Axioma de elección dependiente

Forma débil del axioma de elección.

En matemáticas , el axioma de elección dependiente , denotado por , es una forma débil del axioma de elección ( ) que todavía es suficiente para desarrollar gran parte del análisis real . Fue introducido por Paul Bernays en un artículo de 1942 que explora qué axiomas de la teoría de conjuntos son necesarios para desarrollar el análisis. ^[a] ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

Declaración formal

Una relación homogénea se llama relación total si para cada existe algo que sea verdadero. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in X,}$ ${\displaystyle b\in X}$ ${\displaystyle a\,R~b}$

El axioma de elección dependiente se puede enunciar de la siguiente manera: para cada conjunto no vacío y cada relación total existe una secuencia tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$para todos ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

De hecho, se puede considerar que x _{0 es cualquier elemento deseado de} X . (Para ver esto, aplique el axioma como se indicó anteriormente al conjunto de secuencias finitas que comienzan con x ₀ y en las cuales los términos posteriores están en relación , junto con la relación total en este conjunto de la segunda secuencia que se obtiene de la primera agregando un solo término.) ${\displaystyle R}$

Si el conjunto anterior está restringido a ser el conjunto de todos los números reales , entonces el axioma resultante se denota por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

Usar

Incluso sin tal axioma, para cualquier , se puede utilizar la inducción matemática ordinaria para formar los primeros términos de dicha secuencia. El axioma de elección dependiente dice que podemos formar una secuencia completa ( contablemente infinita ) de esta manera. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El axioma es el fragmento que se requiere para mostrar la existencia de una secuencia construida por recursión transfinita de longitud contable , si es necesario hacer una elección en cada paso y si algunas de esas elecciones no pueden hacerse independientemente de las elecciones anteriores. ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

Declaraciones equivalentes

Over ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección), es equivalente al teorema de la categoría de Baire para espacios métricos completos. ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

También es equivalente al teorema descendente de Löwenheim-Skolem . ^{[b] [2]} ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$También es equivalente a la afirmación de que cada árbol podado con niveles tiene una rama ( prueba a continuación ). ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle \omega }$

Además, equivale a una forma debilitada del lema de Zorn ; específicamente es equivalente a la afirmación de que cualquier orden parcial tal que toda cadena bien ordenada sea finita y acotada, debe tener un elemento máximo. ^[3] ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

Relación con otros axiomas

A diferencia del completo , es insuficiente para demostrar (dado ) que existe un conjunto de números reales no mensurable , o que existe un conjunto de números reales sin la propiedad de Baire o sin la propiedad del conjunto perfecto . Esto se debe a que el modelo de Solovay satisface y cada conjunto de números reales en este modelo es medible de Lebesgue , tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad del conjunto perfecto. ${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$

El axioma de elección dependiente implica el axioma de elección contable y es estrictamente más fuerte. ^{[4] [5]}

Es posible generalizar el axioma para producir secuencias transfinitas. Si se permite que sean arbitrariamente largos, entonces se vuelve equivalente al axioma completo de elección.

Notas

1. "La base del análisis no requiere toda la generalidad de la teoría de conjuntos, pero puede lograrse dentro de un marco más restringido". Bernays, Pablo (1942). "Parte III. Infinidad y enumerabilidad. Análisis" (PDF) . Revista de Lógica Simbólica . Un sistema de teoría de conjuntos axiomáticos. 7 (2): 65–89. doi :10.2307/2266303. JSTOR  2266303. SEÑOR  0006333. S2CID  250344853.El axioma de elección dependiente se establece en la p. 86.
2. Moore afirma que el "Principio de elecciones dependientes, teorema de Löwenheim-Skolem", es decir, implica el teorema de Löwenheim-Skolem. Véase tabla Moore, Gregory H. (1982). El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Saltador. pag. 325.ISBN​ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ 0-387-90670-3.

Referencias

1. "El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Blair, Charles E. (1977). "El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Toro. Acad. Polon. Ciencia. Ser. Ciencia. Matemáticas. Astron. Física . 25 (10): 933–934.
2. Lo contrario se demuestra en Boolos, George S .; Jeffrey, Richard C. (1989). Computabilidad y Lógica (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 155-156. ISBN 0-521-38026-X.
3. Wolk, Elliot S. (1983), "Sobre el principio de elecciones dependientes y algunas formas del lema de Zorn", Canadian Mathematical Bulletin , 26 (3): 365–367, doi : 10.4153/CMB-1983-062-5
4. Bernays demostró que el axioma de elección dependiente implica el axioma de elección contable Ver especialmente. pag. 86 en Bernays, Paul (1942). "Parte III. Infinidad y enumerabilidad. Análisis" (PDF) . Revista de Lógica Simbólica . Un sistema de teoría de conjuntos axiomáticos. 7 (2): 65–89. doi :10.2307/2266303. JSTOR  2266303. SEÑOR  0006333. S2CID  250344853.
5. Para obtener una prueba de que el axioma de elección contable no implica el axioma de elección dependiente, consulte Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice , Holanda Septentrional, págs. 130-131, ISBN. 978-0-486-46624-8

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos (edición del Tercer Milenio). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC  174929965. Zbl  1007.03002.