Valor esperado (mecánica cuántica)

Valor esperado de una medición cuántica

En mecánica cuántica , el valor esperado es el valor esperado probabilístico del resultado (medición) de un experimento. Puede considerarse como un promedio de todos los resultados posibles de una medición ponderados por su probabilidad y, como tal, no es el valor más probable de una medición; de hecho, el valor esperado puede tener una probabilidad cero de ocurrir (por ejemplo, las mediciones que sólo pueden producir valores enteros pueden tener una media no entera). Es un concepto fundamental en todas las áreas de la física cuántica .

Definición operacional

Considere un operador . El valor esperado está entonces en notación de Dirac con un vector de estado normalizado . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Formalismo en mecánica cuántica

En teoría cuántica, una configuración experimental se describe mediante el observable que se va a medir y el estado del sistema. El valor esperado de en el estado se denota como . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

Matemáticamente, es un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert complejo separable . En el caso más utilizado en mecánica cuántica, es un estado puro , descrito por un vector ^[a] normalizado en el espacio de Hilbert. El valor esperado de en el estado se define como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$

Si se considera la dinámica , se considera que el vector o el operador dependen del tiempo, dependiendo de si se utiliza la imagen de Schrödinger o la imagen de Heisenberg . Sin embargo, la evolución del valor esperado no depende de esta elección. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Si tiene un conjunto completo de vectores propios , con valores propios , entonces ( 1 ) se puede expresar como ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{j}}$ ${\displaystyle a_{j}}$

Esta expresión es similar a la media aritmética e ilustra el significado físico del formalismo matemático: los valores propios son los posibles resultados del experimento, ^[b] y su coeficiente correspondiente es la probabilidad de que este resultado ocurra; a menudo se le llama probabilidad de transición . ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$

Un caso particularmente simple surge cuando es una proyección y, por lo tanto, solo tiene los valores propios 0 y 1. Esto corresponde físicamente a un tipo de experimento "sí-no". En este caso, el valor esperado es la probabilidad de que el experimento dé como resultado "1" y se puede calcular como ${\displaystyle A}$

En teoría cuántica, también es posible que un operador tenga un espectro no discreto, como el operador de posición en mecánica cuántica. Este operador tiene un espectro completamente continuo , con valores propios y vectores propios que dependen de un parámetro continuo . Específicamente, el operador actúa sobre un vector espacial como . ^[2] En este caso, el vector se puede escribir como una función de valor complejo en el espectro de (normalmente la línea real). Esto se logra formalmente proyectando el vector de estado sobre los valores propios del operador, como en el caso discreto . Sucede que los vectores propios del operador de posición forman una base completa para el espacio vectorial de estados y, por tanto, obedecen a una relación de completitud en mecánica cuántica: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$

$${\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }$$

Lo anterior se puede utilizar para derivar la expresión integral común para el valor esperado ( 4 ), insertando identidades en la expresión vectorial del valor esperado y luego expandiendo la base de posición:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}}$

Donde la relación de ortonormalidad de los vectores base de posición , reduce la integral doble a una integral simple. La última línea utiliza el módulo de una función valorada compleja para reemplazar con , que es una sustitución común en integrales de mecánica cuántica. ${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Luego se puede establecer el valor esperado, donde x no está acotado, como la fórmula

Una fórmula similar es válida para el operador de momento , en sistemas donde tiene espectro continuo.

Todas las fórmulas anteriores son válidas únicamente para estados puros. Los estados mixtos también son importantes en termodinámica y óptica cuántica ; estos se describen mediante un operador de clase de traza positiva , el operador estadístico o matriz de densidad . El valor esperado entonces se puede obtener como ${\displaystyle \sigma }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

formulación general

En general, los estados cuánticos se describen mediante funcionales lineales normalizados positivos en el conjunto de observables, matemáticamente a menudo considerados como un álgebra C* . El valor esperado de un observable viene dado entonces por ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$

Si el álgebra de observables actúa irreduciblemente sobre un espacio de Hilbert , y si es un funcional normal , es decir, es continuo en la topología ultradébil , entonces se puede escribir como ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}$$

de clase de traza5estado puroproyección1 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$

${\displaystyle A}$Se supone que es un operador autoadjunto. En el caso general, su espectro no será ni enteramente discreto ni enteramente continuo. Aún así, se puede escribir en una descomposición espectral , ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\int a\,dP(a)}$$

medida valorada en proyección ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }$

$${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}$$

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En las teorías no relativistas de un número finito de partículas (mecánica cuántica, en sentido estricto), los estados considerados son generalmente normales ^{[ se necesita aclaración ]} . Sin embargo, en otros campos de la teoría cuántica también se utilizan estados anormales: aparecen, por ejemplo. en forma de estados KMS en la mecánica estadística cuántica de medios infinitamente extendidos, ^[3] y como estados cargados en la teoría cuántica de campos . ^[4] En estos casos, el valor esperado se determina únicamente mediante la fórmula más general ( 6 ).

Ejemplo en el espacio de configuración

Como ejemplo, consideremos una partícula de mecánica cuántica en una dimensión espacial, en la representación del espacio de configuración . Aquí el espacio de Hilbert es , el espacio de funciones integrables al cuadrado sobre la recta real. Los vectores se representan mediante funciones , llamadas funciones de onda . El producto escalar viene dado por . Las funciones de onda tienen una interpretación directa como distribución de probabilidad: ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$

${\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}$

da la probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo infinitesimal de longitud alrededor de algún punto . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle x}$

Como observable, considere el operador de posición , que actúa sobre funciones de onda mediante ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}$$

El valor esperado, o valor medio de las mediciones, realizadas en un gran número de sistemas independientes idénticos vendrá dado por ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}$$

El valor esperado solo existe si la integral converge, lo cual no es el caso para todos los vectores . Esto se debe a que el operador de posición no está acotado y debe elegirse de su dominio de definición . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

En general, la expectativa de cualquier observable se puede calcular reemplazándolo con el operador apropiado. Por ejemplo, para calcular el impulso promedio, se utiliza el operador de impulso en el espacio de configuración ,. Explícitamente, su valor esperado es ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}$

No todos los operadores en general aportan un valor medible. Un operador que tiene un valor esperado real puro se llama observable y su valor se puede medir directamente en un experimento.

Ver también

• cociente de Rayleigh
• Principio de incertidumbre
• Teorema del virial

Notas

1. Este artículo siempre considera la norma 1. Para vectores no normalizados, debe reemplazarse por en todas las fórmulas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /\|\psi \|}$
2. Aquí se supone que los valores propios no son degenerados.

Referencias

1. Probabilidad, valor esperado e incertidumbre
2. Cohen-Tannoudji, Claude, 1933- (junio de 2020). Mecánica cuántica. Volumen 2. Diu, Bernard, Laloë, Franck, 1940-, Hemley, Susan Reid, Ostrowsky, Nicole, 1943-, Ostrowsky, DB Weinheim. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC  1159410161.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W (1987). Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1 . Saltador. ISBN 978-3-540-17093-8. 2da edición.
4. Haag, Rudolf (1996). Física Cuántica Local . Saltador. págs. Capítulo IV. ISBN 3-540-61451-6.

Otras lecturas

El valor esperado, en particular tal como se presenta en la sección "Formalismo en mecánica cuántica", se trata en la mayoría de los libros de texto elementales sobre mecánica cuántica.

Para una discusión de aspectos conceptuales, ver:

• Isham, Chris J (1995). Conferencias sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales . Prensa del Imperial College. ISBN 978-1-86094-001-9.