El teorema de Ribet (anteriormente llamado conjetura épsilon o conjetura ε ) es parte de la teoría de números . Se ocupa de las propiedades de las representaciones de Galois asociadas con las formas modulares . Fue propuesto por Jean-Pierre Serre y demostrado por Ken Ribet . La prueba fue un paso significativo hacia la prueba del último teorema de Fermat (TLF). Como demostraron Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuyo estado no estaba resuelto en ese momento) y la conjetura épsilon juntas implican que el Último Teorema de Fermat es verdadero.
En términos matemáticos, el teorema de Ribet muestra que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades, entonces esa curva no puede ser modular (en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación). [1]
Sea f una nueva forma de peso 2 en Γ 0 ( qN ) – es decir, de nivel qN donde q no divide a N – con representación de Galois absolutamente irreducible bidimensional mod p ρ f,p no ramificada en q si q ≠ p y finita plana en q = p . Entonces existe una nueva forma de peso 2 g de nivel N tal que
En particular, si E es una curva elíptica sobre con conductor qN , entonces el teorema de modularidad garantiza que existe una nueva forma de peso 2 f de nivel qN tal que la representación de Galois 2-dimensional mod p ρ f, p de f es isomorfa a la representación de Galois 2-dimensional mod p ρ E, p de E . Para aplicar el teorema de Ribet a ρ E , p , basta con comprobar la irreducibilidad y ramificación de ρ E, p . Utilizando la teoría de la curva de Tate , se puede demostrar que ρ E, p no está ramificada en q ≠ p y es plana finita en q = p si p divide la potencia a la que aparece q en el discriminante minimal Δ E . Entonces el teorema de Ribet implica que existe una nueva forma de peso 2 g de nivel N tal que ρ g , p ≈ ρ E , p .
El teorema de Ribet establece que comenzar con una curva elíptica E del conductor qN no garantiza la existencia de una curva elíptica E ′ de nivel N tal que ρ E, p ≈ ρ E ′ , p . La nueva forma g de nivel N puede no tener coeficientes de Fourier racionales y, por lo tanto, puede estar asociada a una variedad abeliana de dimensión superior , no a una curva elíptica. Por ejemplo, la curva elíptica 4171a1 en la base de datos de Cremona está dada por la ecuación
con conductor 43 × 97 y discriminante 43 7 × 97 3 no reduce el nivel mod 7 a una curva elíptica del conductor 97. Más bien, la representación de Galois mod p es isomorfa a la representación de Galois mod p de una nueva forma irracional g de nivel 97.
Sin embargo, para p lo suficientemente grande en comparación con el nivel N de la nueva forma de nivel reducido, una nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica) debe tener un nivel inferior al de otra nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica). En particular, para p ≫ N N 1+ ε , la representación de Galois mod p de una nueva forma racional no puede ser isomorfa a una nueva forma irracional de nivel N . [2]
De manera similar, la conjetura de Frey- Mazur predice que para un valor de p suficientemente grande (independientemente del conductor N ), las curvas elípticas con representaciones de Galois isomorfas mod p son, de hecho , isógenas y, por lo tanto, tienen el mismo conductor. Por lo tanto, no se predice que ocurra una reducción de nivel no trivial entre nuevas formas racionales para un valor de p grande ( p > 17) .
En su tesis, Yves Hellegouarch originó la idea de asociar soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático diferente: una curva elíptica. [3] Si p es un primo impar y a , b y c son números enteros positivos tales que
entonces una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación
Esta es una curva algebraica no singular de género uno definida sobre , y su completitud proyectiva es una curva elíptica sobre .
En 1982, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva, ahora llamada curva de Frey . [4] Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama al mostrar que un contraejemplo de FLT crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo un interés considerable cuando Frey sugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura implica FLT. Sin embargo, su argumento no estaba completo. [5] En 1985, Jean-Pierre Serre propuso que una curva de Frey no podía ser modular y proporcionó una prueba parcial. [6] [7] Esto mostró que una prueba del caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría FLT. Serre no proporcionó una prueba completa y la parte faltante se conoció como la conjetura épsilon o ε-conjetura. En el verano de 1986, Kenneth Alan Ribet demostró la conjetura épsilon, demostrando así que el teorema de modularidad implicaba FLT. [8]
El origen del nombre proviene de la parte ε de la "Conjetura de Taniyama-Shimura + ε ⇒ último teorema de Fermat".
Supóngase que la ecuación de Fermat con exponente p ≥ 5 [8] tuviera una solución en enteros distintos de cero a , b , c . La curva de Frey correspondiente E a p , b p , c p es una curva elíptica cuyo discriminante mínimo Δ es igual a 2 −8 ( abc ) 2 p y cuyo conductor N es el radical de abc , es decir, el producto de todos los primos distintos que dividen a abc . Una consideración elemental de la ecuación a p + b p = c p , deja claro que uno de a , b , c es par y, por tanto, también lo es N . Por la conjetura de Taniyama-Shimura, E es una curva elíptica modular. Puesto que todos los primos impares que dividen a , b , c en N aparecen a una p ésima potencia en el discriminante mínimo Δ , por el teorema de Ribet el descenso de nivel repetitivo módulo p elimina todos los primos impares del conductor. Sin embargo, no quedan nuevas formas de nivel 2 porque el género de la curva modular X 0 (2) es cero (y las nuevas formas de nivel N son diferenciales en X 0 ( N )) .
