El problema de Burnside plantea la pregunta de si un grupo finitamente generado en el que cada elemento tiene un orden finito debe ser necesariamente un grupo finito . Fue planteado por William Burnside en 1902, lo que lo convierte en una de las preguntas más antiguas de la teoría de grupos , y fue influyente en el desarrollo de la teoría combinatoria de grupos . Se sabe que tiene una respuesta negativa en general, ya que Evgeny Golod e Igor Shafarevich proporcionaron un contraejemplo en 1964. El problema tiene muchos refinamientos y variantes que difieren en las condiciones adicionales impuestas a los órdenes de los elementos del grupo (ver acotado y restringido a continuación). Algunas de estas variantes todavía son preguntas abiertas .
Los trabajos iniciales apuntaban hacia la respuesta afirmativa. Por ejemplo, si un grupo G es finitamente generado y el orden de cada elemento de G es divisor de 4, entonces G es finito. Además, AI Kostrikin pudo demostrar en 1958 que entre los grupos finitos con un número dado de generadores y un exponente primo dado, existe uno más grande. Esto proporciona una solución para el problema restringido de Burnside para el caso de exponente primo. (Más tarde, en 1989, Efim Zelmanov pudo resolver el problema restringido de Burnside para un exponente arbitrario). Issai Schur había demostrado en 1911 que cualquier grupo periódico finitamente generado que fuera un subgrupo del grupo de matrices complejas invertibles n × n era finito; utilizó este teorema para demostrar el teorema de Jordan-Schur . [1]
Sin embargo, la respuesta general al problema de Burnside resultó ser negativa. En 1964, Golod y Shafarevich construyeron un grupo infinito de tipo Burnside sin suponer que todos los elementos tienen un orden acotado uniformemente. En 1968, Pyotr Novikov y Sergei Adian proporcionaron una solución negativa al problema del exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 4381 que luego fue mejorada a un exponente impar mayor que 665 por Adian [2] y el mejor límite de número impar es 101 también por Adian. En 1982, A. Yu. Ol'shanskii encontró algunos contraejemplos sorprendentes para exponentes impares suficientemente grandes (mayores que 10 10 ), y proporcionó una prueba considerablemente más simple basada en ideas geométricas.
El caso de los exponentes pares resultó ser mucho más difícil de resolver. En 1992, S. V. Ivanov anunció la solución negativa para exponentes pares suficientemente grandes divisibles por una gran potencia de 2 (las pruebas detalladas se publicaron en 1994 y ocuparon unas 300 páginas). Un trabajo conjunto posterior de Ol'shanskii e Ivanov estableció una solución negativa para un análogo del problema de Burnside para grupos hiperbólicos , siempre que el exponente sea suficientemente grande. Por el contrario, cuando el exponente es pequeño y distinto de 2, 3, 4 y 6, se sabe muy poco.
Un grupo G se denomina periódico (o de torsión) si cada elemento tiene un orden finito; en otras palabras, para cada g en G , existe algún entero positivo n tal que g n = 1. Claramente, todo grupo finito es periódico. Existen grupos fácilmente definidos, como el grupo p ∞, que son grupos periódicos infinitos; pero este último grupo no puede generarse de manera finita.
Problema general de Burnside. Si G es un grupo periódico finitamente generado, ¿es G necesariamente finito?
Esta pregunta fue respondida negativamente en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich , quienes dieron un ejemplo de un p -grupo infinito que es finitamente generado (véase el teorema de Golod-Shafarevich ). Sin embargo, los órdenes de los elementos de este grupo no están acotados a priori por una única constante.
Parte de la dificultad del problema general de Burnside es que los requisitos de ser finitamente generado y periódico dan muy poca información sobre la posible estructura de un grupo. Por lo tanto, planteamos más requisitos a G . Consideremos un grupo periódico G con la propiedad adicional de que existe un mínimo entero n tal que para todo g en G , g n = 1. Se dice que un grupo con esta propiedad es periódico con exponente acotado n , o simplemente un grupo con exponente n . El problema de Burnside para grupos con exponente acotado pregunta:
Problema de Burnside I. Si G es un grupo finitamente generado con exponente n , ¿es G necesariamente finito?
Resulta que este problema puede reformularse como una pregunta sobre la finitud de los grupos en una familia particular. El grupo libre de Burnside de rango m y exponente n , denotado B( m , n ), es un grupo con m generadores distinguidos x 1 , ..., x m en el que la identidad x n = 1 se cumple para todos los elementos x , y que es el grupo "más grande" que satisface estos requisitos. Más precisamente, la propiedad característica de B( m , n ) es que, dado cualquier grupo G con m generadores g 1 , ..., g m y de exponente n , hay un homomorfismo único de B( m , n ) a G que mapea el i ésimo generador x i de B( m , n ) en el i ésimo generador g i de G . En el lenguaje de las presentaciones de grupo , el grupo libre de Burnside B( m , n ) tiene m generadores x 1 , ..., x m y las relaciones x n = 1 para cada palabra x en x 1 , ..., x m , y cualquier grupo G con m generadores de exponente n se obtiene de él imponiendo relaciones adicionales. La existencia del grupo libre de Burnside y su unicidad hasta un isomorfismo se establecen mediante técnicas estándar de teoría de grupos. Por lo tanto, si G es cualquier grupo finitamente generado de exponente n , entonces G es una imagen homomórfica de B( m , n ), donde m es el número de generadores de G . El problema de Burnside ahora puede reformularse de la siguiente manera:
Problema de Burnside II. ¿Para qué números enteros positivos m , n el grupo de Burnside libre B( m , n ) es finito?
No se conoce la solución completa del problema de Burnside en esta forma. Burnside consideró algunos casos sencillos en su artículo original:
Se conocen los siguientes resultados adicionales (Burnside, Sanov, M. Hall ):
El caso particular de B(2, 5) permanece abierto.
El gran avance en la solución del problema de Burnside fue logrado por Pyotr Novikov y Sergei Adian en 1968. Usando un argumento combinatorio complicado, demostraron que para cada número impar n con n > 4381, existen grupos infinitos, finitamente generados de exponente n . Adian luego mejoró el límite del exponente impar a 665. [3] La última mejora del límite del exponente impar es 101 obtenido por el propio Adian en 2015. El caso del exponente par resultó ser considerablemente más difícil. Fue solo en 1994 que Sergei Vasilievich Ivanov pudo demostrar un análogo del teorema de Novikov-Adian: para cualquier m > 1 y un n par ≥ 2 48 , n divisible por 2 9 , el grupo B( m , n ) es infinito; Junto con el teorema de Novikov-Adian, esto implica infinitud para todo m > 1 y n ≥ 2 48 . Esto fue mejorado en 1996 por IG Lysënok a m > 1 y n ≥ 8000. Novikov-Adian, Ivanov y Lysënok establecieron resultados considerablemente más precisos sobre la estructura de los grupos de Burnside libres. En el caso del exponente impar, se demostró que todos los subgrupos finitos de los grupos de Burnside libres eran grupos cíclicos. En el caso del exponente par, cada subgrupo finito está contenido en un producto de dos grupos diedros , y existen subgrupos finitos no cíclicos. Además, se demostró que los problemas de palabras y conjugación se pueden resolver de manera efectiva en B( m , n ) tanto para los casos de exponentes pares como impares n .
Una famosa clase de contraejemplos del problema de Burnside está formada por grupos infinitos no cíclicos finitamente generados en los que cada subgrupo propio no trivial es un grupo cíclico finito , los llamados Monstruos de Tarski . Los primeros ejemplos de tales grupos fueron construidos por A. Yu. Ol'shanskii en 1979 usando métodos geométricos, resolviendo así afirmativamente el problema de O. Yu. Schmidt. En 1982 Ol'shanskii pudo fortalecer sus resultados para establecer la existencia, para cualquier número primo suficientemente grande p (se puede tomar p > 10 75 ) de un grupo infinito finitamente generado en el que cada subgrupo propio no trivial es un grupo cíclico de orden p . En un artículo publicado en 1996, Ivanov y Ol'shanskii resolvieron un análogo del problema de Burnside en un grupo hiperbólico arbitrario para exponentes suficientemente grandes.
Formulada en la década de 1930, plantea otra pregunta relacionada:
Problema restringido de Burnside. Si se sabe que un grupo G con m generadores y exponente n es finito, ¿se puede concluir que el orden de G está acotado por alguna constante que depende sólo de m y n ? De manera equivalente, ¿existen sólo un número finito de grupos finitos con m generadores de exponente n , salvo isomorfismo ?
Esta variante del problema de Burnside también puede enunciarse en términos de teoría de categorías: una respuesta afirmativa para todo m equivale a decir que la categoría de grupos finitos de exponente n tiene todos los límites y colímites finitos. [4] También puede enunciarse de forma más explícita en términos de ciertos grupos universales con m generadores y exponente n . Por resultados básicos de la teoría de grupos, la intersección de dos subgrupos normales de índice finito en cualquier grupo es en sí misma un subgrupo normal de índice finito. Por tanto, la intersección M de todos los subgrupos normales del grupo libre de Burnside B( m , n ) que tienen índice finito es un subgrupo normal de B( m , n ). Por tanto, se puede definir el grupo libre restringido de Burnside B 0 ( m , n ) como el grupo cociente B( m , n )/ M . Todo grupo finito de exponente n con m generadores es isomorfo a B( m , n )/ N donde N es un subgrupo normal de B( m , n ) con índice finito. Por lo tanto, por el Tercer Teorema de Isomorfismo , todo grupo finito de exponente n con m generadores es isomorfo a B 0 ( m , n )/( N / M ) — en otras palabras, es una imagen homomórfica de B 0 ( m , n ). El problema restringido de Burnside pregunta entonces si B 0 ( m , n ) es un grupo finito. En términos de la teoría de categorías, B 0 ( m , n ) es el coproducto de n grupos cíclicos de orden m en la categoría de grupos finitos de exponente n .
En el caso del exponente primo p , este problema fue estudiado extensamente por AI Kostrikin durante la década de 1950, antes de la solución negativa del problema general de Burnside. Su solución, que establecía la finitud de B 0 ( m , p ), utilizó una relación con preguntas profundas sobre identidades en álgebras de Lie en característica finita. El caso del exponente arbitrario ha sido completamente resuelto afirmativamente por Efim Zelmanov , quien fue galardonado con la Medalla Fields en 1994 por su trabajo.