Conjunto generador de un grupo

Concepto de álgebra abstracta

Las raíces quintas de la unidad en el plano complejo forman un grupo bajo la multiplicación. Cada elemento no idéntico genera el grupo.

En álgebra abstracta , un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto del grupo tal que cada elemento del grupo puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos .

En otras palabras, si es un subconjunto de un grupo , entonces , el subgrupo generado por , es el subgrupo más pequeño de que contiene cada elemento de , que es igual a la intersección sobre todos los subgrupos que contienen los elementos de ; equivalentemente, es el subgrupo de todos los elementos de que puede expresarse como el producto finito de los elementos en y sus inversos. (Tenga en cuenta que los inversos solo son necesarios si el grupo es infinito; en un grupo finito, el inverso de un elemento puede expresarse como una potencia de ese elemento). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Si , entonces decimos que genera , y los elementos en se llaman generadores o generadores de grupo . Si es el conjunto vacío, entonces es el grupo trivial , ya que consideramos que el producto vacío es la identidad. ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle \{e\}}$

Cuando sólo hay un único elemento en , se suele escribir como . En este caso, es el subgrupo cíclico de las potencias de , un grupo cíclico , y decimos que este grupo es generado por . Equivale a decir que un elemento genera un grupo es decir que es igual a todo el grupo . Para grupos finitos , también es equivalente a decir que tiene orden . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |G|}$

Un grupo puede necesitar un número infinito de generadores. Por ejemplo, el grupo aditivo de los números racionales no es finitamente generado. Es generado por los inversos de todos los números enteros, pero cualquier número finito de estos generadores puede eliminarse del conjunto generador sin que deje de ser un conjunto generador. En un caso como este, todos los elementos de un conjunto generador son, no obstante, "elementos no generadores", como lo son, de hecho, todos los elementos de todo el grupo (véase el subgrupo de Frattini más adelante). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es un grupo topológico , entonces un subconjunto de se denomina conjunto de generadores topológicos si es denso en , es decir, el cierre de es todo el grupo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$

Grupo finitamente generado

Si es finito, entonces un grupo se llama finitamente generado . La estructura de los grupos abelianos finitamente generados en particular se describe fácilmente. Muchos teoremas que son verdaderos para grupos finitamente generados fallan para grupos en general. Se ha demostrado que si un grupo finito es generado por un subconjunto , entonces cada elemento del grupo puede expresarse como una palabra del alfabeto de longitud menor o igual que el orden del grupo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Todo grupo finito se genera finitamente porque . Los números enteros bajo la adición son un ejemplo de un grupo infinito que se genera finitamente tanto por 1 como por −1, pero el grupo de racionales bajo la adición no se puede generar finitamente. Ningún grupo incontable se puede generar finitamente. Por ejemplo, el grupo de números reales bajo la adición, . ${\displaystyle \langle G\rangle =G}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

Diferentes subconjuntos de un mismo grupo pueden ser subconjuntos generadores. Por ejemplo, si y son números enteros con mcd ( p ,  q ) = 1 , entonces también genera el grupo de números enteros bajo adición por la identidad de Bézout . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$

Si bien es cierto que cada cociente de un grupo finitamente generado es finitamente generado (las imágenes de los generadores en el cociente dan un conjunto generador finito), un subgrupo de un grupo finitamente generado no necesita ser finitamente generado. Por ejemplo, sea el grupo libre en dos generadores, y (que claramente es finitamente generado, ya que ), y sea el subconjunto que consiste en todos los elementos de de la forma para algún número natural . es isomorfo al grupo libre en un número infinito de generadores numerables, y por lo tanto no puede ser finitamente generado. Sin embargo, cada subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es en sí mismo finitamente generado. De hecho, se puede decir más: la clase de todos los grupos finitamente generados está cerrada bajo extensiones . Para ver esto, tome un conjunto generador para el subgrupo normal (finitamente generado) y el cociente. Entonces los generadores para el subgrupo normal, junto con preimágenes de los generadores para el cociente, generan el grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

Ejemplos

• El grupo multiplicativo de los números enteros módulo 9 , U ₉  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} , es el grupo de todos los números enteros primos entre sí con 9 bajo la multiplicación módulo  9. Nótese que 7 no es un generador de U ₉ , ya que mientras que 2 sí lo es, ya que
    ${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$
  
    ${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$

• Por otra parte, S _n , el grupo simétrico de grado n , no es generado por ningún elemento (no es cíclico ) cuando n > 2. Sin embargo, en estos casos S _n siempre puede ser generado por dos permutaciones que se escriben en notación cíclica como (1 2) y (1 2 3 ...  n ) . Por ejemplo, los 6 elementos de S ₃ pueden generarse a partir de los dos generadores, (1 2) y (1 2 3), como lo muestra el lado derecho de las siguientes ecuaciones (la composición es de izquierda a derecha):

y = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• Los grupos infinitos también pueden tener conjuntos generadores finitos. El grupo aditivo de los números enteros tiene como conjunto generador al 1. El elemento 2 no es un conjunto generador, ya que faltarán los números impares. El subconjunto de dos elementos {3, 5} es un conjunto generador, ya que (−5) + 3 + 3 = 1 (de hecho, cualquier par de números coprimos lo es, como consecuencia de la identidad de Bézout ).

• El grupo diedro de un n-gono (que tiene orden 2n ) es generado por el conjunto { r , s } , donde r representa la rotación por 2 π / n y s es cualquier reflexión a través de una línea de simetría. ^[1]

• El grupo cíclico de orden , , y las raíces ^ésimas de la unidad son todos generados por un solo elemento (de hecho, estos grupos son isomorfos entre sí). ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

• Una presentación de un grupo se define como un conjunto de generadores y una colección de relaciones entre ellos, por lo que cualquiera de los ejemplos enumerados en esa página contiene ejemplos de conjuntos generadores. ^[3]

Grupo libre

El grupo más general generado por un conjunto es el grupo libremente generado por . Todo grupo generado por es isomorfo a un cociente de este grupo, característica que se utiliza en la expresión de la presentación de un grupo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Subgrupo Frattini

Un tema complementario interesante es el de los no generadores . Un elemento del grupo es un no generador si cada conjunto que contiene que genera , sigue generando cuando se lo elimina de . En los números enteros con adición, el único no generador es 0. El conjunto de todos los no generadores forma un subgrupo de , el subgrupo de Frattini . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$

Semigrupos y monoides

Si es un semigrupo o un monoide , todavía se puede utilizar la noción de conjunto generador de . es un conjunto generador de semigrupo/monoide de si es el semigrupo/monoide más pequeño que contiene . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Las definiciones de conjunto generador de un grupo que utiliza sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse ligeramente cuando se trata de semigrupos o monoides. De hecho, esta definición ya no debería utilizar la noción de operación inversa. Se dice que el conjunto es un conjunto generador de semigrupo de si cada elemento de es una suma finita de elementos de . De manera similar, se dice que un conjunto es un conjunto generador de monoide de si cada elemento distinto de cero de es una suma finita de elementos de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Por ejemplo, {1} es un generador de monoides del conjunto de números naturales . El conjunto {1} es también un generador de semigrupos de los números naturales positivos . Sin embargo, el entero 0 no se puede expresar como una suma (no vacía) de 1, por lo que {1} no es un generador de semigrupos de los números naturales. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$

De manera similar, si bien {1} es un generador de grupos del conjunto de números enteros , {1} no es un generador de monoides del conjunto de números enteros. De hecho, el número entero −1 no puede expresarse como una suma finita de unos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Véase también

• Conjunto generador de significados relacionados en otras estructuras
• Presentación de un grupo
• Elemento primitivo (campo finito)
• Gráfico de Cayley

Notas

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley. pág. 25. ISBN 9780471452348.OCLC 248917264  .
2. Dummit y Foote 2004, pág. 54
3. Dummit y Foote 2004, pág. 26

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Springer. ISBN 0-387-09212-9.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Generadores de grupos". MathWorld .