estándar : [1]
Al considerar solo los puntos del tori que no se eliminan en algún momento, se obtiene una incrustación de la esfera con un conjunto de Cantor eliminado. Esta incrustación se extiende a un mapa continuo de toda la esfera, que es inyectivo (de ahí una incrustación topológica ya que la esfera es compacta), ya que los puntos en la esfera que se acercan a dos puntos diferentes del conjunto de Cantor terminarán en diferentes 'cuernos' en algún momento. y por lo tanto tienen imágenes diferentes.
La esfera cornuda, junto con su interior, es una bola topológica de 3 bolas , la bola cornuda de Alexander , y por lo tanto está simplemente conexa ; es decir, cada bucle se puede reducir hasta un punto mientras permanece dentro. El exterior no está simplemente conectado, a diferencia del exterior de la habitual esfera redonda; un bucle que une un toroide en la construcción anterior no se puede reducir a un punto sin tocar la esfera con cuernos. Esto muestra que el teorema de Jordan-Schönflies no se cumple en tres dimensiones, como había pensado originalmente Alexander. Alexander también demostró que el teorema se cumple en tres dimensiones para incrustaciones lineales / suaves por partes . Este es uno de los primeros ejemplos en los que se hizo evidente la necesidad de distinguir entre las categorías de variedades topológicas , variedades diferenciables y variedades lineales por partes .
Ahora considere la esfera cornuda de Alejandro como una incrustación en la 3-esfera , considerada como la compactación de un punto del espacio euclidiano tridimensional R 3 . El cierre del dominio no simplemente conexo se llama esfera sólida con cuernos de Alejandro . Aunque la esfera cornuda sólida no es una variedad , RH Bing demostró que su doble (que es la variedad tridimensional obtenida pegando dos copias de la esfera cornuda a lo largo de los puntos correspondientes de sus límites) es de hecho la esfera tridimensional. [2] Se pueden considerar otras uniones de la esfera sólida con cuernos a una copia de sí misma, que surgen de diferentes homeomorfismos de la esfera límite con respecto a sí misma. También se ha demostrado que esta es la 3 esfera. La sólida esfera con cuernos de Alexander es un ejemplo de cubo arrugado ; es decir, un dominio complementario cerrado de la incorporación de una 2 esferas en la 3 esferas.
Se puede generalizar la construcción de Alejandro para generar otras esferas con cuernos aumentando el número de cuernos en cada etapa de la construcción de Alejandro o considerando la construcción análoga en dimensiones superiores.
Existen otras construcciones sustancialmente diferentes para construir tales esferas "salvajes". Otro ejemplo, también encontrado por Alexander, es la esfera con cuernos de Antoine , que se basa en el collar de Antoine , una incrustación patológica del Cantor engastado en las 3 esferas.