Teorema de Lester

Varios puntos asociados a un triángulo escaleno se encuentran en el mismo círculo

Los puntos de Fermat , el centro del círculo de nueve puntos (azul claro) y el circuncentro del triángulo verde se encuentran en el círculo de Lester (negro). ${\displaystyle X_{13},X_{14}}$ ${\displaystyle X_{5}}$ ${\displaystyle X_{3}}$

En geometría del plano euclidiano , el teorema de Lester establece que en cualquier triángulo escaleno , los dos puntos de Fermat , el centro de nueve puntos y el circuncentro se encuentran en el mismo círculo . El resultado lleva el nombre de June Lester, quien lo publicó en 1997, ^[1] y el círculo que pasa por estos puntos fue llamado círculo de Lester por Clark Kimberling . ^[2] Lester demostró el resultado utilizando las propiedades de los números complejos ; los autores posteriores han dado pruebas elementales ^{[3] [4] [5] [6]} , pruebas utilizando aritmética vectorial, ^[7] y pruebas computarizadas. ^[8] El centro del círculo de Lester también es un centro de triángulo. Es el centro designado como X(1116) en la Enciclopedia de centros de triángulos . ^[9] Recientemente, Peter Moses descubrió que otros 21 centros de triángulos se encuentran en el círculo de Lester . Los puntos están numerados X(15535) – X(15555) en la Enciclopedia de centros de triángulos . ^[10]

Generalización de Gibert

En 2000, Bernard Gibert propuso una generalización del teorema de Lester que involucra la hipérbola de Kiepert de un triángulo. Su resultado puede enunciarse de la siguiente manera: Todo círculo con un diámetro que sea una cuerda de la hipérbola de Kiepert y perpendicular a la línea de Euler del triángulo pasa por los puntos de Fermat . ^{[11] [12]}

Generalizaciones del Dao

La primera generalización del Dao

En 2014, Dao Thanh Oai extendió el resultado de Gibert a cada hipérbola rectangular . La generalización es la siguiente: Sea y se encuentran en una rama de una hipérbola rectangular, y sea y los dos puntos en la hipérbola que son simétricos respecto de su centro ( puntos antípodas ), donde las tangentes en estos puntos son paralelas a la línea . Sea y dos puntos en la hipérbola donde las tangentes se intersecan en un punto en la línea . Si la línea se interseca en , y la bisectriz perpendicular de interseca la hipérbola en y , entonces los seis puntos , , y se encuentran en un círculo. Cuando la hipérbola rectangular es la hipérbola de Kiepert y y son los dos puntos de Fermat , la generalización de Dao se convierte en la generalización de Gibert. ^{[12] [13]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{+}}$ ${\displaystyle F_{-}}$ ${\displaystyle HG}$ ${\displaystyle K_{+}}$ ${\displaystyle K_{-}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle HG}$ ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ ${\displaystyle HG}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle G_{-}}$ ${\displaystyle F_{+}}$ ${\displaystyle F_{-},}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle G_{-}}$ ${\displaystyle F_{+}}$ ${\displaystyle F_{-}}$

Segunda generalización del Dao

En 2015, Dao Thanh Oai propuso otra generalización del círculo de Lester, esta vez asociada con la cúbica de Neuberg . Puede enunciarse de la siguiente manera: Sea un punto en la cúbica de Neuberg , y sea la reflexión de en la línea , con y definidas cíclicamente. Se sabe que las líneas , , y son concurrentes en un punto denotado como . Los cuatro puntos , , , y se encuentran en un círculo. Cuando es el punto , se sabe que , lo que hace que la generalización de Dao sea una reformulación del Teorema de Lester. ^{[13] [14] [15] [16]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle P_{B}}$ ${\displaystyle P_{C}}$ ${\displaystyle AP_{A}}$ ${\displaystyle BP_{B}}$ ${\displaystyle CP_{C}}$ ${\displaystyle Q(P)}$ ${\displaystyle X_{13}}$ ${\displaystyle X_{14}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X(3)}$ ${\displaystyle Q(P)=Q(X_{3})=X_{5}}$

Véase también

• Círculo de parada
• Forma § Clases de similitud
• Círculo de van Lamoen

Referencias

1. Lester, June A. (1997), "Triángulos. III. Funciones triangulares complejas", Aequationes Mathematicae , 53 (1–2): 4–35, doi :10.1007/BF02215963, MR  1436263, S2CID  119667124
2. Kimberling, Clark (1996), "El círculo de Lester", El profesor de matemáticas , 89 (1): 26, JSTOR  27969621
3. Shail, Ron (2001), "Una prueba del teorema de Lester", The Mathematical Gazette , 85 (503): 226–232, doi :10.2307/3622007, JSTOR  3622007, S2CID  125392368
4. Rigby, John (2003), "Una prueba simple del teorema de Lester", The Mathematical Gazette , 87 (510): 444–452, doi :10.1017/S0025557200173620, JSTOR  3621279, S2CID  125214460
5. Scott, JA (2003), "Dos pruebas más del teorema de Lester", The Mathematical Gazette , 87 (510): 553–566, doi :10.1017/S0025557200173917, JSTOR  3621308, S2CID  125997675
6. Duff, Michael (2005), "Una breve prueba proyectiva del teorema de Lester", The Mathematical Gazette , 89 (516): 505–506, doi : 10.1017/S0025557200178581 , S2CID  125894605
7. Dolan, Stan (2007), "El hombre contra la computadora", The Mathematical Gazette , 91 (522): 469–480, doi :10.1017/S0025557200182117, JSTOR  40378420, S2CID  126161757
8. Trott, Michael (1997), "Aplicación de la base de Groebner a tres problemas de geometría", Mathematica en educación e investigación , 6 (1): 15–28
9. Clark Kimberling, X(1116) = CENTRO DEL CÍRCULO DE LESTER en Enciclopedia de centros de triángulos
10. Peter Moses, Preámbulo antes de X(15535) en Enciclopedia de centros de triángulos
11. Paul Yiu, Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones, Forum Geometricorum, volumen 10, páginas 175-209, ISSN  1534-1178
12. Dao Thanh Oai, Una prueba simple de la generalización de Gibert del teorema del círculo de Lester, Forum Geometricorum, volumen 14, páginas 201-202, ISSN  1534-1178
13. Ngo Quang Duong, Generalización del círculo de Lester, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 10, (2021), número 1, páginas 49-61, ISSN  2284-5569
14. Dao Thanh Oai, Generalizaciones de algunos teoremas famosos de la geometría euclidiana clásica, International Journal of Computer Discovered Mathematics, vol. 1, (2016), número 3, páginas 13-20, ISSN  2367-7775
15. Kimberling, X(7668) = POLO DE X(115)X(125) CON RESPECTO AL CÍRCULO DE NUEVE PUNTOS en Enciclopedia de centros de triángulos
16. César Eliud Lozada, Preámbulo antes de X(42740) en Enciclopedia de centros de triángulos

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Círculo de Lester". MathWorld .