Proceso estacionario de tendencia

En el análisis estadístico de series temporales , un proceso de tendencia estacionaria es un proceso estocástico del cual se puede eliminar una tendencia subyacente (función únicamente del tiempo) , dejando un proceso estacionario . ^[1] La tendencia no tiene por qué ser lineal.

Por el contrario, si el proceso requiere que la diferenciación se haga estacionaria, entonces se llama diferencia estacionaria y posee una o más raíces unitarias . ^{[2] [3]} Esos dos conceptos a veces pueden confundirse, pero si bien comparten muchas propiedades, son diferentes en muchos aspectos. Es posible que una serie temporal no sea estacionaria, pero no tenga raíz unitaria y sea estacionaria en términos de tendencia. Tanto en los procesos de raíz unitaria como en los de tendencia estacionaria, la media puede crecer o disminuir con el tiempo; sin embargo, en presencia de un shock, los procesos de tendencia estacionaria revierten la media (es decir, son transitorios, la serie temporal convergerá nuevamente hacia la media creciente, que no se vio afectada por el shock), mientras que los procesos de raíz unitaria tienen un impacto permanente en la media (es decir, sin convergencia en el tiempo). ^[4]

Definicion formal

Se dice que un proceso { Y } es estacionario en tendencia si ^[5]

${\displaystyle Y_{t}=f(t)+e_{t},}$

donde t es el tiempo, f es cualquier función que se mapee de reales a reales y { e } es un proceso estacionario. Se dice que el valor es el valor de tendencia del proceso en el momento  t . ${\displaystyle f(t)}$

Ejemplo más simple: estacionariedad alrededor de una tendencia lineal

Supongamos que la variable Y evoluciona según

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+b+e_{t}}$

donde t es el tiempo y e _t es el término de error, que se supone que es ruido blanco o, más generalmente, que ha sido generado por cualquier proceso estacionario. Entonces se puede utilizar la regresión lineal ^{[5] [6] [7]} para obtener una estimación de la verdadera pendiente de la tendencia subyacente y una estimación del término de intersección subyacente b ; si la estimación es significativamente diferente de cero, esto es suficiente para mostrar con alta confianza que la variable Y no es estacionaria. Los residuos de esta regresión están dados por ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{t}=Y_{t}-{\hat {a}}\cdot t-{\hat {b}}.}$

Si se puede demostrar estadísticamente que estos residuos estimados son estacionarios (más precisamente, si se puede rechazar la hipótesis de que los verdaderos errores subyacentes no son estacionarios), entonces los residuos se denominan datos sin tendencia , ^[8] y la serie original Se dice que { Y _t } es estacionario en términos de tendencia aunque no lo sea.

Estacionariedad en torno a otros tipos de tendencia

Tendencia de crecimiento exponencial

Muchas series de tiempo económicas se caracterizan por un crecimiento exponencial . Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el producto interno bruto se caracteriza por desviaciones estacionarias de una tendencia que implica una tasa de crecimiento constante. Entonces podría modelarse como

${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}=Be^{at}U_{t}}$

Se supone que U _t es un proceso de error estacionario. Para estimar los parámetros y B , primero se toma ^[8] el logaritmo natural (ln) de ambos lados de esta ecuación: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \ln({\text{GDP}}_{t})=\ln B+at+\ln(U_{t}).}$

Esta ecuación log-lineal tiene la misma forma que la ecuación de tendencia lineal anterior y se puede eliminar la tendencia de la misma manera, dando el valor estimado como el valor sin tendencia de y, por lo tanto, el implícito como el valor sin tendencia de , suponiendo que se pueda rechazar la hipótesis. eso no es estacionario. ${\displaystyle (\ln U)_{t}}$ ${\displaystyle (\ln {\text{GDP}})_{t}}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}}$ ${\displaystyle (\ln U)_{t}}$

tendencia cuadrática

Las tendencias no tienen por qué ser lineales o loglineales. Por ejemplo, una variable podría tener una tendencia cuadrática:

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+c\cdot t^{2}+b+e_{t}.}$

Esto se puede hacer en regresión lineal en los coeficientes usando t y t ² como regresores; Nuevamente, si se muestra que los residuos son estacionarios, entonces son los valores sin tendencia de . ${\displaystyle Y_{t}}$

Ver también

• Estimación de tendencias
• Descomposición de series temporales.
• prueba KPSS

Notas

1. About.com economía Glosario en línea de investigación económica
2. "Pruebas de diferenciación y raíz unitaria" (PDF) . páginas.stern.nyu.edu . Archivado (PDF) desde el original el 13 de mayo de 2004 . Consultado el 27 de mayo de 2023 .
3. Burke, Orlaith (2011). «Serie no estacionaria» (PDF) . www.stats.ox.ac.uk . Universidad de Oxford . Archivado desde el original (PDF) el 11 de junio de 2014 . Consultado el 27 de mayo de 2023 .
4. Heino Bohn-Nielsen. "Pruebas de raíces unitarias y series temporales no estacionarias" (PDF) .
5. Nelson, Charles R. y Plosser, Charles I. (1982), "Tendencias y paseos aleatorios en series temporales macroeconómicas: algunas pruebas e implicaciones", Journal of Monetary Economics , 10, 139-162.
6. Hegwood, Natalie y Papell, David H. "¿Son estacionarios los niveles del PIB real como tendencia, diferencia o tendencia según el régimen? Evidencia de pruebas de datos de panel que incorporan cambios estructurales". http://www.uh.edu/~dpapell/realgdp.pdf
7. Lucke, Bernd. "¿Es estacionaria la tendencia del PIB de Alemania? Un enfoque de medición con teoría". «Copia archivada» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 8 de julio de 2011 . Consultado el 7 de diciembre de 2010 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
8. http://www.duke.edu/~rnau/411diff.htm "Estacionariedad y diferenciación"