En geometría , un icosidodecaedro truncado , icosidodecaedro rombitruncado , [1] gran rombicosidodecaedro , [2] [3] dodecaedro omnitruncado o icosaedro omnitruncado [4] es un sólido de Arquímedes , uno de trece sólidos convexos , isogonales y no prismáticos construidos por dos o Más tipos de caras de polígonos regulares .
Tiene 62 caras: 30 cuadrados , 20 hexágonos regulares y 12 decágonos regulares . Tiene la mayor cantidad de aristas y vértices de todos los sólidos platónicos y de Arquímedes, aunque el dodecaedro chato tiene más caras. De todos los poliedros transitivos por vértices, ocupa el mayor porcentaje (89,80%) del volumen de una esfera en la que está inscrito , superando por muy poco al dodecaedro chato (89,63%) y al pequeño rombicosidodecaedro (89,23%), y en menor medida. el icosaedro truncado (86,74%); también tiene, con diferencia, el mayor volumen (206,8 unidades cúbicas) cuando la longitud de su arista es igual a 1. De todos los poliedros transitivos por vértices que no son prismas ni antiprismas , tiene la mayor suma de ángulos (90 + 120 + 144 = 354 grados) en cada vértice; sólo un prisma o antiprisma con más de 60 lados tendría una suma mayor. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual (equivalentemente, simetría rotacional de 180° ), el icosidodecaedro truncado es un zonoedro de 15 ° .
El nombre gran rombicosidodecaedro se refiere a la relación con el (pequeño) rombicosidodecaedro (compárese con la sección Disección).
Existe un poliedro uniforme no convexo con un nombre similar, el gran rombicosidodecaedro no convexo .
El área de superficie A y el volumen V del icosidodecaedro truncado de longitud de borde a son: [ cita necesaria ]
Si se construyera un conjunto de los 13 sólidos de Arquímedes con todas las longitudes de los bordes iguales, el icosidodecaedro truncado sería el más grande.
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un icosidodecaedro truncado con una longitud de arista 2 φ − 2, centrado en el origen, son todas las permutaciones pares de: [5]
donde φ = 1 + √ 5/2 es la proporción áurea .
El icosidodecaedro truncado es la cáscara convexa de un rombicosidodecaedro con cuboides por encima de sus 30 cuadrados, cuya relación altura-base es φ . El resto de su espacio se puede diseccionar en cúpulas no uniformes, concretamente 12 entre pentágonos interiores y decágonos exteriores y 20 entre triángulos interiores y hexágonos exteriores .
Una disección alternativa también tiene un núcleo rombicosidodecaédrico. Tiene 12 rotondas pentagonales entre pentágonos interiores y decágonos exteriores. La parte restante es un poliedro toroidal .
El icosidodecaedro truncado tiene siete proyecciones ortogonales especiales , centradas en un vértice, sobre tres tipos de aristas, y tres tipos de caras: cuadrada, hexagonal y decagonal. Los dos últimos corresponden a los aviones A 2 y H 2 de Coxeter .
El icosidodecaedro truncado también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Los diagramas de Schlegel son similares, con una proyección en perspectiva y bordes rectos.
Dentro de la simetría icosaédrica existen ilimitadas variaciones geométricas del icosidodecaedro truncado con caras isogonales . El dodecaedro truncado , el rombicosidodecaedro y el icosaedro truncado como casos límite degenerados.
En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico icosidodecaédrico truncado (o gran gráfico rombicosidodecaédrico ) es la gráfica de vértices y aristas del icosidodecaedro truncado, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 120 vértices y 180 aristas, y es un gráfico de Arquímedes cúbico y simétrico cero . [6]
Este poliedro puede considerarse miembro de una secuencia de patrones uniformes con figura de vértice (4.6.2 p ) y diagrama de Coxeter-Dynkin. 
. Para p <6, los miembros de la secuencia son poliedros omnitruncados ( zonoedros ), que se muestran a continuación como mosaicos esféricos. Para p > 6, son mosaicos del plano hiperbólico, comenzando con el mosaico triheptagonal truncado .
