Equilibrio hidrostático

Estado de equilibrio entre fuerzas externas sobre un fluido y gradiente de presión interna

Diagrama de un planeta recién formado en estado de equilibrio hidrostático.

En mecánica de fluidos , el equilibrio hidrostático ( balance hidrostático , hidrostasis ) es la condición de un fluido o sólido plástico en reposo, que ocurre cuando fuerzas externas, como la gravedad , se equilibran con una fuerza de gradiente de presión . ^[1] En la física planetaria de la Tierra, la fuerza de gradiente de presión evita que la gravedad colapse la atmósfera planetaria en una capa delgada y densa, mientras que la gravedad evita que la fuerza de gradiente de presión difunda la atmósfera hacia el espacio exterior . ^{[2] [3]} En general, es lo que hace que los objetos en el espacio sean esféricos.

El equilibrio hidrostático es el criterio distintivo entre los planetas enanos y los cuerpos pequeños del sistema solar , y es un rasgo característico de la astrofísica y la geología planetaria . Dicha calificación de equilibrio indica que la forma del objeto es simétricamente redondeada, debido principalmente a la rotación , en un elipsoide , donde cualquier característica irregular de la superficie es consecuencia de una corteza sólida relativamente delgada . Además del Sol, hay una docena de objetos en equilibrio confirmados en el Sistema Solar .

Consideración matemática

Si el volumen de fluido resaltado no está acelerando, las fuerzas hacia arriba deben ser iguales a las fuerzas hacia abajo.

Para un fluido hidrostático en la Tierra: $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Derivación de la suma de fuerzas

Las leyes de movimiento de Newton establecen que un volumen de fluido que no está en movimiento o que se encuentra en un estado de velocidad constante debe tener una fuerza neta cero sobre él. Esto significa que la suma de las fuerzas en una dirección dada debe tener como contrapartida una suma igual de fuerzas en la dirección opuesta. Este equilibrio de fuerzas se denomina equilibrio hidrostático.

El fluido se puede dividir en un gran número de elementos de volumen cuboide ; considerando un solo elemento, se puede derivar la acción del fluido.

Hay tres fuerzas: la fuerza hacia abajo sobre la parte superior del cuboide debido a la presión, P , del fluido que está sobre él es, según la definición de presión , . De manera similar, la fuerza sobre el elemento de volumen debido a la presión del fluido que está debajo que empuja hacia arriba es $${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$ $${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

Finalmente, el peso del elemento de volumen provoca una fuerza hacia abajo. Si la densidad es ρ , el volumen es V y g la gravedad estándar , entonces: El volumen de este cuboide es igual al área de la parte superior o inferior multiplicada por la altura: la fórmula para hallar el volumen de un cubo. $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$ $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

Al equilibrar estas fuerzas, la fuerza total sobre el fluido es Esta suma es igual a cero si la velocidad del fluido es constante. Dividiendo por A, O, P _arriba − P _abajo es un cambio en la presión y h es la altura del elemento de volumen, un cambio en la distancia sobre el suelo. Al decir que estos cambios son infinitesimalmente pequeños, la ecuación se puede escribir en forma diferencial . La densidad cambia con la presión y la gravedad cambia con la altura, por lo que la ecuación sería: $${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$ $${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$ $${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$ $${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$ $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Nótese finalmente que esta última ecuación se puede derivar resolviendo las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes para la situación de equilibrio donde Entonces la única ecuación no trivial es la ecuación , que ahora se lee Por lo tanto, el equilibrio hidrostático puede considerarse como una solución de equilibrio particularmente simple de las ecuaciones de Navier-Stokes. $${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$

Derivación de la relatividad general

Al introducir el tensor de energía-momento de un fluido perfecto en las ecuaciones de campo de Einstein y usar la condición de conservación, se puede derivar la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para la estructura de una estrella relativista estática y esféricamente simétrica en coordenadas isótropas: En la práctica, Ρ y ρ están relacionados por una ecuación de estado de la forma f ( Ρ , ρ ) = 0, donde f es específica de la composición de la estrella. M ( r ) es una foliación de esferas ponderada por la densidad de masa ρ ( r ), con la esfera más grande teniendo radio r : Según el procedimiento estándar al tomar el límite no relativista, dejamos c → ∞ , de modo que el factor Por lo tanto, en el límite no relativista la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se reduce al equilibrio hidrostático de Newton: (hemos hecho el cambio de notación trivial h  =  r y hemos usado f ( Ρ , ρ ) = 0 para expresar ρ en términos de P ). ^[4] Se puede calcular una ecuación similar para estrellas rotatorias, axialmente simétricas, que en su forma independiente del calibre se lee: A diferencia de la ecuación de equilibrio TOV, estas son dos ecuaciones (por ejemplo, si como es habitual al tratar estrellas, uno elige coordenadas esféricas como coordenadas base , el índice i corre para las coordenadas r y ). $${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$ $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$ $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$ $${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$ $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$ ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$

Aplicaciones

Fluidos

El equilibrio hidrostático pertenece a la hidrostática y a los principios de equilibrio de fluidos . Una balanza hidrostática es una balanza particular para pesar sustancias en agua. La balanza hidrostática permite descubrir sus gravedades específicas . Este equilibrio es estrictamente aplicable cuando un fluido ideal está en flujo laminar horizontal constante y cuando cualquier fluido está en reposo o en movimiento vertical a velocidad constante. También puede ser una aproximación satisfactoria cuando las velocidades de flujo son lo suficientemente bajas como para que la aceleración sea despreciable.

Astrofísica y ciencia planetaria

Desde la época de Isaac Newton se ha trabajado mucho en el tema del equilibrio alcanzado cuando un fluido gira en el espacio. Esto tiene aplicación tanto en estrellas como en objetos como los planetas, que pueden haber sido fluidos en el pasado o en los que el material sólido se deforma como un fluido cuando se somete a tensiones muy altas. En cualquier capa dada de una estrella hay un equilibrio hidrostático entre el gradiente de presión que empuja hacia afuera y el peso del material de encima que presiona hacia adentro. También se pueden estudiar los planetas bajo el supuesto de equilibrio hidrostático. Una estrella o planeta rotatorio en equilibrio hidrostático suele ser un esferoide achatado , es decir, un elipsoide en el que dos de los ejes principales son iguales y más largos que el tercero. Un ejemplo de este fenómeno es la estrella Vega , que tiene un período de rotación de 12,5 horas. En consecuencia, Vega es aproximadamente un 20% más grande en el ecuador que de polo a polo.

En su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de 1687 , Newton afirmó correctamente que un fluido giratorio de densidad uniforme bajo la influencia de la gravedad tomaría la forma de un esferoide y que la gravedad (incluido el efecto de la fuerza centrífuga ) sería más débil en el ecuador que en los polos en una cantidad igual (al menos asintóticamente ) a cinco cuartas partes de la fuerza centrífuga en el ecuador. ^[5] En 1742, Colin Maclaurin publicó su tratado sobre fluxiones, en el que demostró que el esferoide era una solución exacta. Si designamos el radio ecuatorial por el radio polar por y la excentricidad por con ${\displaystyle r_{e},}$ ${\displaystyle r_{p},}$ ${\displaystyle \epsilon ,}$

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

descubrió que la gravedad en los polos es ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

donde es la constante gravitacional, es la densidad (uniforme) y es la masa total. La relación entre ésta y la gravedad, si el fluido no está rotando, es asintótica a ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0},}$

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

a medida que tiende a cero, donde está el aplanamiento: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

La atracción gravitatoria en el ecuador (sin incluir la fuerza centrífuga) es

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

Asintóticamente tenemos:

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

Maclaurin demostró (aún en el caso de densidad uniforme) que el componente de la gravedad hacia el eje de rotación dependía sólo de la distancia desde el eje y era proporcional a esa distancia, y el componente en la dirección hacia el plano del ecuador dependía sólo de la distancia desde ese plano y era proporcional a esa distancia. Newton ya había señalado que la gravedad sentida en el ecuador (incluyendo el aligeramiento debido a la fuerza centrífuga) tiene que ser para tener la misma presión en el fondo de los canales desde el polo o desde el ecuador hasta el centro, por lo que la fuerza centrífuga en el ecuador debe ser ${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

Al definir la latitud como el ángulo entre una tangente al meridiano y el eje de rotación, la gravedad total sentida en la latitud (incluido el efecto de la fuerza centrífuga) es ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

Esta solución esferoide es estable hasta un cierto momento angular (crítico) (normalizado por ), pero en 1834 Carl Jacobi demostró que se vuelve inestable una vez que la excentricidad alcanza 0,81267 (o alcanza 0,3302). Por encima del valor crítico, la solución se convierte en un elipsoide de Jacobi, o escaleno, (uno con los tres ejes diferentes). Henri Poincaré en 1885 descubrió que con un momento angular aún mayor ya no será elipsoidal sino piriforme u oviforme . La simetría cae del grupo puntual 8-fold D _2h al 4-fold C _2v , con su eje perpendicular al eje de rotación. ^[7] Otras formas satisfacen las ecuaciones más allá de eso, pero no son estables, al menos no cerca del punto de bifurcación . ^{[7] [8]} Poincaré no estaba seguro de lo que sucedería con un momento angular mayor, pero concluyó que eventualmente la mancha se dividiría en dos. ${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$ ${\displaystyle f}$

La hipótesis de una densidad uniforme puede aplicarse más o menos a un planeta fundido o a un planeta rocoso, pero no se aplica a una estrella o a un planeta como la Tierra, que tiene un núcleo metálico denso. En 1737, Alexis Clairaut estudió el caso de una densidad que varía con la profundidad. ^[9] El teorema de Clairaut establece que la variación de la gravedad (incluida la fuerza centrífuga) es proporcional al cuadrado del seno de la latitud, y que la proporcionalidad depende linealmente del aplanamiento ( ) y de la relación en el ecuador entre la fuerza centrífuga y la atracción gravitatoria. (Compárese con la relación exacta anterior para el caso de una densidad uniforme.) El teorema de Clairaut es un caso especial, para un esferoide achatado, de una conexión encontrada más tarde por Pierre-Simon Laplace entre la forma y la variación de la gravedad. ^[10] ${\displaystyle f}$

Si la estrella tiene un objeto acompañante masivo cercano, también entran en juego las fuerzas de marea , que distorsionan la estrella y le dan una forma escalena, cuando la rotación por sí sola la convertiría en un esferoide. Un ejemplo de esto es Beta Lyrae .

El equilibrio hidrostático también es importante para el medio intracúmulo , donde restringe la cantidad de fluido que puede estar presente en el núcleo de un cúmulo de galaxias .

También podemos utilizar el principio del equilibrio hidrostático para estimar la dispersión de velocidad de la materia oscura en cúmulos de galaxias. Solo la materia bariónica (o, mejor dicho, las colisiones de la misma) emite radiación de rayos X. La luminosidad absoluta de rayos X por unidad de volumen toma la forma donde y son la temperatura y la densidad de la materia bariónica, y es alguna función de la temperatura y las constantes fundamentales. La densidad bariónica satisface la ecuación anterior : La integral es una medida de la masa total del cúmulo, siendo la distancia adecuada al centro del cúmulo. Usando la ley de los gases ideales ( es la constante de Boltzmann y es una masa característica de las partículas de gas bariónico) y reordenando, llegamos a Multiplicando por y diferenciando con respecto a los rendimientos Si hacemos la suposición de que las partículas de materia oscura fría tienen una distribución de velocidad isótropa, entonces la misma derivación se aplica a estas partículas, y su densidad satisface la ecuación diferencial no lineal Con datos perfectos de rayos X y distancia, podríamos calcular la densidad de bariones en cada punto del cúmulo y, por lo tanto, la densidad de materia oscura. Entonces podríamos calcular la dispersión de velocidad de la materia oscura, que está dada por La razón de densidad central depende del corrimiento al rojo del cúmulo y está dada por donde es el ancho angular del cúmulo y la distancia adecuada al cúmulo. Los valores para la razón varían de 0,11 a 0,14 para varios estudios. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle \rho _{B}}$ ${\displaystyle \Lambda (T)}$ ${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$ $${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{B}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ ${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ ${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ ${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$ $${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$ ${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$

Geología planetaria

El concepto de equilibrio hidrostático también ha adquirido importancia para determinar si un objeto astronómico es un planeta , un planeta enano o un cuerpo pequeño del Sistema Solar . Según la definición de planeta adoptada por la Unión Astronómica Internacional en 2006, una característica definitoria de los planetas y los planetas enanos es que son objetos que tienen suficiente gravedad para superar su propia rigidez y asumir el equilibrio hidrostático. Un cuerpo de este tipo a menudo tendrá el interior y la geología diferenciados de un mundo (un planemo ), aunque los cuerpos casi hidrostáticos o anteriormente hidrostáticos como el protoplaneta 4 Vesta también pueden diferenciarse y algunos cuerpos hidrostáticos (notablemente Calisto ) no se han diferenciado completamente desde su formación. A menudo, la forma de equilibrio es un esferoide achatado , como es el caso de la Tierra. Sin embargo, en los casos de lunas en órbita sincrónica, las fuerzas de marea casi unidireccionales crean un elipsoide escaleno . Además, el supuesto planeta enano Haumea es escaleno debido a su rápida rotación, aunque es posible que actualmente no esté en equilibrio.

Anteriormente se creía que los objetos helados necesitaban menos masa para alcanzar el equilibrio hidrostático que los objetos rocosos. El objeto más pequeño que parece tener una forma de equilibrio es la luna helada Mimas a 396 km, mientras que el objeto helado más grande conocido que tiene una forma obviamente fuera del equilibrio es la luna helada Proteo a 420 km, y los cuerpos rocosos más grandes en una forma obviamente fuera del equilibrio son los asteroides Pallas y Vesta a unos 520 km. Sin embargo, Mimas no está realmente en equilibrio hidrostático para su rotación actual. El cuerpo más pequeño confirmado que está en equilibrio hidrostático es el planeta enano Ceres , que es helado, a 945 km, mientras que el cuerpo más grande conocido que tiene una desviación notable del equilibrio hidrostático es Jápeto , que está hecho principalmente de hielo permeable y casi sin roca. ^[12] A 1.469 km, Jápeto no es esférico ni elipsoide. En cambio, tiene una extraña forma parecida a una nuez debido a su cresta ecuatorial única . ^[13] Algunos cuerpos helados pueden estar en equilibrio al menos en parte debido a un océano subterráneo, que no es la definición de equilibrio utilizada por la UAI (la gravedad supera las fuerzas internas de los cuerpos rígidos). Incluso cuerpos más grandes se desvían del equilibrio hidrostático, aunque son elipsoidales: ejemplos de ello son la Luna de la Tierra a 3.474 km (principalmente roca), ^[14] y el planeta Mercurio a 4.880 km (principalmente metal). ^[15]

En 2024, Kiss et al. descubrieron que Quaoar tiene una forma elipsoidal incompatible con el equilibrio hidrostático para su giro actual. Plantearon la hipótesis de que Quaoar originalmente tenía una rotación rápida y estaba en equilibrio hidrostático, pero que su forma se "congeló" y no cambió a medida que giraba hacia abajo debido a las fuerzas de marea de su luna Weywot . ^[16] De ser así, esto se parecería a la situación de Jápeto, que es demasiado achatado para su giro actual. ^{[17] [18]} No obstante , Jápeto generalmente todavía se considera una luna de masa planetaria , ^[19] aunque no siempre. ^[20]

Los cuerpos sólidos tienen superficies irregulares, pero las irregularidades locales pueden ser compatibles con el equilibrio global. Por ejemplo, la enorme base de la montaña más alta de la Tierra, Mauna Kea , ha deformado y deprimido el nivel de la corteza circundante, de modo que la distribución general de la masa se acerca al equilibrio.

Modelado atmosférico

En la atmósfera, la presión del aire disminuye a medida que aumenta la altitud. Esta diferencia de presión provoca una fuerza ascendente denominada fuerza de gradiente de presión . La fuerza de la gravedad equilibra esto, manteniendo la atmósfera unida a la Tierra y manteniendo las diferencias de presión con la altitud.

Véase también

• Lista de objetos gravitacionalmente redondeados del Sistema Solar ; una lista de objetos que tienen una forma redondeada y elipsoidal debido a su propia gravedad (pero que no están necesariamente en equilibrio hidrostático)
• Estática
• Experimento con dos globos

Referencias

1. White, Frank M. (2008). "Distribución de presión en un fluido". Mecánica de fluidos . Nueva York: McGraw-Hill. pp. 63, 66. ISBN 978-0-07-128645-9.
2. Vallis, Geoffrey K. (6 de noviembre de 2006). Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala. Cambridge University Press. ISBN 9781139459969.
3. Klinger, Barry A.; Haine, Thomas WN (14 de marzo de 2019). Circulación oceánica en tres dimensiones. Cambridge University Press. ISBN 9780521768436.
4. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Princeton University Press. pp. 451–454. ISBN 9780691145587.
5. Proposiciones X-XXIV (Movimientos de los cuerpos celestes y del mar), Proposiciones XIX y XX. Original en latín.
6. Colin Maclaurin (1742). Tratado sobre fluxiones (PDF) . pág. 125.Maclaurin no utiliza notación moderna, sino que da sus resultados en términos geométricos. Los resultados de la gravedad se encuentran en el artículo 646. En un momento dado, hace una afirmación errónea equivalente a , pero sus afirmaciones posteriores son correctas. ${\displaystyle d(\tan \theta -\theta )/d\tan \theta =\tan ^{2}\theta }$
7. Henri Poincaré (1892). "Las formas de equilibrio de una masa fluida en rotación". Revue Général des Sciences Pures et Appliquées .
8. "Galería: La forma del planeta Tierra". Josleys.com . Consultado el 15 de junio de 2014 .
9. Clairaut, Alexis; Colson, John (1737). "Una investigación sobre la figura de los planetas que giran alrededor de un eje, suponiendo que la densidad varía continuamente desde el centro hacia la superficie". Philosophical Transactions . JSTOR  103921.
10. Véase Sir George Stokes (1849). "Sobre las atracciones y el teorema de Clairaut" (PDF) . The Cambridge and Dublin Mathematical Journal : 194–219.
11. Weinberg, Steven (2008). Cosmología . Nueva York: Oxford University Press. pp. 70-71. ISBN. 978-0-19-852682-7.
12. Thomas, PC (julio de 2010). «Tamaños, formas y propiedades derivadas de los satélites saturninos después de la misión nominal Cassini» (PDF) . Icarus . 208 (1): 395–401. Bibcode :2010Icar..208..395T. doi :10.1016/j.icarus.2010.01.025. Archivado desde el original (PDF) el 23 de diciembre de 2018.
13. Castillo-Rogez, JC; Matson, DL; Sotin, C.; Johnson, TV; Lunine, Jonathan I.; Thomas, PC (2007). "Geofísica de Jápeto: Velocidad de rotación, forma y dorsal ecuatorial". Icarus . 190 (1): 179–202. Bibcode :2007Icar..190..179C. doi :10.1016/j.icarus.2007.02.018.
14. Garrick-Bethell, I.; Wisdom, J; Zuber, MT (4 de agosto de 2006). "Evidencia de una órbita lunar pasada de alta excentricidad". Science . 313 (5787): 652–655. Bibcode :2006Sci...313..652G. doi :10.1126/science.1128237. PMID  16888135. S2CID  317360.
15. Sean Solomon, Larry Nittler y Brian Anderson, eds. (2018) Mercury: The View after MESSENGER . Serie Cambridge Planetary Science n.º 21, Cambridge University Press, págs. 72-73.
16. Beso, C.; Müller, TG; Marton, G.; Szakáts, R.; Pál, A.; Molnár, L.; et al. (Marzo de 2024). "La curva de luz visible y térmica del gran objeto del cinturón de Kuiper (50000) Quaoar". Astronomía y Astrofísica . 684 : A50. arXiv : 2401.12679 . Código Bib : 2024A y A...684A..50K. doi :10.1051/0004-6361/202348054.
17. Cowen, R. (2007). Idiosyncratic Iapetus, Science News vol. 172, págs. 104-106. Referencias Archivado el 13 de octubre de 2007 en Wayback Machine.
18. Thomas, PC (julio de 2010). «Tamaños, formas y propiedades derivadas de los satélites saturninos después de la misión nominal Cassini» (PDF) . Icarus . 208 (1): 395–401. Bibcode :2010Icar..208..395T. doi :10.1016/j.icarus.2010.01.025. Archivado desde el original (PDF) el 23 de diciembre de 2018. Consultado el 25 de septiembre de 2015 .
19. Emily Lakdawalla et al., ¿Qué es un planeta? Archivado el 22 de enero de 2022 en Wayback Machine The Planetary Society, 21 de abril de 2020
20. Chen, Jingjing; Kipping, David (2016). "Predicción probabilística de las masas y radios de otros mundos". The Astrophysical Journal . 834 (1): 17. arXiv : 1603.08614 . doi : 10.3847/1538-4357/834/1/17 . S2CID  119114880.

Enlaces externos

• Strobel, Nick. (Mayo de 2001). Notas de astronomía de Nick Strobel.
• Demostración en YouTube por Richard Pogge, Departamento de Astronomía de la Universidad Estatal de Ohio