Elasticidad de una función

En matemáticas , la elasticidad o elasticidad puntual de una función diferenciable positiva f de una variable positiva (entrada positiva, salida positiva) ^[1] en el punto a se define como ^[2]

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {1-{\frac {f(x)}{f(a)}}}{1-{\frac {x}{a}}}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

o equivalente

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.}$

Por lo tanto, es la relación del cambio relativo (porcentaje) en la salida de la función con respecto al cambio relativo en su entrada , para cambios infinitesimales desde un punto . De manera equivalente, es la relación entre el cambio infinitesimal del logaritmo de una función con respecto al cambio infinitesimal del logaritmo del argumento. En la literatura también existen generalizaciones para casos de múltiples entradas y múltiples salidas. ^{[3] [4]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$

La elasticidad de una función es constante si y sólo si la función tiene la forma de una constante . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$ ${\displaystyle C>0}$

La elasticidad en un punto es el límite de la elasticidad del arco entre dos puntos cuando la separación entre esos dos puntos se acerca a cero.

El concepto de elasticidad es ampliamente utilizado en economía y análisis de control metabólico (ACM); consulte elasticidad (economía) y coeficiente de elasticidad respectivamente para obtener más detalles.

Normas

Las reglas para encontrar la elasticidad de productos y cocientes son más simples que las de las derivadas. ^[5] Sean f, g diferenciables. Entonces ^[2]

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}}$

La derivada se puede expresar en términos de elasticidad como

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}$

Sean a y b constantes. Entonces

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x))=Ef(x)}$,

${\displaystyle E(bx^{a})=a\ }$.

Estimación de elasticidades puntuales.

En economía, la elasticidad precio de la demanda se refiere a la elasticidad de una función de demanda Q ( P ), y puede expresarse como (dQ/dP)/(Q(P)/P) o la relación del valor de la función marginal . (dQ/dP) al valor de la función promedio (Q(P)/P). Esta relación proporciona una manera fácil de determinar si una curva de demanda es elástica o inelástica en un punto particular. En primer lugar, supongamos que se sigue la convención habitual en matemáticas de trazar la variable independiente (P) horizontalmente y la variable dependiente (Q) verticalmente. Entonces la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto es el valor de la función marginal en ese punto. La pendiente de un rayo trazado desde el origen a través del punto es el valor de la función promedio. Si el valor absoluto de la pendiente de la tangente es mayor que la pendiente del rayo entonces la función es elástica en el punto; si la pendiente de la secante es mayor que el valor absoluto de la pendiente de la tangente entonces la curva es inelástica en ese punto. ^[6] Si la línea tangente se extiende hasta el eje horizontal, el problema es simplemente una cuestión de comparar los ángulos creados por las líneas y el eje horizontal. Si el ángulo marginal es mayor que el ángulo promedio entonces la función es elástica en el punto; Si el ángulo marginal es menor que el ángulo promedio entonces la función es inelástica en ese punto. Sin embargo, si se sigue la convención adoptada por los economistas y se traza la variable independiente P en el eje vertical y la variable dependiente Q en el eje horizontal, entonces se aplicarían las reglas opuestas.

El mismo procedimiento gráfico también se puede aplicar a una función de oferta u otras funciones.

Semielasticidad

Una semielasticidad (o semielasticidad) da el cambio porcentual en f(x) en términos de un cambio (no porcentual) en x . Algebraicamente, la semielasticidad S de una función f en el punto x es ^{[7] [8]}

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}$

La semielasticidad será constante para funciones exponenciales de la forma, ya que, ${\displaystyle f(x)=C\alpha ^{x}}$

${\displaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.}$

Un ejemplo de semielasticidad es la duración modificada en el comercio de bonos.

A veces se utiliza la definición opuesta en la literatura. Es decir, el término "semielasticidad" también se utiliza a veces para el cambio (no porcentual) en f(x) en términos de un cambio porcentual en x ^[9] que sería

${\displaystyle {\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x}$

Ver también

• Elasticidad del arco
• Elasticidad (economía)
• Coeficiente de elasticidad (bioquímica)
• Función homogénea
• Derivada logarítmica

Referencias

1. La elasticidad también se puede definir si el insumo y/o el producto es consistentemente negativo, o simplemente lejos de cualquier punto donde el insumo o el producto sea cero, pero en la práctica la elasticidad se usa para cantidades positivas.
2. Sydsaeter, Knut ; Hammond, Peter (1995). Matemáticas para el análisis económico . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 173-175. ISBN 013583600X.
3. Zelenyuk, V. (2013) "Una nota sobre las equivalencias en la medición de rendimientos a escala", Revista Internacional de Negocios y Economía 12:1, págs. y ver referencias allí
4. Zelenyuk, V. (2013) "Una medida de elasticidad de escala para la función de distancia direccional y su dual: teoría y estimación DEA". Revista europea de investigación operativa 228:3, págs. 592–600
5. Bosques, JH; Sauro, HM (abril de 1997). "Elasticidades en el análisis de control metabólico: derivación algebraica de expresiones simplificadas". Aplicaciones Informáticas en las Biociencias . 13 (2): 123–30. doi : 10.1093/bioinformática/13.2.123 . PMID  9146958.
6. Chiang; Wainwright (2005). Métodos fundamentales de la economía matemática (4ª ed.). Boston: McGraw-Hill. págs. 192-193. ISBN 0070109109.
7. Wooldridge, Jeffrey (2003). Introducción a la econometría: un enfoque moderno (2ª ed.). Del suroeste. pag. 656.ISBN​ 0-324-11364-1.
8. Blanco, Lawrence Henry (1999). La teoría de las instituciones monetarias . Malden: Blackwell. pag. 148.ISBN​ 0-631-21214-0.
9. "Ayuda de Stata 17 para los márgenes".

Otras lecturas

• Nievergelt, Yves (1983). "El concepto de elasticidad en economía". Revisión SIAM . 25 (2): 261–265. doi :10.1137/1025049.