En geometría , una pirámide es un poliedro formado al conectar una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada arista de la base y cada vértice forman un triángulo, llamado cara lateral . Es un sólido cónico con base poligonal. Se pueden encontrar muchos tipos de pirámides determinando la forma de las bases o cortando el vértice. Se puede generalizar a una dimensión superior, conocida como hiperpirámide . Todas las pirámides son autoduales .
La palabra "pirámide" deriva del antiguo término griego "πυραμίς" (piramis), que se refería a una estructura en forma de pirámide y a un tipo de torta de trigo. [1] [2] El término tiene sus raíces en el griego "πυρ" (pyr, 'fuego') y "άμις" (amis, 'vasija'), resaltando la apariencia puntiaguda y parecida a una llama de la forma. [3]
En griego bizantino , el término evolucionó a "πυραμίδα" (piramída), continuando para denotar estructuras piramidales. [4] El término griego "πυραμίς" fue tomado prestado al latín como "pyramis". El término "πυραμίδα" influyó en la evolución de la palabra hacia "pirámide" en inglés y otros idiomas. [5] [6]
Una pirámide es un poliedro que se puede formar conectando una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada arista de la base y cada vértice forman un triángulo isósceles, llamado cara lateral . [7] Los bordes conectados desde los vértices de la base poligonal hasta el vértice se llaman bordes laterales . [8] Históricamente, la definición de pirámide ha sido descrita por muchos matemáticos en la antigüedad. Euclides en sus Elementos definió una pirámide como una figura sólida, construida desde un plano hasta un punto. El contexto de su definición era vago hasta que Garza de Alejandría la definió como la figura juntando la punta con una base poligonal. [9]
Un prismatoide se define como un poliedro donde sus vértices se encuentran en dos planos paralelos, siendo sus caras laterales triángulos, trapecios y paralelogramos . [10] Las pirámides se clasifican como prismatoides. [11]
Una pirámide recta es una pirámide donde la base está circunscrita al círculo y la altura de la pirámide se encuentra en el centro del círculo. [12] Esta pirámide puede clasificarse según la regularidad de sus bases. Una pirámide que tiene como base un polígono regular se llama pirámide regular . [13] Para la pirámide con una base regular de n lados , tiene n + 1 vértices, n + 1 caras y 2 n aristas. [14] Tal pirámide tiene triángulos isósceles como caras, con su simetría es C n v , una simetría de orden 2 n : las pirámides son simétricas ya que giran alrededor de su eje de simetría (una línea que pasa por el vértice y el centroide de la base). ), y son simétricas especulares con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. [15] [16] Algunos ejemplos son la pirámide cuadrada y la pirámide pentagonal , una pirámide de cuatro y cinco caras triangulares con una base cuadrada y pentágono, respectivamente; se clasifican como el primer y segundo sólido de Johnson si sus caras y aristas regulares tienen la misma longitud y sus simetrías son C 4v de orden 8 y C 5v de orden 10, respectivamente. [17] [18] Un tetraedro o pirámide triangular es un ejemplo que tiene cuatro triángulos equiláteros, con todas las aristas iguales en longitud, y uno de ellos se considera como la base. Debido a que las caras son regulares , es un ejemplo de sólido platónico y deltaedro , y tiene simetría tetraédrica . [19] [20] Una pirámide con la base como círculo se conoce como cono . [21] Las pirámides tienen la propiedad de ser autoduales , lo que significa que sus duales son iguales a los vértices correspondientes a las aristas y viceversa. [22] Su esqueleto puede representarse como el gráfico de la rueda . [23]
Una pirámide recta también puede tener una base con un polígono irregular. Ejemplos de ello son las pirámides con rectángulo y rombo como base. Estas dos pirámides tienen la simetría de C 2v de orden 4.
El tipo de pirámides se puede derivar de muchas formas. La regularidad de la base de una pirámide se puede clasificar según el tipo de polígono, y un ejemplo es la pirámide con un polígono de estrella regular como base, conocida comopirámide estelar . [24] La pirámide cortada por un plano se llamapirámide truncada ; si el plano de truncamiento es paralelo a la base de una pirámide, se llama frustum .
El área de superficie es el área total de las caras de cada poliedro. En el caso de una pirámide, su área superficial es la suma del área de los triángulos y el área de la base poligonal.
El volumen de una pirámide es el producto de un tercio del área de la base por la altura. Dado que es el área de la base y la altura de una pirámide. Matemáticamente, el volumen de una pirámide es: [25] El volumen de una pirámide se registró en el antiguo Egipto, donde calcularon el volumen de un tronco cuadrado , lo que sugiere que conocían el volumen de una pirámide cuadrada. [26] La fórmula del volumen de una pirámide general fue descubierta por el matemático indio Aryabhata , donde citó en su Aryabhatiya que el volumen de una pirámide es incorrectamente la mitad del producto de la base del área y la altura. [27]
La hiperpirámide es la generalización de una pirámide en un espacio de n dimensiones. En el caso de la pirámide, se conectan todos los vértices de la base, un polígono en un plano, con un punto fuera del plano, que es la cima . La altura de la pirámide es la distancia del pico al plano. Esta construcción se generaliza a n dimensiones. La base se convierte en un ( n − 1 ) - politopo en un ( n − 1 ) - hiperplano dimensional. Un punto llamado vértice se encuentra fuera del hiperplano y se conecta a todos los vértices del politopo y la distancia del vértice al hiperplano se llama altura. [28]
El volumen n - dimensional de una hiperpirámide n - dimensional se puede calcular de la siguiente manera: Aquí V n denota el volumen n - dimensional de la hiperpirámide. A denota el ( n − 1) - volumen dimensional de la base y h la altura, es decir, la distancia entre el vértice y el ( n − 1) - hiperplano dimensional que contiene la base A. [28]
