Operador de compresión

En física cuántica , el operador de compresión para un único modo del campo electromagnético es ^[1]

${\displaystyle {\hat {S}}(z)=\exp \left({1 \over 2}(z^{*}{\hat {a}}^{2}-z{\hat {a}}^{\dagger 2})\right),\qquad z=r\,e^{i\theta }}$

donde los operadores dentro del exponencial son los operadores de escalera . Es un operador unitario y por tanto obedece , donde está el operador identidad. ${\displaystyle S(\zeta )S^{\dagger }(\zeta )=S^{\dagger }(\zeta )S(\zeta )={\hat {1}}}$ ${\displaystyle {\hat {1}}}$

Su acción sobre los operadores de aniquilación y creación produce

${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {a}}{\hat {S}}(z)={\hat {a}}\cosh r-e^{i\theta }{\hat {a}}^{\dagger }\sinh r\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {a}}^{\dagger }{\hat {S}}(z)={\hat {a}}^{\dagger }\cosh r-e^{-i\theta }{\hat {a}}\sinh r}$

El operador de compresión es omnipresente en óptica cuántica y puede operar en cualquier estado. Por ejemplo, cuando actúa sobre el vacío, el operador que exprime produce el estado de vacío exprimido.

El operador de compresión también puede actuar sobre estados coherentes y producir estados coherentes comprimidos . El operador de compresión no conmuta con el operador de desplazamiento :

${\displaystyle {\hat {S}}(z){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z),}$

ni conmuta con los operadores de la escalera, por lo que hay que prestar mucha atención a cómo se utilizan los operadores. Sin embargo, existe una relación de trenzado simple, ^[2] ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {D}}(\gamma ),\qquad {\text{where}}\qquad \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$

La aplicación de ambos operadores anteriores sobre el vacío produce un estado comprimido desplazado:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(r)|0\rangle =|r,\alpha \rangle }$.

O estado coherente exprimido :

${\displaystyle {\hat {S}}(r){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha ,r\rangle }$.

Derivación de acción sobre el operador de creación.

Como se mencionó anteriormente, la acción del operador de compresión sobre el operador de aniquilación se puede escribir como Para derivar esta igualdad, definamos el operador (sesgado-hermitiano) , de modo que . ${\displaystyle S(z)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle S^{\dagger }(z)aS(z)=\cosh(|z|)a-{\frac {z}{|z|}}\sinh(|z|)a^{\dagger }.}$$ ${\displaystyle A\equiv (za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2})/2}$ ${\displaystyle S^{\dagger }=e^{A}}$

El lado izquierdo de la igualdad es, por tanto , . Ahora podemos hacer uso de la igualdad general que es válida para cualquier par de operadores y . Por tanto , calcular se reduce al problema de calcular los conmutadores repetidos entre y . Como se puede verificar fácilmente, tenemos Usando estas igualdades, obtenemos ${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$ $${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle [A,a]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dagger 2},a]=-za^{\dagger },}$$ $${\displaystyle [A,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{\dagger }]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dagger }]=-z^{*}a.}$$

${\displaystyle [\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{k}a,&{\text{ for }}k{\text{ even}},\\-z|z|^{k-1}a^{\dagger },&{\text{ for }}k{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

para que finalmente consigamos

${\displaystyle e^{A}ae^{-A}=a\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a^{\dagger }{\frac {z}{|z|}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}}=a\cosh |z|-a^{\dagger }e^{i\theta }\sinh |z|.}$

Ver también

• Estado coherente exprimido

Referencias

1. Gerry, CC y Knight, PL (2005). Introducción a la óptica cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 182.ISBN​ 978-0-521-52735-4.
2. MM Nieto y D. Truax (1995), Nieto, Michael Martín; Truax, D. Rodney (1997). "Transformaciones de Holstein-Primakoff/Bogoliubov y el sistema multibosón". Fortschritte der Physik/Progreso de la Física . 45 (2): 145-156. arXiv : quant-ph/9506025 . doi :10.1002/prop.2190450204. S2CID  14213781.Ec. (15). Tenga en cuenta que en esta referencia, la definición del operador de compresión (ecuación 12) difiere por un signo menos dentro de la exponencial, por lo tanto, la expresión de se modifica en consecuencia ( ). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\pi }$