Transformación de Bogoliubov

Operaciones matemáticas en óptica cuántica, relatividad general y otras áreas de la física

En física teórica , la transformación de Bogoliubov , también conocida como transformación de Bogoliubov-Valatin , fue desarrollada independientemente en 1958 por Nikolay Bogolyubov y John George Valatin para encontrar soluciones de la teoría BCS en un sistema homogéneo. ^{[1] [2]} La transformación de Bogoliubov es un isomorfismo del álgebra de relación de conmutación canónica o del álgebra de relación de anticonmutación canónica . Esto induce una autoequivalencia en las respectivas representaciones. La transformación de Bogoliubov se utiliza a menudo para diagonalizar hamiltonianos , lo que produce las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger correspondiente . La transformación de Bogoliubov también es importante para comprender el efecto Unruh , la radiación de Hawking , la radiación de Davies-Fulling (modelo de espejo móvil), los efectos de emparejamiento en física nuclear y muchos otros temas.

La transformación de Bogoliubov se utiliza a menudo para diagonalizar los hamiltonianos, con una transformación correspondiente de la función de estado. Los valores propios del operador calculados con el hamiltoniano diagonalizado en la función de estado transformada son, por tanto, los mismos que antes.

Ejemplo de modo bosónico único

Considere la relación de conmutación canónica para los operadores de creación y aniquilación bosónica en la base del oscilador armónico.

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$

Definir un nuevo par de operadores

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},}$

para los números complejos u y v , donde el último es el conjugado hermítico del primero.

La transformación de Bogoliubov es la transformación canónica que aplica los operadores y a y . Para encontrar las condiciones de las constantes u y v tales que la transformación sea canónica, se evalúa el conmutador, es decir, ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

Es evidente entonces que es la condición por la cual la transformación es canónica. ${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Dado que la forma de esta condición sugiere la identidad hiperbólica

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,}$

Las constantes u y v se pueden parametrizar fácilmente como

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}$

Esto se interpreta como una transformación simpléctica lineal del espacio de fases . Al comparar con la descomposición de Bloch-Messiah , los dos ángulos y corresponden a las transformaciones simplécticas ortogonales (es decir, rotaciones) y el factor de compresión corresponde a la transformación diagonal. ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle r}$

Aplicaciones

La aplicación más destacada es la del propio Nikolai Bogoliubov en el contexto de la superfluidez . ^{[3] [4]} Otras aplicaciones comprenden los hamiltonianos y las excitaciones en la teoría del antiferromagnetismo . ^[5] Al calcular la teoría cuántica de campos en espacios-tiempos curvos, la definición del vacío cambia y es posible una transformación de Bogoliubov entre estos diferentes vacíos. Esto se utiliza en la derivación de la radiación de Hawking . Las transformadas de Bogoliubov también se utilizan ampliamente en óptica cuántica, particularmente cuando se trabaja con unitarios gaussianos (como divisores de haz, desfasadores y operaciones de compresión).

Modo fermiónico

Para las relaciones anticonmutativas

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,}$

La transformación de Bogoliubov está restringida por . Por lo tanto, la única posibilidad no trivial corresponde al intercambio partícula-antipartícula (o intercambio partícula-hueco en sistemas de muchos cuerpos) con la posible inclusión de un cambio de fase. Por lo tanto, para una sola partícula, la transformación solo se puede implementar (1) para un fermión de Dirac , donde la partícula y la antipartícula son distintas (a diferencia de un fermión de Majorana o un fermión quiral ), o (2) para sistemas multifermiónicos, en los que hay más de un tipo de fermión. ${\displaystyle uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1}$ ${\displaystyle u=0,|v|=1,}$

Aplicaciones

La aplicación más destacada es de nuevo del propio Nikolai Bogoliubov, esta vez para la teoría BCS de la superconductividad . ^{[5] [6] [7] [8]} El punto en el que la necesidad de realizar una transformada de Bogoliubov se hace obvia es que en la aproximación de campo medio el hamiltoniano del sistema se puede escribir en ambos casos como una suma de términos bilineales en los operadores originales de creación y destrucción, involucrando términos finitos, es decir, uno debe ir más allá del método habitual de Hartree-Fock . En particular, en el formalismo hamiltoniano de Bogoliubov-de Gennes de campo medio con un término de apareamiento superconductor como , los operadores transformados de Bogoliubov aniquilan y crean cuasipartículas (cada una con energía, momento y espín bien definidos pero en una superposición cuántica de estado de electrón y hueco), y tienen coeficientes y dados por vectores propios de la matriz de Bogoliubov-de Gennes. Este método también es aplicable en física nuclear , ya que puede describir la "energía de emparejamiento" de los nucleones en un elemento pesado. ^[9] ${\displaystyle \langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}}$ ${\displaystyle b,b^{\dagger }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Ejemplo multimodo

El espacio de Hilbert considerado está equipado con estos operadores y, de ahora en adelante, describe un oscilador armónico cuántico de dimensiones superiores (generalmente de dimensión infinita).

El estado fundamental del hamiltoniano correspondiente es aniquilado por todos los operadores de aniquilación:

${\displaystyle \forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.}$

Todos los estados excitados se obtienen como combinaciones lineales del estado fundamental excitado por algunos operadores de creación :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .}$

Se pueden redefinir los operadores de creación y aniquilación mediante una redefinición lineal:

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),}$

donde los coeficientes deben satisfacer ciertas reglas para garantizar que los operadores de aniquilación y los operadores de creación , definidos por la ecuación conjugada hermítica , tengan los mismos conmutadores para bosones y anticonmutadores para fermiones. ${\displaystyle u_{ij},v_{ij}}$ ${\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}$

La ecuación anterior define la transformación de Bogoliubov de los operadores.

El estado fundamental aniquilado por todos es diferente del estado fundamental original , y pueden verse como las transformaciones de Bogoliubov entre sí utilizando la correspondencia operador-estado. También pueden definirse como estados coherentes comprimidos . La función de onda BCS es un ejemplo de estado coherente comprimido de fermiones. ^[10] ${\displaystyle a'_{i}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

Descripción de matriz unificada

Dado que las transformaciones de Bogoliubov son recombinaciones lineales de operadores, es más conveniente y esclarecedor escribirlas en términos de transformaciones matriciales. Si un par de aniquiladores se transforman como ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

donde es una matriz. Entonces naturalmente ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}}$

Para los operadores fermiónicos, el requisito de relaciones de conmutación se refleja en dos requisitos para la forma de la matriz ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle |u|^{2}+|v|^{2}=1}$

Para los operadores de bosones, las relaciones de conmutación requieren

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Estas condiciones se pueden escribir uniformemente como

${\displaystyle U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }}$

dónde

${\displaystyle \Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

donde se aplica a fermiones y bosones, respectivamente. ${\displaystyle \Gamma _{\pm }}$

Diagonalización de un hamiltoniano cuadrático mediante descripción matricial

La transformación de Bogoliubov nos permite diagonalizar un hamiltoniano cuadrático

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

simplemente diagonalizando la matriz . En las notaciones anteriores, es importante distinguir el operador y la matriz numérica . Este hecho se puede ver reescribiendo como ${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

y si y sólo si diagonaliza , es decir . ${\displaystyle \Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$ ${\displaystyle U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D}$

A continuación se enumeran las propiedades útiles de las transformaciones de Bogoliubov.

Véase también

• Transformación de Holstein-Primakoff
• Transformación de Jordan-Wigner
• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Klein

Referencias

1. Valatin, JG (marzo de 1958). "Comentarios sobre la teoría de la superconductividad". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843–857. Bibcode :1958NCim....7..843V. doi :10.1007/bf02745589. S2CID  123486856.
2. Bogoljubov, NN (marzo de 1958). "Sobre un nuevo método en la teoría de la superconductividad". El nuevo cemento . 7 (6): 794–805. Código bibliográfico : 1958NCim....7..794B. doi :10.1007/bf02745585. S2CID  120718745.
3. NN Bogoliubov: Sobre la teoría de la superfluidez , J. Phys. (URSS), 11, pág. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, pág. 77 (1947)).
4. Bogolubov [sic], N. "Sobre la teoría de la superfluidez" (PDF) . Avances de las ciencias físicas . Instituto de Física Lebedev . Consultado el 27 de abril de 2017 .
5. Véase, por ejemplo, el libro de texto de Charles Kittel : Teoría cuántica de sólidos , Nueva York, Wiley 1987.
6. Boboliubov, NN (1 de enero de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad. I". Física soviética (URSS) JETP . 7 (1): 41–46.
7. Bogoliubov, NN (julio de 1958). «Un nuevo método en la teoría de la superconductividad III» (PDF) . Física soviética (URSS) JETP . 34 (7): 51–55. Archivado desde el original (PDF) el 27 de julio de 2020. Consultado el 27 de abril de 2017 .
8. Bogolyubov, NN; Tolmachev, VV; Shirkov, DV (noviembre de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad". Fortschritte der Physik . 6 (11–12): 605–682. Bibcode :1958ForPh...6..605B. doi :10.1002/prop.19580061102.
9. Strutinsky, VM (abril de 1967). "Efectos de capa en masas nucleares y energías de deformación". Física nuclear A . 95 (2): 420–442. Código Bibliográfico :1967NuPhA..95..420S. doi :10.1016/0375-9474(67)90510-6.
10. Svozil, K. (24 de diciembre de 1990). "Estados fermiónicos comprimidos". Physical Review Letters . 65 (26). American Physical Society (APS): 3341–3343. Bibcode :1990PhRvL..65.3341S. doi :10.1103/physrevlett.65.3341. ISSN  0031-9007. PMID  10042844.

Lectura adicional

Todo el tema, y ​​muchas aplicaciones concretas, se tratan en los siguientes libros de texto:

• Blaizot, J.-P.; Ripka, G. (1985). Teoría cuántica de sistemas finitos . MIT Press. ISBN 0-262-02214-1.
• Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . Dover. ISBN 0-486-42827-3.
• Kittel, Ch. (1987). Teoría cuántica de los sólidos . Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
• Wagner, M. (1986). Transformaciones unitarias en física del estado sólido . Elsevier Science. ISBN 0-444-86975-1.