Transformación de Bogoliubov

Operación matemática en óptica cuántica, relatividad general y otras áreas de la física.

En física teórica , la transformación de Bogoliubov , también conocida como transformación de Bogoliubov-Valatin , fue desarrollada independientemente en 1958 por Nikolay Bogolyubov y John George Valatin para encontrar soluciones de la teoría BCS en un sistema homogéneo. ^{[1] [2]} La transformación de Bogoliubov es un isomorfismo del álgebra de relaciones de conmutación canónica o del álgebra de relaciones de anticonmutación canónica . Esto induce una autoequivalencia en las respectivas representaciones. La transformación de Bogoliubov se utiliza a menudo para diagonalizar a los hamiltonianos , lo que produce las soluciones estacionarias de la correspondiente ecuación de Schrödinger . La transformación de Bogoliubov también es importante para comprender el efecto Unruh , la radiación de Hawking , la radiación de Davies-Fulling (modelo de espejo móvil), los efectos de emparejamiento en física nuclear y muchos otros temas.

La transformación de Bogoliubov se utiliza a menudo para diagonalizar a los hamiltonianos, con la correspondiente transformación de la función de estado. Los valores propios del operador calculados con el hamiltoniano diagonalizado en la función de estado transformada son, por tanto, los mismos que antes.

Ejemplo de modo bosónico único

Considere la relación de conmutación canónica para los operadores bosónicos de creación y aniquilación en la base del oscilador armónico.

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$

Definir un nuevo par de operadores

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},}$

para números complejos u y v , donde este último es el conjugado hermitiano del primero.

La transformación de Bogoliubov es la transformación canónica que mapea los operadores y a y . Para encontrar las condiciones sobre las constantes u y v tales que la transformación sea canónica, se evalúa el conmutador, es decir, ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

Es entonces evidente que esa es la condición por la cual la transformación es canónica. ${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Dado que la forma de esta condición sugiere la identidad hiperbólica

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,}$

las constantes u y v se pueden parametrizar fácilmente como

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}$

Esto se interpreta como una transformación simpléctica lineal del espacio de fases . En comparación con la descomposición de Bloch-Mesías , los dos ángulos y corresponden a las transformaciones simplécticas ortogonales (es decir, rotaciones) y el factor de compresión corresponde a la transformación diagonal. ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle r}$

Aplicaciones

La aplicación más destacada es la del propio Nikolai Bogoliubov en el contexto de la superfluidez . ^{[3] [4]} Otras aplicaciones comprenden los hamiltonianos y las excitaciones en la teoría del antiferromagnetismo . ^[5] Al calcular la teoría cuántica de campos en espacios-tiempos curvos, la definición del vacío cambia y es posible una transformación de Bogoliubov entre estos diferentes vacíos. Esto se utiliza en la derivación de la radiación de Hawking . Las transformadas de Bogoliubov también se utilizan ampliamente en óptica cuántica, particularmente cuando se trabaja con unidades gaussianas (como divisores de haz, desfasadores y operaciones de compresión).

Modo fermiónico

Por las relaciones anticonmutación

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,}$

la transformación de Bogoliubov está limitada por . Por lo tanto, la única posibilidad no trivial es la correspondiente al intercambio partícula-antipartícula (o intercambio partícula-hueco en sistemas de muchos cuerpos) con la posible inclusión de un cambio de fase. Por lo tanto, para una sola partícula, la transformación sólo se puede implementar (1) para un fermión de Dirac , donde partícula y antipartícula son distintas (a diferencia de un fermión de Majorana o un fermión quiral ), o (2) para sistemas multifermiónicos, en en el que existe más de un tipo de fermión. ${\displaystyle uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1}$ ${\displaystyle u=0,|v|=1,}$

Aplicaciones

La aplicación más destacada vuelve a ser la del propio Nikolai Bogoliubov, esta vez para la teoría de la superconductividad BCS . ^{[5] [6] [7] [8]} El punto donde la necesidad de realizar una transformada de Bogoliubov se vuelve obvia es que en la aproximación de campo medio el hamiltoniano del sistema se puede escribir en ambos casos como una suma de términos bilineales en la operadores originales de creación y destrucción, que involucran términos finitos, es decir, hay que ir más allá del método habitual de Hartree-Fock . En particular, en el formalismo hamiltoniano de Bogoliubov-de Gennes de campo medio con un término de emparejamiento superconductor como , los operadores transformados de Bogoliubov aniquilan y crean cuasipartículas (cada una con energía, impulso y espín bien definidos, pero en una superposición cuántica de electrón y hueco). estado), y tienen coeficientes y están dados por vectores propios de la matriz de Bogoliubov-de Gennes. Este método también es aplicable en física nuclear , ya que puede describir la "energía de emparejamiento" de los nucleones en un elemento pesado. ^[9] ${\displaystyle \langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}}$ ${\displaystyle b,b^{\dagger }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Ejemplo multimodo

El espacio de Hilbert que estamos considerando está equipado con estos operadores y, en adelante, describe un oscilador armónico cuántico de dimensiones superiores (normalmente uno de dimensiones infinitas).

El estado fundamental del hamiltoniano correspondiente es aniquilado por todos los operadores de aniquilación:

${\displaystyle \forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.}$

Todos los estados excitados se obtienen como combinaciones lineales del estado fundamental excitados por algunos operadores de creación :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .}$

Se pueden redefinir los operadores de creación y aniquilación mediante una redefinición lineal:

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),}$

donde los coeficientes deben satisfacer ciertas reglas para garantizar que los operadores de aniquilación y los operadores de creación , definidos por la ecuación conjugada hermitiana , tengan los mismos conmutadores para bosones y anticonmutadores para fermiones. ${\displaystyle u_{ij},v_{ij}}$ ${\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}$

La ecuación anterior define la transformación de Bogoliubov de los operadores.

El estado fundamental aniquilado por todos es diferente del estado fundamental original , y pueden verse como las transformaciones de Bogoliubov entre sí utilizando la correspondencia operador-estado. También pueden definirse como estados coherentes comprimidos . La función de onda BCS es un ejemplo de estado coherente comprimido de fermiones. ^[10] ${\displaystyle a'_{i}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

Descripción de la matriz unificada

Debido a que las transformaciones de Bogoliubov son recombinación lineal de operadores, es más conveniente y revelador escribirlas en términos de transformaciones matriciales. Si un par de aniquiladores se transforman como ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

donde hay una matriz. Entonces naturalmente ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}}$

Para los operadores Fermion, el requisito de las relaciones de conmutación se refleja en dos requisitos para la forma de la matriz. ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle |u|^{2}+|v|^{2}=1}$

Para los operadores de bosones, las relaciones de conmutación requieren

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Estas condiciones se pueden escribir uniformemente como

${\displaystyle U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }}$

dónde

${\displaystyle \Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

donde se aplica a Fermiones y Bosones, respectivamente. ${\displaystyle \Gamma _{\pm }}$

Diagonalizar un hamiltoniano cuadrático usando una descripción matricial

La transformación de Bogoliubov nos permite diagonalizar un hamiltoniano cuadrático

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

simplemente diagonalizando la matriz . En las notaciones anteriores, es importante distinguir el operador y la matriz numérica . Este hecho se puede ver reescribiendo como ${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

y si y sólo si diagonaliza , es decir . ${\displaystyle \Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$ ${\displaystyle U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D}$

Las propiedades útiles de las transformaciones de Bogoliubov se enumeran a continuación.

Ver también

• Transformación de Holstein-Primakoff
• Transformación Jordan-Wigner
• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Klein

Referencias

1. Valatin, JG (marzo de 1958). "Comentarios sobre la teoría de la superconductividad". El nuevo cemento . 7 (6): 843–857. Código bibliográfico : 1958NCim....7..843V. doi :10.1007/bf02745589. S2CID  123486856.
2. Bogoljubov, NN (marzo de 1958). "Sobre un nuevo método en la teoría de la superconductividad". El nuevo cemento . 7 (6): 794–805. Código bibliográfico : 1958NCim....7..794B. doi :10.1007/bf02745585. S2CID  120718745.
3. NN Bogoliubov: Sobre la teoría de la superfluidez , J. Phys. (URSS), 11, pág. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, pág. 77 (1947)).
4. Bogolubov [sic], N. "Sobre la teoría de la superfluidez" (PDF) . Avances de las Ciencias Físicas . Instituto de Física Lebedev . Consultado el 27 de abril de 2017 .
5. Véase, por ejemplo, el libro de texto de Charles Kittel : Teoría cuántica de sólidos , Nueva York, Wiley 1987.
6. Boboliubov, NN (1 de enero de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad. I". Física Soviética (URSS) JETP . 7 (1): 41–46.
7. Bogoliubov, NN (julio de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad III" (PDF) . Física Soviética (URSS) JETP . 34 (7): 51–55. Archivado desde el original (PDF) el 27 de julio de 2020 . Consultado el 27 de abril de 2017 .
8. Bogolyubov, NN; Tolmachev, VV; Shirkov, DV (noviembre de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad". Fortschritte der Physik . 6 (11–12): 605–682. Código bibliográfico : 1958 para Ph...6..605B. doi :10.1002/prop.19580061102.
9. Strutinsky, VM (abril de 1967). "Efectos de proyectil en masas nucleares y energías de deformación". Física Nuclear A. 95 (2): 420–442. Código bibliográfico : 1967NuPhA..95..420S. doi :10.1016/0375-9474(67)90510-6.
10. Svozil, K. (24 de diciembre de 1990). "Estados de fermiones exprimidos". Cartas de revisión física . 65 (26). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 3341–3343. Código bibliográfico : 1990PhRvL..65.3341S. doi :10.1103/physrevlett.65.3341. ISSN  0031-9007. PMID  10042844.

Otras lecturas

Todo el tema y muchas aplicaciones definidas se tratan en los siguientes libros de texto:

• Blaizot, J.-P.; Ripka, G. (1985). Teoría cuántica de sistemas finitos . Prensa del MIT. ISBN 0-262-02214-1.
• Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . Dover. ISBN 0-486-42827-3.
• Kittel, cap. (1987). Teoría cuántica de los sólidos . Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
• Wagner, M. (1986). Transformaciones Unitarias en Física del Estado Sólido . Ciencia Elsevier. ISBN 0-444-86975-1.