Modelo de electrones casi libres

Physical model of solid metals as electron gases

En física del estado sólido , el modelo de electrones casi libres (o modelo NFE y modelo de electrones cuasi libres ) es un modelo de mecánica cuántica de las propiedades físicas de los electrones que pueden moverse casi libremente a través de la red cristalina de un sólido. El modelo está estrechamente relacionado con la aproximación de red vacía más conceptual . El modelo permite comprender y calcular las estructuras de las bandas electrónicas , especialmente de los metales .

Este modelo es una mejora inmediata del modelo de electrones libres , en el que el metal se consideraba como un gas de electrones que no interactúa y los iones se ignoraban por completo.

formulación matemática

Relación de dispersión para el modelo 2D de electrones casi libres en función de la estructura cristalina subyacente.

El modelo de electrones casi libres es una modificación del modelo de gas de electrones libres que incluye una perturbación periódica débil destinada a modelar la interacción entre los electrones de conducción y los iones en un sólido cristalino . Este modelo, al igual que el modelo de electrones libres, no tiene en cuenta las interacciones electrón-electrón; es decir, la aproximación del electrón independiente todavía está vigente.

Como lo muestra el teorema de Bloch , la introducción de un potencial periódico en la ecuación de Schrödinger da como resultado una función de onda de la forma

$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

donde la función tiene la misma periodicidad que la red : ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }}$

$${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {T} )}$$

(donde hay un vector de traducción de red). ${\displaystyle T}$

Debido a que es una aproximación de electrones casi libres, podemos suponer que

$${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}}$$

la paradoja de Gibbs ${\displaystyle \Omega _{r}}$ ${\displaystyle r}$

Una solución de esta forma se puede introducir en la ecuación de Schrödinger, lo que da como resultado la ecuación central :

$${\displaystyle (\lambda _{\mathbf {k} }-\varepsilon )C_{\mathbf {k} }+\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }C_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0}$$

donde la energía cinética está dada por ${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }}$

$${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}(u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} })}$$

que, después de dividir por , se reduce a ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$

si asumimos que es casi constante y ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ll k^{2}.}$

Los parámetros recíprocos y son los coeficientes de Fourier de la función de onda y la energía potencial apantallada , respectivamente: ${\displaystyle C_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle U_{\mathbf {G} }}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle U(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }C_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

Los vectores son los vectores recíprocos de la red y los valores discretos de están determinados por las condiciones de contorno de la red bajo consideración. ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

En cualquier análisis de perturbaciones, se debe considerar el caso base al que se aplica la perturbación. Aquí, el caso base es con y por lo tanto todos los coeficientes de Fourier del potencial también son cero. En este caso la ecuación central se reduce a la forma ${\displaystyle U(x)=0}$

$${\displaystyle (\lambda _{\mathbf {k} }-\varepsilon )C_{\mathbf {k} }=0}$$

Esta identidad significa que para cada uno de los dos casos siguientes debe cumplirse: ${\displaystyle \mathbf {k} }$

1. ${\displaystyle C_{\mathbf {k} }=0}$,
2. ${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }=\varepsilon }$

Si los valores de , no son degenerados , entonces el segundo caso ocurre para un solo valor de , mientras que para el resto, el coeficiente de expansión de Fourier debe ser cero. En este caso no degenerado, se recupera el resultado estándar del gas de electrones libres: ${\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle C_{\mathbf {k} }}$

$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }\propto e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

Sin embargo, en el caso degenerado, habrá un conjunto de vectores reticulares con . Cuando la energía es igual a este valor de , habrá soluciones de ondas planas independientes de las cuales cualquier combinación lineal también es solución: ${\displaystyle \mathbf {k} _{1},\dots ,\mathbf {k} _{m}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\dots =\lambda _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \psi \propto \sum _{j=1}^{m}A_{j}e^{i\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {r} }}$$

La teoría de la perturbación degenerada y no degenerada se puede aplicar en estos dos casos para resolver los coeficientes de Fourier de la función de onda (correctos al primer orden en ) y el valor propio de la energía (correctos al segundo orden en ). Un resultado importante de esta derivación es que no hay un cambio de primer orden en la energía en el caso de que no haya degeneración, mientras que sí lo hay en el caso de casi degeneración, lo que implica que el último caso es más importante en este análisis. En particular, en el límite de la zona de Brillouin (o, de manera equivalente, en cualquier punto de un plano de Bragg ), se encuentra una doble degeneración de energía que resulta en un cambio de energía dado por: ${\displaystyle C_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \varepsilon =\lambda _{\mathbf {k} }\pm |U_{\mathbf {G} }|}$$

Esta brecha de energía entre zonas de Brillouin se conoce como banda prohibida , con una magnitud de . ${\displaystyle 2|U_{\mathbf {G} }|}$

Resultados

La introducción de esta perturbación débil tiene efectos significativos en la solución de la ecuación de Schrödinger , resultando más significativamente en una banda prohibida entre vectores de onda en diferentes zonas de Brillouin .

Justificaciones

En este modelo, se supone que la interacción entre los electrones de conducción y los núcleos de iones se puede modelar mediante el uso de un potencial perturbador "débil". Esto puede parecer una aproximación severa, ya que la atracción de Coulomb entre estas dos partículas de carga opuesta puede ser bastante significativa en distancias cortas. Sin embargo, puede justificarse parcialmente observando dos propiedades importantes del sistema mecánico cuántico:

1. La fuerza entre los iones y los electrones es mayor a distancias muy pequeñas. Sin embargo, a los electrones de conducción no se les "permite" acercarse tanto a los núcleos de iones debido al principio de exclusión de Pauli : los orbitales más cercanos al núcleo de iones ya están ocupados por los electrones del núcleo. Por lo tanto, los electrones de conducción nunca se acercan lo suficiente a los núcleos de iones para sentir toda su fuerza.
2. Además, los electrones del núcleo protegen la magnitud de la carga iónica "vista" por los electrones de conducción. El resultado es una carga nuclear efectiva experimentada por los electrones de conducción que se reduce significativamente de la carga nuclear real.

Ver también

• Aproximación de celosía vacía
• Estructura de banda electrónica
• Modelo de encuadernación ajustada.
• teorema de bloch
• Modelo de Kronig-Penney

Referencias

• Ashcroft, Neil W.; Mermín, N. David (1976). Física del Estado Sólido . Orlando: Harcourt. ISBN 0-03-083993-9.
• Kittel, Charles (1996). Introducción a la Física del Estado Sólido (7ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-11181-3.
• Elliott, Stephen (1998). La Física y la Química de los Sólidos . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-98194-X.