Modelo de corrección de errores

Tipo de modelo de serie temporal

Un modelo de corrección de errores ( ECM ) pertenece a una categoría de modelos de series de tiempo múltiples que se utilizan más comúnmente para datos donde las variables subyacentes tienen una tendencia estocástica común a largo plazo, también conocida como cointegración . Los ECM son un enfoque teórico útil para estimar los efectos tanto a corto como a largo plazo de una serie temporal sobre otra. El término corrección de errores se relaciona con el hecho de que la desviación del último período respecto de un equilibrio de largo plazo, el error , influye en su dinámica de corto plazo. Por tanto, los MCE estiman directamente la velocidad a la que una variable dependiente regresa al equilibrio después de un cambio en otras variables.

Historia

Yule (1926) y Granger y Newbold (1974) fueron los primeros en llamar la atención sobre el problema de la correlación espuria y encontrar soluciones sobre cómo abordarlo en el análisis de series temporales. ^{[1] [2]} Dadas dos series de tiempo completamente no relacionadas pero integradas (no estacionarias), el análisis de regresión de una sobre la otra tenderá a producir una relación aparentemente estadísticamente significativa y, por lo tanto, un investigador podría creer falsamente que ha encontrado evidencia de una verdadera relación entre estas variables. Los mínimos cuadrados ordinarios ya no serán consistentes y las estadísticas de prueba comúnmente utilizadas dejarán de ser válidas. En particular, las simulaciones de Monte Carlo muestran que se obtendrá un R cuadrado muy alto , un estadístico t individual muy alto y un estadístico de Durbin-Watson bajo . Técnicamente hablando, Phillips (1986) demostró que las estimaciones de los parámetros no convergerán en probabilidad , el intercepto divergirá y la pendiente tendrá una distribución no degenerada a medida que aumenta el tamaño de la muestra. ^[3] Sin embargo, podría haber una tendencia estocástica común en ambas series que un investigador esté realmente interesado porque refleja una relación de largo plazo entre estas variables.

Debido a la naturaleza estocástica de la tendencia, no es posible dividir las series integradas en una tendencia determinista (predecible) y una serie estacionaria que contiene desviaciones de la tendencia. Incluso en paseos aleatorios sin tendencia determinista , eventualmente surgirán correlaciones espurias. Por tanto, la eliminación de tendencias no resuelve el problema de estimación.

Para seguir utilizando el enfoque de Box-Jenkins , se podrían diferenciar las series y luego estimar modelos como ARIMA , dado que muchas series de tiempo comúnmente utilizadas (por ejemplo, en economía) parecen ser estacionarias en primeras diferencias. Los pronósticos de dicho modelo seguirán reflejando los ciclos y la estacionalidad que están presentes en los datos. Sin embargo, se omite cualquier información sobre los ajustes a largo plazo que puedan contener los datos en niveles y los pronósticos a más largo plazo no serán confiables.

Esto llevó a Sargan (1964) a desarrollar la metodología ECM, que retiene la información de nivel. ^{[4] [5]}

Estimacion

Se conocen varios métodos en la literatura para estimar un modelo dinámico refinado como se describe anteriormente. Entre ellos se encuentran el enfoque de 2 pasos de Engle y Granger, que estima su ECM en un solo paso, y el VECM basado en vectores utilizando el método de Johansen . ^[6]

Engle y Granger enfoque de dos pasos

El primer paso de este método es probar previamente las series de tiempo individuales que se utilizan para confirmar que, en primer lugar, no son estacionarias . Esto se puede hacer mediante la prueba DF de raíz unitaria estándar y la prueba ADF (para resolver el problema de los errores correlacionados en serie). Tomemos el caso de dos series diferentes y . Si ambos son I(0), el análisis de regresión estándar será válido. Si se integran en un orden diferente, por ejemplo uno siendo I(1) y el otro I(0), hay que transformar el modelo. ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

Si ambos están integrados en el mismo orden (comúnmente I(1)), podemos estimar un modelo ECM de la forma

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha (y_{t-1}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t-1})+\nu _{t}.}$

Si ambas variables están integradas y este ECM existe, están cointegradas por el teorema de representación de Engle-Granger.

El segundo paso es entonces estimar el modelo utilizando mínimos cuadrados ordinarios : si la regresión no es espuria como lo determinan los criterios de prueba descritos anteriormente, los mínimos cuadrados ordinarios no sólo serán válidos, sino también consistentes (Stock, 1987). Luego, los residuos predichos de esta regresión se guardan y se utilizan en una regresión de variables diferenciadas más un término de error rezagado. ${\displaystyle y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{t}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle {\hat {\varepsilon _{t}}}=y_{t}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t}}$

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha {\hat {\varepsilon }}_{t-1}+\nu _{t}.}$

Luego se puede probar la cointegración utilizando un estadístico t estándar de . Si bien este enfoque es fácil de aplicar, existen numerosos problemas: ${\displaystyle \alpha }$

• Las pruebas de raíz unitaria univariadas utilizadas en la primera etapa tienen un poder estadístico bajo
• La elección de la variable dependiente en la primera etapa influye en los resultados de la prueba, es decir, necesitamos una exogeneidad débil según lo determinado por la causalidad de Granger. ${\displaystyle x_{t}}$
• Potencialmente se puede tener un pequeño sesgo de muestra.
• La prueba de cointegración no sigue una distribución estándar ${\displaystyle \alpha }$
• La validez de los parámetros de largo plazo en la primera etapa de regresión donde se obtienen los residuos no se puede verificar porque la distribución del estimador MCO del vector de cointegración es muy complicada y anormal.
• Se puede examinar como máximo una relación de cointegración. ^{[ cita necesaria ]}

VECM

El enfoque Engle-Granger descrito anteriormente adolece de una serie de debilidades. Es decir, se limita a una sola ecuación con una variable designada como variable dependiente, explicada por otra variable que se supone que es débilmente exógena a los parámetros de interés. También se basa en probar previamente la serie de tiempo para descubrir si las variables son I(0) o I(1). Estas debilidades pueden abordarse mediante el uso del procedimiento de Johansen. Sus ventajas incluyen que no es necesario realizar pruebas previas, puede haber numerosas relaciones de cointegración, todas las variables se tratan como endógenas y son posibles pruebas relacionadas con los parámetros de largo plazo. El modelo resultante se conoce como modelo de corrección de errores vectoriales (VECM), ya que agrega características de corrección de errores a un modelo multifactor conocido como autorregresión vectorial (VAR). El procedimiento se realiza de la siguiente manera:

• Paso 1: estimar un VAR no restringido que involucre variables potencialmente no estacionarias
• Paso 2: Prueba de cointegración mediante la prueba de Johansen
• Paso 3: Formar y analizar el VECM.

Un ejemplo de ECM

La idea de cointegración puede demostrarse en un entorno macroeconómico simple. Supongamos que el consumo y la renta disponible son series de tiempo macroeconómicas que están relacionadas en el largo plazo (ver Hipótesis de la renta permanente ). En concreto, supongamos que la propensión media al consumo sea del 90%, es decir, en el largo plazo . Desde el punto de vista del econometrista, esta relación de largo plazo (también conocida como cointegración) existe si los errores de la regresión son una serie estacionaria , aunque no sean estacionarios. Supongamos también que si cambia repentinamente en , entonces cambia en , es decir, la propensión marginal a consumir es igual al 50%. Nuestro supuesto final es que la brecha entre el consumo actual y el de equilibrio disminuye cada período en un 20%. ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}=0.9Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}=\beta Y_{t}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \Delta Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}}$

En este contexto, un cambio en el nivel de consumo se puede modelar como . El primer término de la RHS describe el impacto a corto plazo del cambio en , el segundo término explica la gravitación a largo plazo hacia la relación de equilibrio entre las variables y el tercer término refleja los shocks aleatorios que recibe el sistema (por ejemplo, shocks de confianza del consumidor que afectan el consumo). Para ver cómo funciona el modelo, consideremos dos tipos de shocks: permanentes y transitorios (temporales). Por simplicidad, sea cero para todo t. Supongamos que en el período t  − 1 el sistema está en equilibrio, es decir . Supongamos que en el periodo t, la renta disponible aumenta en 10 y luego vuelve a su nivel anterior. Luego el primero (en el período t) aumenta en 5 (la mitad de 10), pero después del segundo período comienza a disminuir y converge a su nivel inicial. Por el contrario, si el shock es permanente, entonces converge lentamente a un valor que supera al inicial en 9. ${\displaystyle \Delta C_{t}=C_{t}-C_{t-1}}$ ${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}-0.2(C_{t-1}-0.9Y_{t-1})+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle C_{t-1}=0.9Y_{t-1}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle C_{t-1}}$

Esta estructura es común a todos los modelos de ECM. En la práctica, los econometristas suelen estimar primero la relación de cointegración (ecuación en niveles) y luego la insertan en el modelo principal (ecuación en diferencias).

Referencias

1. Navidad, Georges Udny (1926). "¿Por qué a veces obtenemos correlaciones sin sentido entre series temporales? - Un estudio sobre el muestreo y la naturaleza de las series temporales". Revista de la Real Sociedad de Estadística . 89 (1): 1–63. JSTOR  2341482.
2. Granger, CWJ; Newbold, P. (1978). "Regresiones espurias en econometría". Revista de Econometría . 2 (2): 111–120. JSTOR  2231972.
3. Phillips, Peter CB (1985). "Comprensión de las regresiones espurias en econometría" (PDF) . Documentos de debate de la Fundación Cowles 757 . Fundación Cowles para la Investigación en Economía, Universidad de Yale.
4. Sargan, JD (1964). "Salarios y precios en el Reino Unido: un estudio sobre metodología econométrica", 16, 25–54. en Análisis econométrico para la planificación económica nacional , ed. por PE Hart, G. Mills y JN Whittaker. Londres: Butterworths
5. Davidson, JEH; Hendry, DF ; Srba, F.; Yeo, JS (1978). "Modelado econométrico de la relación agregada de series de tiempo entre el gasto y la renta de los consumidores en el Reino Unido". Revista Económica . 88 (352): 661–692. JSTOR  2231972.
6. Engle, Robert F.; Granger, Clive WJ (1987). "Cointegración y corrección de errores: representación, estimación y prueba". Econométrica . 55 (2): 251–276. JSTOR  1913236.

Otras lecturas

• Dolado, Juan J.; Gonzalo, Jesús; Mármol, Francesc (2001). "Cointegración". En Baltagi, Badi H. (ed.). Un compañero de la econometría teórica . Oxford: Blackwell. págs. 634–654. doi :10.1002/9780470996249.ch31. ISBN 0-631-21254-X.
• Enders, Walter (2010). Series temporales econométricas aplicadas (Tercera ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Lütkepohl, Helmut (2006). Nueva introducción al análisis de series temporales múltiples . Berlín: Springer. págs. 237–352. ISBN 978-3-540-26239-8.
• Martín, Vance; Hurra, Stan; Harris, David (2013). Modelización econométrica con series temporales . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 662–711. ISBN 978-0-521-13981-6.