Desigualdad (matemáticas)

Relación matemática expresada con < o ≤

Las regiones factibles de la programación lineal están definidas por un conjunto de desigualdades.

En matemáticas , una desigualdad es una relación que establece una comparación no igual entre dos números u otras expresiones matemáticas. ^[1] Se utiliza con mayor frecuencia para comparar dos números en la recta numérica por su tamaño. Los principales tipos de desigualdad son menor que (<) y mayor que (>).

Notación

Existen varias notaciones diferentes que se utilizan para representar distintos tipos de desigualdades:

• La notación a < b significa que a es menor que b .
• La notación a > b significa que a es mayor que b .

En cualquier caso, a no es igual a b . Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas , ^[1] lo que significa que a es estrictamente menor o estrictamente mayor que b . Se excluye la igualdad.

A diferencia de las desigualdades estrictas, hay dos tipos de relaciones de desigualdad que no son estrictas:

• La notación a ≤ b o a ⩽ b o a ≦ b significa que a es menor o igual que b (o, equivalentemente, como máximo b , o no mayor que b ).
• La notación a ≥ b o a ⩾ b o a ≧ b significa que a es mayor o igual que b (o, equivalentemente, al menos b , o no menor que b ).

En los siglos XVII y XVIII, se utilizaban notaciones personales o signos mecanografiados para señalar desigualdades. ^[2] Por ejemplo, en 1670, John Wallis utilizó una única barra horizontal encima en lugar de debajo de < y >. Más tarde, en 1734, ≦ y ≧, conocidos como "menor que (mayor que) sobre igual a" o "menor que (mayor que) o igual a con barras horizontales dobles", aparecieron por primera vez en la obra de Pierre Bouguer . ^[3] Después de eso, los matemáticos simplificaron el símbolo de Bouguer a "menor que (mayor que) o igual a con una barra horizontal" (≤), o "menor que (mayor que) o inclinado igual a" (⩽).

La relación no mayor que también se puede representar con el símbolo de "mayor que" dividido por una barra, "no". Lo mismo es válido para no menor que , ${\displaystyle a\ngtr b,}$ ${\displaystyle a\nless b.}$

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b ; esta inecuación a veces se considera una forma de desigualdad estricta. ^[4] No dice que uno sea mayor que el otro; ni siquiera requiere que a y b sean miembros de un conjunto ordenado .

En las ciencias de la ingeniería, un uso menos formal de la notación es afirmar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, ^[5] normalmente por varios órdenes de magnitud .

• La notación a ≪ b significa que a es mucho menor que b . ^[6]
• La notación a ≫ b significa que a es mucho mayor que b . ^[7]

Esto implica que el valor menor puede descuidarse con poco efecto en la precisión de una aproximación (tal como el caso del límite ultrarelativista en física).

En todos los casos anteriores, dos símbolos que se reflejan entre sí son simétricos; a < b y b > a son equivalentes, etc.

Propiedades en la recta numérica

Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades . Todas estas propiedades también se cumplen si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (< y >) y, en el caso de aplicar una función, las funciones monótonas se limitan a funciones estrictamente monótonas .

Conversar

Las relaciones ≤ y ≥ son recíprocas entre sí , lo que significa que para cualquier número real a y b :

a ≤ b y b ≥ a son equivalentes.

Transitividad

La propiedad transitiva de la desigualdad establece que para cualquier número real a , b , c : ^[8]

Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c .

Si cualquiera de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta:

Si a ≤ b y b < c , entonces a < c .

Si a < b y b ≤ c , entonces a < c .

Suma y resta

Si x < y , entonces x + a < y + a .

Se puede sumar o restar una constante común c a ambos lados de una desigualdad. ^[4] Entonces, para cualquier número real a , b , c :

Si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y a − c ≤ b − c .

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva bajo la suma (o resta) y los números reales son un grupo ordenado bajo la suma.

Multiplicación y división

Si x < y y a > 0, entonces ax < ay .

Si x < y y a < 0, entonces ax > ay .

Las propiedades que tratan la multiplicación y la división establecen que para cualquier número real, a , b y c distinto de cero :

Si a ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc y a / c ≤ b / c .

Si a ≤ b y c < 0, entonces ac ≥ bc y a / c ≥ b / c .

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la multiplicación y división con una constante positiva, pero se invierte cuando se trata de una constante negativa. En términos más generales, esto se aplica a un cuerpo ordenado . Para obtener más información, consulte § Cuerpos ordenados .

Inverso aditivo

La propiedad del inverso aditivo establece que para cualquier número real a y b :

Si a ≤ b , entonces − a ≥ − b .

Inverso multiplicativo

Si ambos números son positivos, entonces la relación de desigualdad entre los inversos multiplicativos es opuesta a la que existe entre los números originales. Más específicamente, para cualquier número real a y b distinto de cero que sea positivo (o negativo ):

Si a ≤ b , entonces ⁠1/a⁠ ≥ ⁠1/b⁠ .

Todos los casos de los signos de a y b también se pueden escribir en notación encadenada, de la siguiente manera:

Si 0 < a ≤ b , entonces ⁠1/a⁠ ≥ ⁠1/b⁠ > 0.

Si a ≤ b < 0, entonces 0 > ⁠1/a⁠ ≥ ⁠1/b⁠ .

Si a < 0 < b , entonces ⁠1/a⁠ < 0 < ⁠1/b⁠ .

Aplicar una función a ambos lados

La gráfica de y = ln x

Cualquier función monótonamente creciente , por su definición, ^[9] puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de esa función). Sin embargo, aplicar una función monótonamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se invertiría. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para números positivos son ejemplos de aplicación de una función monótonamente decreciente.

Si la desigualdad es estricta ( a < b , a > b ) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, entonces la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para inversas aditivas y multiplicativas son ejemplos de aplicación de una función estrictamente monótona decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son:

• Elevando ambos lados de una desigualdad a una potencia n > 0 (equiv., − n < 0), cuando a y b son números reales positivos:
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• Tomando el logaritmo natural en ambos lados de una desigualdad, cuando a y b son números reales positivos:
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b ).
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b ).
  (Esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).

Definiciones formales y generalizaciones

Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexiva , antisimétrica y transitiva . ^[10] Es decir, para todos a , b y c en P , debe satisfacer las tres cláusulas siguientes:

• a ≤ a ( reflexividad )
• Si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b ( antisimetría )
• Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c ( transitividad )

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado . ^[11] Esos son los axiomas básicos que todo tipo de orden debe satisfacer.

Un orden parcial estricto es una relación < que satisface:

• a <⃥͏ a ( irreflexividad )
• si a < b , entonces b <⃥͏ a ( asimetría )
• Si a < b y b < c , entonces a < c ( transitividad )

Algunos tipos de órdenes parciales se especifican añadiendo más axiomas, como:

• Orden total : Para cada a y b en P , a ≤ b o b ≤ a .
• Orden denso : Para todos a y b en P para los cuales a < b , hay un c en P tal que a < c < b .
• Propiedad de límite superior mínimo : cada subconjunto no vacío de P con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremo) en P.

Campos ordenados

Si ( F , +, ×) es un campo y ≤ es un orden total en F , entonces ( F , +, ×, ≤) se llama un campo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b .

Tanto ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ,\leq )}$ como ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\leq )}$ son campos ordenados , pero ≤ no se puede definir para hacer ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ un campo ordenado , ^[12] porque −1 es el cuadrado de i y, por lo tanto, sería positivo.

Además de ser un cuerpo ordenado, R también tiene la propiedad de límite superior mínimo . De hecho, R puede definirse como el único cuerpo ordenado con esa cualidad. ^[13]

Notación encadenada

La notación a < b < c significa " a < b y b < c ", de lo que, por la propiedad de transitividad anterior, también se deduce que a < c . Por las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las inecuaciones si ese número es negativo. Por lo tanto, por ejemplo, a < b + e < c es equivalente a a − e < b < c − e .

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n significa que a _i ≤ a _{i +1} para i = 1, 2, ..., n − 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a a _i ≤ a _j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

Al resolver desigualdades utilizando notación encadenada, es posible y a veces necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, no es posible aislar x en ninguna parte de la desigualdad mediante la suma o la resta. En cambio, las desigualdades deben resolverse de forma independiente, lo que da como resultado x < ⁠1/2⁠ y x ≥ −1 respectivamente, que pueden combinarse en la solución final −1 ≤ x < ⁠1/2⁠ .

Ocasionalmente, la notación encadenada se utiliza con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, la condición definitoria de un conjunto de posiciones en zigzag se escribe como a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . La notación encadenada mixta se utiliza más a menudo con relaciones compatibles, como <, =, ≤. Por ejemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b , b = c y c ≤ d . Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python . En contraste, en lenguajes de programación que proporcionan un ordenamiento en el tipo de resultados de comparación, como C , incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente. ^[14]

Desigualdades agudas

Se dice que una desigualdad es aguda si no se puede relajar y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad cuantificada universalmente φ se llama aguda si, para cada desigualdad cuantificada universalmente válida ψ , si ψ ⇒ φ se cumple, entonces ψ ⇔ φ también se cumple. Por ejemplo, la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 es aguda, mientras que la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 no es aguda. ^{[ cita requerida ]}

Desigualdades entre medias

Existen muchas desigualdades entre medias. Por ejemplo, para cualquier número positivo a ₁ , a ₂ , ..., a _n tenemos

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

donde representan las siguientes medias de la secuencia:

• Media armónica  : ${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• Media geométrica  : ${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• Media aritmética  : ${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• Media cuadrática  : ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores u y v de un espacio de producto interno es cierto que donde es el producto interno . Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo ; En el espacio euclidiano R ⁿ con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

Desigualdades de poder

Una desigualdad de potencia es una desigualdad que contiene términos de la forma a ^b , donde a y b son números reales positivos o expresiones variables. Suelen aparecer en ejercicios de olimpiadas matemáticas .

Ejemplos:

• Para cualquier x real , $${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Si x > 0 y p > 0, entonces En el límite de p → 0, los límites superior e inferior convergen a ln( x ). $${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$$
• Si x > 0, entonces $${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Si x > 0, entonces $${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces $${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Para cualesquiera números reales distintos a y b , $${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• Si x , y > 0 y 0 < p < 1, entonces $${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces $${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^[15] $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^[16] $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Si a , b , c > 0, entonces $${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces $${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Desigualdades bien conocidas

Los matemáticos suelen utilizar desigualdades para delimitar cantidades para las que no es fácil calcular fórmulas exactas. Algunas desigualdades se utilizan con tanta frecuencia que tienen nombres:

• La desigualdad de Azuma
• Desigualdad de Bernoulli
• Desigualdad de Bell
• Desigualdad de Boole
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Desigualdad de Chebyshev
• Desigualdad de Chernoff
• Desigualdad de Cramér-Rao
• Desigualdad de Hoeffding
• Desigualdad de Hölder
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas
• Desigualdad de Jensen
• Desigualdad de Kolmogorov
• Desigualdad de Markov
• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Nesbitt
• Desigualdad de Pedoe
• Desigualdad de Poincaré
• Desigualdad de Samuelson
• Desigualdad de Sobolev
• Desigualdad triangular

Números complejos y desigualdades

El conjunto de los números complejos con sus operaciones de adición y multiplicación es un cuerpo , pero es imposible definir ninguna relación ≤ de forma que se convierta en un cuerpo ordenado . Para que fuera un cuerpo ordenado , tendría que satisfacer las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c ;
• si 0 ≤ a y 0 ≤ b , entonces 0 ≤ ab .

Como ≤ es un orden total , para cualquier número a , o bien 0 ≤ a o bien a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ − a ). En cualquier caso, 0 ≤ a ² ; esto significa que i ² > 0 y 1 ² > 0 ; por lo tanto, −1 > 0 y 1 > 0 , lo que significa (−1 + 1) > 0; contradicción.

Sin embargo, una operación ≤ puede definirse de modo que satisfaga únicamente la primera propiedad (es decir, "si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c "). A veces se utiliza la definición del orden lexicográfico :

• a ≤ b , si
  • Re( a ) < Re( b ) , o
  • Re( a ) = Re( b ) y Im( a ) ≤ Im( b )

Se puede demostrar fácilmente que para esta definición a ≤ b implica a + c ≤ b + c .

Sistemas de desigualdades

Los sistemas de desigualdades lineales se pueden simplificar mediante la eliminación de Fourier-Motzkin . ^[17]

La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite comprobar si un sistema de ecuaciones e inecuaciones polinómicas tiene solución y, en caso de que existan, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial en el número de variables. Es un campo de investigación activo para diseñar algoritmos que sean más eficientes en casos específicos.

Véase también

• Relación binaria
• Corchete (matemáticas) , para el uso de signos ‹ y › similares como corchetes
• Inclusión (teoría de conjuntos)
• Inecuación
• Intervalo (matemáticas)
• Lista de desigualdades
• Lista de desigualdades triangulares
• Conjunto parcialmente ordenado
• Operadores relacionales , utilizados en lenguajes de programación para denotar desigualdad.

Referencias

1. "Definición de desigualdad (Diccionario ilustrado de matemáticas)". www.mathsisfun.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
2. Halmaghi, Elena; Liljedahl, Peter. "Desigualdades en la historia de las matemáticas: de las peculiaridades a una disciplina difícil". Actas de la Reunión Anual de 2012 del Grupo Canadiense de Estudio de la Educación Matemática .
3. "Usos más tempranos de símbolos de relación". MacTutor . Universidad de St Andrews, Escocia.
4. "Desigualdad". www.learnalberta.ca . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
5. Polyanin, AD; Manzhirov, AV (2006). Manual de matemáticas para ingenieros y científicos. CRC Press. pág. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0. Recuperado el 19 de noviembre de 2021 .
6. Weisstein, Eric W. "Mucho menos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
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8. Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). Desigualdades: con aplicaciones a la ingeniería. Springer Science & Business Media. págs. 2-3. ISBN 0-3872-2626-5.
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10. Simovici, Dan A. y Djeraba, Chabane (2008). "Conjuntos parcialmente ordenados". Herramientas matemáticas para la minería de datos: teoría de conjuntos, órdenes parciales, combinatoria . Springer. ISBN 9781848002012.
11. Weisstein, Eric W. "Conjunto parcialmente ordenado". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
12. Feldman, Joel (2014). "Campos" (PDF) . math.ubc.ca . Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09 . Consultado el 2019-12-03 .
13. Stewart, Ian (2007). Por qué la belleza es verdad: la historia de la simetría. Hachette UK. p. 106. ISBN 978-0-4650-0875-9.
14. Brian W. Kernighan y Dennis M. Ritchie (abril de 1988). El lenguaje de programación C. Serie de software de Prentice Hall (2.ª edición). Englewood Cliffs/NJ: Prentice Hall. ISBN 0131103628.Aquí: Sect.A.7.9 Operadores relacionales , p.167: Cita: "a<b<c se analiza como (a<b)<c"
15. Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly . 97 (1): 65–67. doi :10.2307/2324012. JSTOR  2324012.
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17. Gartner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Comprensión y uso de la programación lineal . Berlín: Springer. ISBN 3-540-30697-8.

Fuentes

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• Steele, J. Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: Introducción al arte de las desigualdades matemáticas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

Enlaces externos

• "Desigualdad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gráfica de desigualdades por Ed Pegg, Jr.
• Entrada de la Wiki de AoPS sobre desigualdades