Sistema desmico

Configuración de 3 tetraedros en geometría proyectiva

Dos tetraedros désmicos. El tercer tetraedro de este sistema no se muestra, pero tiene un vértice en el centro y los otros tres en el plano del infinito.

La configuración de Reye con los mismos 12 vértices que un sistema désmico

En geometría proyectiva , un sistema désmico (del griego δεσμός  'banda, cadena') es un conjunto de tres tetraedros en el espacio proyectivo tridimensional , de modo que dos de ellos son désmicos (relacionados de modo que cada arista de uno corta un par de aristas opuestas del otro). Fue introducido por Stephanos  (1879). Los tres tetraedros de un sistema désmico están contenidos en un lápiz de superficies cuárticas .

Toda línea que pasa por dos vértices de dos tetraedros del sistema pasa también por un vértice del tercer tetraedro. Los 12 vértices del sistema désmico y las 16 líneas formadas de esta manera son los puntos y líneas de una configuración de Reye .

Ejemplo

Los tres tetraedros dados por las ecuaciones

• ${\displaystyle \displaystyle (w^{2}-x^{2})(y^{2}-z^{2})=0}$
• ${\displaystyle \displaystyle (w^{2}-y^{2})(x^{2}-z^{2})=0}$
• ${\displaystyle \displaystyle (w^{2}-z^{2})(y^{2}-x^{2})=0}$

Forman un sistema désmico, contenido en el lápiz de cuárticos.

• ${\displaystyle \displaystyle a(w^{2}x^{2}+y^{2}z^{2})+b(w^{2}y^{2}+x^{2}z^{2})+c(w^{2}z^{2}+x^{2}y^{2})=0}$

para a  +  b  +  c  = 0.

Referencias

• Borwein, Peter B (1983), "La conjetura de Desmic", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 35 (1): 1–9, doi :10.1016/0097-3165(83)90022-5, MR  0704251.
• Hudson, RWHT (1990), Superficie cuártica de Kummer, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39790-2, Sr.  1097176.
• Stephanos, Cyparissos (1879), "Sur les systèmes desmiques de trois tétraèdres", Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques , Série 2, 3 (1): 424–456, JFM  11.0431.01.

Enlaces externos

• Tetraedros desmicos