Teorema de Grunsky

En matemáticas , el teorema de Grunsky , debido al matemático alemán Helmut Grunsky , es un resultado del análisis complejo relativo a funciones univalentes holomorfas definidas en el disco unidad en los números complejos . El teorema establece que una función univalente definida en el disco unidad, fijando el punto 0, asigna cada disco |z| < r a un dominio estelar para r ≤ tanh π/4. El r más grande para el cual esto es cierto se denomina radio de semejanza estelar de la función.

Declaración

Sea f una función holomorfa univalente en el disco unidad D tal que f (0) = 0. Entonces, para todo r ≤ tanh π/4, la imagen del disco |z| < r es estelar con respecto a 0, , es decir, es invariante bajo la multiplicación por números reales en (0,1).

Una desigualdad de Grunsky

Si f (z) es univalente en D con f (0) = 0, entonces

${\displaystyle \left|\log {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

Tomando las partes reales e imaginarias del logaritmo, esto implica las dos desigualdades

${\displaystyle \left|{zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+|z| \over 1-|z|}}$

y

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

Para z fijo , ambas igualdades se logran mediante funciones de Koebe adecuadas

${\displaystyle g_{w}(\zeta )={\zeta \over (1-{\overline {w}}\zeta )^{2}},}$

donde |w| = 1.

Prueba

Grunsky (1932) demostró originalmente estas desigualdades basándose en técnicas extremales de Ludwig Bieberbach . Las demostraciones posteriores, descritas en Goluzin (1939), se basaron en la ecuación de Loewner . Posteriormente se dieron demostraciones más elementales basadas en las desigualdades de Goluzin , una forma equivalente de las desigualdades de Grunsky (1939) para la matriz de Grunsky .

Para una función univalente g en z > 1 con una expansión

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots .}$

Las desigualdades de Goluzin establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{j}\log {g(z_{i})-g(z_{j}) \over z_{i}-z_{j}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\log {z_{i}{\overline {z_{j}}} \over z_{i}{\overline {z_{j}}}-1},}$

donde z _i son puntos distintos con | z _i | > 1 y λ _i son números complejos arbitrarios.

Tomando n = 2, con λ ₁ = – λ ₂ = λ, la desigualdad implica

${\displaystyle \left|\log {g^{\prime }(\zeta )g^{\prime }(\eta )(\zeta -\eta )^{2} \over (g(\zeta )-g(\eta ))^{2}}\right|\leq \log {|1-\zeta {\overline {\eta }}|^{2} \over (|\zeta |^{2}-1)(|\eta |^{2}-1)}.}$

Si g es una función impar y η = – ζ, esto da como resultado

${\displaystyle \left|\log {\zeta g^{\prime }(\zeta ) \over g(\zeta )}\right|\leq {|\zeta |^{2}+1 \over |\zeta |^{2}-1}.}$

Finalmente, si f es cualquier función univalente normalizada en D , la desigualdad requerida para f se deduce tomando

${\displaystyle g(\zeta )=f(\zeta ^{-2})^{-{1 \over 2}}}$

con ${\displaystyle z=\zeta ^{-2}.}$

Prueba del teorema

Sea f una función univalente en D con f (0) = 0. Por el criterio de Nevanlinna , f es similar a una estrella en |z| < r si y solo si

${\displaystyle \Re {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\geq 0}$

para |z| < r . Equivalentemente

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {\pi \over 2}.}$

Por otra parte, por la desigualdad de Grunsky anterior,

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

Así que si

${\displaystyle \log {1+|z| \over 1-|z|}\leq {\pi \over 2},}$

La desigualdad se cumple en z . Esta condición es equivalente a

${\displaystyle |z|\leq \tanh {\pi \over 4}}$

y por lo tanto f es similar a una estrella en cualquier disco |z| < r con r ≤ tanh π/4.

Referencias

• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, págs. 95–98, ISBN 0-387-90795-5
• Goluzin, GM (1939), "Problemas internos de la teoría de funciones univalentes", Uspekhi Mat. Nauk , 6 : 26–89(en ruso)
• Goluzin, GM (1969), Teoría geométrica de funciones de una variable compleja , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 26, American Mathematical Society
• Goodman, AW (1983), Funciones univalentes , vol. I, Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-10-X
• Goodman, AW (1983), Funciones univalentes , vol. II, Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-11-8
• Grunsky, H. (1932), "Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche (disertación inaugural)", Schr. Matemáticas. Inst. U.Inst. Angélica. Matemáticas. Univ. Berlín , 1 : 95–140, archivado desde el original el 11 de febrero de 2015 , consultado el 7 de diciembre de 2011(en alemán)
• Grunsky, H. (1934), "Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung", Jber. Alemán. Matemáticas.-Verein. , 43 : 140-143(en alemán)
• Hayman, WK (1994), Funciones multivalentes , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 110 (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Öfvers. Veterinario finlandés. Soc. Parah. , 53 : 1-21
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck y Ruprecht