Cúpula triangular

Cúpula con base hexagonal

En geometría , la cúpula triangular es la cúpula que tiene un hexágono como base y un triángulo como vértice. Si los bordes tienen la misma longitud, la cúpula triangular es el sólido de Johnson. Puede verse como la mitad de un cuboctaedro . La cúpula triangular se puede utilizar para construir muchos poliedros.

Propiedades

La cúpula triangular tiene 4 triángulos , 3 cuadrados y 1 hexágono como caras; el hexágono es la base y uno de los cuatro triángulos es la parte superior. Si todas las aristas tienen la misma longitud, los triángulos y el hexágono se vuelven regulares . ^{[1] [2]} El ángulo diedro entre cada triángulo y el hexágono es de aproximadamente 70,5°, el que hay entre cada cuadrado y el hexágono es de 54,7° y el que hay entre el cuadrado y el triángulo es de 125,3°. ^[3] Un poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es un sólido de Johnson , y la cúpula triangular está entre ellos, enumerado como el tercer sólido de Johnson . ^[2] ${\displaystyle J_{3}}$

Dado que es la longitud del borde de una cúpula triangular, su área de superficie se puede calcular sumando el área de cuatro triángulos equiláteros, tres cuadrados y un hexágono: ^[1] Su altura y volumen son: ^{[4] [1]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}}$$

Modelo 3D de una cúpula triangular

Tiene un eje de simetría que pasa por el centro de su parte superior y de su base, que es simétrico al girar a su alrededor en un ángulo de uno y dos tercios de un giro completo. También es simétrico en espejo con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base hexagonal. Por lo tanto, tiene simetría piramidal , el grupo cíclico de orden 6. ^[3] ${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$

Poliedros relacionados

La cúpula triangular se puede encontrar en la construcción de muchos poliedros. Un ejemplo es el cuboctaedro en el que la cúpula triangular puede considerarse como su hemisferio. ^[5] Una construcción que implica la unión de su base a otro poliedro se conoce como aumento ; unirlo a prismas o antiprismas se conoce como elongación o giroelongación . ^{[6] [7]} Algunos de los otros sólidos de Johnson construidos de esta manera son la cúpula triangular alargada , la cúpula triangular giroelongada , la ortobicúpula triangular , la ortobicúpula triangular alargada , la girobicúpula triangular alargada , la bicúpula triangular giroelongada y el tetraedro truncado aumentado . ^[8] ${\displaystyle J_{18}}$ ${\displaystyle J_{22}}$ ${\displaystyle J_{27}}$ ${\displaystyle J_{35}}$ ${\displaystyle J_{36}}$ ${\displaystyle J_{44}}$ ${\displaystyle J_{65}}$

La cúpula triangular también puede ser utilizada para construir un tetraedro truncado , aunque deja algunos huecos y un tetraedro regular como su interior. Cundy (1956) construyó este poliedro de manera similar al dodecaedro rómbico, construido uniendo seis pirámides cuadradas hacia afuera, cada una de cuyos vértices están en el centro del cubo . Dicho esto, este tetraedro truncado se construye uniendo cuatro cúpulas triangulares rectángulo por rectángulo; aquellas cúpulas en las que los lados alternos de ambos triángulos isósceles rectángulos y rectángulos tienen las aristas en términos de razón . El octaedro truncado se puede construir uniendo ocho de esas mismas cúpulas triangulares triángulo por triángulo. ^[9] ${\textstyle 1:{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Referencias

1. Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
2. Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Springer. pág. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. Número de identificación del sujeto  220150682.
3. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos con caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
4. Sapiña, R. "Área y volumen del sólido de Johnson J 3 {\displaystyle J_ {3}}". Problemas y Ecuaciones (en español). ISSN  2659-9899 . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
5. Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Cambridge University Press . pág. 86. ISBN. 978-0-521-55432-9.
6. Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). "Distancia lógica y geométrica en diagramas aristotélicos poliédricos en la representación del conocimiento". Simetría . 9 (10): 204. Bibcode :2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
7. Slobodan, Mišić; Obradovic, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). "Cúpulas cóncavas compuestas como formas geométricas y arquitectónicas" (PDF) . Revista de Geometría y Gráfica . 19 (1): 79–91.
8. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert. Textos y lecturas de matemáticas. Hindustan Book Agency. pág. 84-89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
9. Cundy, H. Martyn (1956). "2642. Construcción unitaria de ciertos poliedros". The Mathematical Gazette . 40 (234): 280–282. doi :10.2307/3609622. JSTOR  3609622.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Cúpula triangular" ("sólido de Johnson") en MathWorld .