Teorema de Schur

Uno de varios teoremas en diferentes áreas de las matemáticas.

En matemáticas discretas , el teorema de Schur es uno de los varios teoremas del matemático Issai Schur . En geometría diferencial , el teorema de Schur es un teorema de Axel Schur. En análisis funcional , el teorema de Schur se suele llamar propiedad de Schur , también debido a Issai Schur.

Teoría de Ramsey

En la teoría de Ramsey , el teorema de Schur establece que para cualquier partición de los números enteros positivos en un número finito de partes, una de las partes contiene tres números enteros x , y , z con

${\displaystyle x+y=z.}$

Para cada entero positivo c , S ( c ) denota el número más pequeño S tal que para cada partición de los enteros en c partes, una de las partes contiene los enteros x , y y z con . El teorema de Schur asegura que S ( c ) está bien definido para cada entero positivo c . Los números de la forma S ( c ) se denominan número de Schur s. ${\displaystyle \{1,\ldots ,S(c)\}}$ ${\displaystyle x+y=z}$

El teorema de Folkman generaliza el teorema de Schur al afirmar que existen conjuntos arbitrariamente grandes de números enteros, cuyas sumas no vacías pertenecen a la misma parte.

Usando esta definición, los únicos números de Schur conocidos son S (n) = 2, 5, 14, 45 y 161 ( OEIS : A030126 ). La prueba de que S (5) = 161 se anunció en 2017 y requirió 2 petabytes de espacio. ^{[1] [2]}

Combinatoria

En combinatoria , el teorema de Schur indica la cantidad de formas de expresar un número dado como una combinación lineal (entero no negativo) de un conjunto fijo de números primos entre sí . En particular, si es un conjunto de números enteros tales que , la cantidad de múltiplos diferentes de números enteros no negativos tales que cuando tiende a infinito es: ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle \gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})=1}$ ${\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n})}$ ${\displaystyle x=c_{1}a_{1}+\cdots +c_{n}a_{n}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {x^{n-1}}{(n-1)!a_{1}\cdots a_{n}}}(1+o(1)).}$

Como resultado, para cada conjunto de números primos entre sí existe un valor de tal que cada número mayor es representable como una combinación lineal de al menos una forma. Esta consecuencia del teorema puede reformularse en un contexto familiar considerando el problema de cambiar una cantidad utilizando un conjunto de monedas. Si las denominaciones de las monedas son números primos entre sí (como 2 y 5), entonces cualquier cantidad suficientemente grande puede cambiarse utilizando solo estas monedas. (Véase Problema de la moneda .) ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$

Geometría diferencial

En geometría diferencial , el teorema de Schur compara la distancia entre los puntos finales de una curva espacial con la distancia entre los puntos finales de una curva plana correspondiente de menor curvatura. ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C}$

Supóngase que es una curva plana con curvatura que forma una curva convexa cuando está cerrada por la cuerda que une sus extremos, y es una curva de la misma longitud con curvatura . Sea la distancia entre los extremos de y la distancia entre los extremos de . Si entonces . ${\displaystyle C(s)}$ ${\displaystyle \kappa (s)}$ ${\displaystyle C^{*}(s)}$ ${\displaystyle \kappa ^{*}(s)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle \kappa ^{*}(s)\leq \kappa (s)}$ ${\displaystyle d^{*}\geq d}$

El teorema de Schur suele enunciarse para curvas, pero John M. Sullivan ha observado que el teorema de Schur se aplica a curvas de curvatura total finita (el enunciado es ligeramente diferente). ${\displaystyle C^{2}}$

Álgebra lineal

En álgebra lineal , el teorema de Schur se conoce como la triangularización de una matriz cuadrada con entradas complejas o de una matriz cuadrada con entradas reales y valores propios reales .

Análisis funcional

En el análisis funcional y el estudio de los espacios de Banach , el teorema de Schur, debido a I. Schur , a menudo se refiere a la propiedad de Schur , de que para ciertos espacios, la convergencia débil implica convergencia en la norma.

Teoría de números

En teoría de números , Issai Schur demostró en 1912 que para cada polinomio no constante p ( x ) con coeficientes enteros , si S es el conjunto de todos los valores distintos de cero , entonces el conjunto de primos que dividen a algún miembro de S es infinito. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p(n)\neq 0:n\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}}$

Véase también

• Lema de Schur (de la geometría de Riemann)

Referencias

1. Heule, Marijn JH (2017). "Schur número cinco". arXiv : 1711.08076 .
2. "Schur número cinco". www.cs.utexas.edu . Consultado el 6 de octubre de 2021 .

• Herbert S. Wilf (1994). Función generadora. Academic Press.
• Shiing-Shen Chern (1967). Curvas y superficies en el espacio euclidiano. En Estudios sobre geometría global y análisis. Prentice-Hall.
• Issai Schur (1912). Über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einigen speziellen arithmetischen Progressionen, Sitzungsberichte der Berliner Math.

Lectura adicional

• Dany Breslauer y Devdatt P. Dubhashi (1995). Combinatoria para científicos informáticos
• John M. Sullivan (2006). Curvas de curvatura total finita. arXiv.