gas bosé

Estado de la materia de muchos bosones.

Un gas de Bose ideal es una fase mecánico-cuántica de la materia , análoga a un gas ideal clásico . Está compuesto por bosones , que tienen un valor entero de espín y se rigen por las estadísticas de Bose-Einstein . La mecánica estadística de los bosones fue desarrollada por Satyendra Nath Bose para un gas fotónico y extendida a partículas masivas por Albert Einstein , quien se dio cuenta de que un gas ideal de bosones formaría un condensado a una temperatura suficientemente baja, a diferencia de un gas ideal clásico. Este condensado se conoce como condensado de Bose-Einstein .

Introducción y ejemplos

Los bosones son partículas de mecánica cuántica que siguen las estadísticas de Bose-Einstein , o equivalentemente, que poseen espín entero . Estas partículas se pueden clasificar en elementales: se trata del bosón de Higgs , el fotón , el gluón , el W/Z y el hipotético gravitón ; o compuestos como el átomo de hidrógeno , el átomo de ¹⁶ O , el núcleo de deuterio , mesones , etc. Además, algunas cuasipartículas en sistemas más complejos también pueden considerarse bosones como los plasmones (cuantos de ondas de densidad de carga ).

El primer modelo que trató un gas con varios bosones, fue el gas fotón , un gas de fotones, desarrollado por Bose . Este modelo permite comprender mejor la ley de Planck y la radiación del cuerpo negro . El gas fotónico se puede expandir fácilmente a cualquier tipo de conjunto de bosones sin masa que no interactúen. El gas fonón , también conocido como modelo de Debye , es un ejemplo en el que los modos normales de vibración de la red cristalina de un metal pueden tratarse como bosones efectivos sin masa. Peter Debye utilizó el modelo de fonones gaseosos para explicar el comportamiento de la capacidad calorífica de los metales a baja temperatura.

Un ejemplo interesante de gas Bose es un conjunto de átomos de helio-4 . Cuando un sistema de ⁴ átomos de He se enfría a una temperatura cercana al cero absoluto , están presentes muchos efectos de la mecánica cuántica. Por debajo de 2,17 kelvin , el conjunto comienza a comportarse como un superfluido , un fluido con una viscosidad casi nula . El gas Bose es el modelo cuantitativo más simple que explica esta transición de fase . Principalmente cuando un gas de bosones se enfría, forma un condensado de Bose-Einstein , un estado en el que una gran cantidad de bosones ocupan la energía más baja, el estado fundamental , y los efectos cuánticos son macroscópicamente visibles como la interferencia de ondas .

La teoría de los condensados ​​de Bose-Einstein y los gases de Bose también puede explicar algunas características de la superconductividad donde los portadores de carga se acoplan en pares ( pares de Cooper ) y se comportan como bosones. Como resultado, los superconductores se comportan como si no tuvieran resistividad eléctrica a bajas temperaturas.

El modelo equivalente para partículas semienteros (como electrones o átomos de helio-3 ), que siguen las estadísticas de Fermi-Dirac , se llama gas Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ). Con una densidad de número de partículas suficientemente baja y una temperatura alta, tanto el gas Fermi como el gas Bose se comportan como un gas ideal clásico . ^[1]

Límite macroscópico

La termodinámica de un gas de Bose ideal se calcula mejor utilizando el gran conjunto canónico . El gran potencial de un gas Bose viene dado por:

${\displaystyle \Omega =-\ln({\mathcal {Z}})=\sum _{i}g_{i}\ln \left(1-ze^{-\beta \epsilon _{i}}\right).}$

donde cada término de la suma corresponde a un nivel de energía particular de una sola partícula ε _i  ; g _i  es el número de estados con energía ε _i  ; z  es la actividad absoluta (o "fugacidad"), que también puede expresarse en términos del potencial químico μ definiendo:

${\displaystyle z(\beta ,\mu )=e^{\beta \mu }}$

y β definido como:

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$

donde k _B  es la constante de Boltzmann y T  es la temperatura . Todas las cantidades termodinámicas pueden derivarse del gran potencial y consideraremos que todas las cantidades termodinámicas son funciones de sólo las tres variables z ,  β ( o T  ) y V. Todas las derivadas parciales se toman con respecto a una de estas tres variables mientras las otras dos se mantienen constantes.

El rango permitido de z es desde infinito negativo hasta +1, ya que cualquier valor más allá de este daría un número infinito de partículas a estados con un nivel de energía de 0 (se supone que los niveles de energía se han compensado de modo que el nivel de energía más bajo es 0).

Límite macroscópico, resultado para fracción no condensada

Curvas de presión vs temperatura de gases ideales clásicos y cuánticos ( gas Fermi , gas Bose) en tres dimensiones. La presión del gas Bose es más baja que la de un gas clásico equivalente, especialmente por debajo de la temperatura crítica (marcada con ★), donde las partículas comienzan a moverse en masa hacia la fase condensada de presión cero.

Siguiendo el procedimiento descrito en el artículo sobre el gas en una caja , podemos aplicar la aproximación de Thomas-Fermi , que supone que la energía promedio es grande en comparación con la diferencia de energía entre niveles, de modo que la suma anterior puede reemplazarse por una integral. Este reemplazo da la función de gran potencial macroscópico , que es cercana a : ${\displaystyle \Omega _{m}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{\rm {m}}=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg\approx \Omega .}$

La degeneración dg  puede expresarse para muchas situaciones diferentes mediante la fórmula general:

${\displaystyle dg={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\,{\frac {E^{\,\alpha -1}}{E_{\rm {c}}^{\alpha }}}~dE}$

donde α es una constante, E _c es una energía crítica y Γ es la función Gamma . Por ejemplo, para un gas Bose masivo en una caja, α =3/2 y la energía crítica viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}}$

donde Λ es la longitud de onda térmica , ^{[ se necesita aclaración ]} y f es un factor de degeneración ( f =1 para bosones simples sin espín). Para un gas Bose masivo en una trampa armónica tendremos α =3 y la energía crítica viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}}$

donde V(r)=mω ² r ² /2  es el potencial armónico. Se ve que E _c  es función únicamente del volumen.

Esta expresión integral para el gran potencial se evalúa como:

${\displaystyle \Omega _{\rm {m}}=-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{c}\right)^{\alpha }}},}$

donde Li _s ( x ) es la función polilogaritmo .

El problema con esta aproximación continua para un gas Bose es que el estado fundamental ha sido efectivamente ignorado, dando una degeneración de cero para energía cero. Esta inexactitud se vuelve grave cuando se trata del condensado de Bose-Einstein y se abordará en las siguientes secciones. Como se verá, incluso a bajas temperaturas el resultado anterior sigue siendo útil para describir con precisión la termodinámica sólo de la porción no condensada del gas.

Límite del número de partículas en fase no condensada, temperatura crítica

El número total de partículas se encuentra a partir del gran potencial mediante

${\displaystyle N_{\rm {m}}=-z{\frac {\partial \Omega _{m}}{\partial z}}={\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}.}$

Esto aumenta monótonamente con z (hasta el máximo z = +1). Sin embargo, el comportamiento cuando se aproxima z = 1 depende crucialmente del valor de α (es decir, depende de si el gas es 1D, 2D, 3D, si está en un pozo de potencial plano o armónico).

Para α > 1, el número de partículas sólo aumenta hasta un valor máximo finito, es decir, es finito en z = 1: ${\displaystyle N_{\rm {m}}}$

${\displaystyle N_{\rm {m,max}}={\frac {\zeta (\alpha )}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}},}$

donde ζ ( α ) es la función zeta de Riemann (usando Li _α ( 1 ) = ζ ( α )). Así, para un número fijo de partículas , _el mayor valor posible que puede tener β es un valor crítico βc . Esto corresponde a una temperatura crítica T _c = 1/ k _B β _c , por debajo de la cual la aproximación de Thomas-Fermi se desmorona (el continuo de estados simplemente ya no puede soportar tantas partículas, a temperaturas más bajas). La ecuación anterior se puede resolver para la temperatura crítica: ${\displaystyle N_{\rm {m}}}$

${\displaystyle T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{\zeta (\alpha )}}\right)^{1/\alpha }{\frac {E_{\rm {c}}}{k_{\rm {B}}}}}$

Por ejemplo, para el gas Bose tridimensional en una caja ( y usando el valor de ) indicado anteriormente obtenemos: ${\displaystyle \alpha =3/2}$ ${\textstyle E_{\rm {c}}}$

${\displaystyle T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{Vf\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{\rm {B}}}}}$

Para α ≤ 1, no hay límite superior en el número de partículas ( diverge cuando z se acerca a 1) y, por lo tanto, por ejemplo, para un gas en una caja uni o bidimensional ( y respectivamente) no hay temperatura crítica. ${\displaystyle N_{\rm {m}}}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Inclusión del estado fundamental.

El problema anterior plantea la pregunta para α > 1: si un gas Bose con un número fijo de partículas se reduce por debajo de la temperatura crítica, ¿qué sucede? El problema aquí es que la aproximación de Thomas-Fermi ha fijado la degeneración del estado fundamental en cero, lo cual es incorrecto. No existe un estado fundamental que acepte el condensado y, por lo tanto, las partículas simplemente "desaparecen" del continuo de estados. Resulta, sin embargo, que la ecuación macroscópica da una estimación precisa del número de partículas en los estados excitados, y no es una mala aproximación simplemente "añadir" un término de estado fundamental para aceptar las partículas que caen del estado excitado. continuo:

${\displaystyle N=N_{0}+N_{\rm {m}}=N_{0}+{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}}$

donde N ₀ es el número de partículas en el condensado en estado fundamental.

Así, en el límite macroscópico, cuando T < T _c , el valor de z se fija en 1 y N ₀ ocupa el resto de las partículas. Para T > T _c existe el comportamiento normal, con N ₀ = 0. Este enfoque da la fracción de partículas condensadas en el límite macroscópico:

${\displaystyle {\frac {N_{0}}{N}}={\begin{cases}1-\left({\frac {T}{T_{\rm {c}}}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >1{\mbox{ and }}T<T_{\rm {c}},\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

Limitaciones del modelo macroscópico de gas de Bose

El tratamiento estándar anterior de un gas Bose macroscópico es sencillo, pero la inclusión del estado fundamental es algo poco elegante. Otro enfoque es incluir el estado fundamental explícitamente (aportando un término en el gran potencial, como en la sección siguiente), esto da lugar a una catástrofe de fluctuación poco realista: el número de partículas en cualquier estado dado sigue una distribución geométrica , lo que significa que cuando la condensación ocurre en T < T _c y la mayoría de las partículas están en un estado, existe una gran incertidumbre en el número total de partículas. Esto está relacionado con el hecho de que la compresibilidad se vuelve ilimitada para T < T _c . En cambio, los cálculos se pueden realizar en el conjunto canónico , que fija el número total de partículas; sin embargo, los cálculos no son tan fáciles. ^[2]

Sin embargo, en la práctica, el error teórico antes mencionado es un problema menor, ya que la suposición menos realista es la de la no interacción entre bosones. Las realizaciones experimentales de los gases bosónicos siempre tienen interacciones significativas, es decir, son gases no ideales. Las interacciones cambian significativamente la física del comportamiento de un condensado de bosones: el estado fundamental se expande, el potencial químico se satura a un valor positivo incluso a temperatura cero y el problema de fluctuación desaparece (la compresibilidad se vuelve finita). ^[3] Véase el artículo Condensado de Bose-Einstein.

Comportamiento aproximado en gases pequeños.

Figura 1: Varios parámetros del gas Bose en función de la temperatura normalizada τ. El valor de α es 3/2. Las líneas continuas son para N=10 000, las líneas de puntos son para N=1000. Las líneas negras son la fracción de partículas excitadas, las azules son la fracción de partículas condensadas. El negativo del potencial químico μ se muestra en rojo y las líneas verdes son los valores de z. Se ha supuesto que k =ε _c =1.

Para sistemas más pequeños, mesoscópicos (por ejemplo, con solo miles de partículas), el término del estado fundamental se puede aproximar más explícitamente agregando un nivel discreto real con energía ε = 0 en el gran potencial:

${\displaystyle \Omega =g_{0}\ln(1-z)+\Omega _{\rm {m}}}$

que da en su lugar . Ahora bien, el comportamiento es suave al cruzar la temperatura crítica, y z se aproxima mucho a 1 pero no lo alcanza. ${\displaystyle N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}}$

Esto ahora se puede resolver hasta el cero absoluto de temperatura. La Figura 1 muestra los resultados de la solución de esta ecuación para α =3/2, con k = ε _c =1 que corresponde a un gas de bosones en una caja . La línea negra continua es la fracción de estados excitados 1-N ₀ /N  para N  =10 000 y la línea negra punteada es la solución para N  =1000. Las líneas azules son la fracción de partículas condensadas N ₀ /N.  Las líneas rojas trazan los valores del negativo del potencial químico μ y las líneas verdes trazan los valores correspondientes de z  . El eje horizontal es la temperatura normalizada τ definida por

${\displaystyle \tau ={\frac {T}{T_{\rm {c}}}}}$

Se puede observar que cada uno de estos parámetros se vuelve lineal en τ ^α en el límite de baja temperatura y, excepto el potencial químico, lineal en 1/τ ^α en el límite de alta temperatura. A medida que aumenta el número de partículas, las fracciones condensadas y excitadas tienden a una discontinuidad a la temperatura crítica.

La ecuación para el número de partículas se puede escribir en términos de la temperatura normalizada como:

${\displaystyle N={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}+N~{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{\zeta (\alpha )}}~\tau ^{\alpha }}$

Para N  y τ dados , esta ecuación se puede resolver para τ ^α y luego se puede encontrar una solución en serie para z  mediante el método de inversión de series, ya sea en potencias de τ ^α o como una expansión asintótica en potencias inversas de τ ^α . A partir de estas expansiones, podemos encontrar el comportamiento del gas cerca de T = 0 y en Maxwell-Boltzmann cuando T  se acerca al infinito. En particular, estamos interesados ​​en el límite cuando N  tiende al infinito, que puede determinarse fácilmente a partir de estas expansiones.

Sin embargo, este enfoque para modelar sistemas pequeños puede ser poco realista, ya que la variación en el número de partículas en el estado fundamental es muy grande, igual al número de partículas. Por el contrario, la varianza del número de partículas en un gas normal es sólo la raíz cuadrada del número de partículas, por lo que normalmente puede ignorarse. Esta alta variación se debe a la elección de utilizar el gran conjunto canónico para todo el sistema, incluido el estado de condensado. ^[4]

Termodinámica

Ampliado, el gran potencial es:

${\displaystyle \Omega =g_{0}\ln(1-z)-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{\rm {c}}\right)^{\alpha }}}}$

Todas las propiedades termodinámicas se pueden calcular a partir de este potencial. La siguiente tabla enumera varias cantidades termodinámicas calculadas en el límite de baja temperatura y alta temperatura, y en el límite de número infinito de partículas. Un signo igual (=) indica un resultado exacto, mientras que un símbolo de aproximación indica que solo se muestran los primeros términos de una serie . ${\displaystyle \tau ^{\alpha }}$

Se ve que todas las cantidades se acercan a los valores de un gas ideal clásico en el límite de alta temperatura. Los valores anteriores se pueden utilizar para calcular otras cantidades termodinámicas. Por ejemplo, la relación entre la energía interna y el producto de la presión y el volumen es la misma que para un gas ideal clásico en todas las temperaturas:

${\displaystyle U={\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}=\alpha PV}$

Una situación similar se cumple para el calor específico a volumen constante.

${\displaystyle C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}}=k_{\rm {B}}(\alpha +1)\,U\beta }$

La entropía viene dada por:

${\displaystyle TS=U+PV-G\,}$

Tenga en cuenta que en el límite de alta temperatura, tenemos

${\displaystyle TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha }}{\zeta (\alpha )}}\right)}$

lo cual, para α =3/2 es simplemente una reformulación de la ecuación de Sackur-Tetrode . En una dimensión, los bosones con interacción delta se comportan como fermiones, obedecen al principio de exclusión de Pauli . En una dimensión , Bethe ansatz puede resolver exactamente el gas Bose con la interacción delta . Chen-Ning Yang calculó la energía libre masiva y los potenciales termodinámicos . En el caso unidimensional también se evaluaron funciones de correlación. ^[5] En una dimensión, el gas Bose es equivalente a la ecuación cuántica no lineal de Schrödinger .

Ver también

• Gas Tonks-Girardeau

Referencias

1. Schwabl, Franz (9 de marzo de 2013). Mecánica estadística. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-04702-6.
2. Tarasov, SV; Kocharovsky, Vl. V.; Kocharovsky, VV (7 de septiembre de 2015). "Gran conjunto canónico versus canónico: estructura universal de estadística y termodinámica en una región crítica de la condensación de Bose-Einstein de un gas ideal en una trampa arbitraria". Revista de Física Estadística . Springer Science y Business Media LLC. 161 (4): 942–964. Código Bib : 2015JSP...161..942T. doi :10.1007/s10955-015-1361-3. ISSN  0022-4715. S2CID  118614846.
3. Yukalov, VI (1 de marzo de 2005). "Fluctuaciones del número de partículas en sistemas con condensado de Bose-Einstein". Letras de Física Láser . 2 (3): 156–161. arXiv : cond-mat/0504473 . Código Bib : 2005LaPhL...2..156Y. doi :10.1002/lapl.200410157. ISSN  1612-2011. S2CID  119073938.
4. Mullin, WJ; Fernández, JP (2003). "Condensación de Bose-Einstein, fluctuaciones y relaciones de recurrencia en mecánica estadística". Revista Estadounidense de Física . 71 (7): 661–669. arXiv : cond-mat/0211115 . Código bibliográfico : 2003AmJPh..71..661M. doi :10.1119/1.1544520. ISSN  0002-9505. S2CID  949741.
5. Korepin, VE; Bogoliubov, Nuevo México; Izergin, AG (6 de marzo de 1997). Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521586467.

Referencias generales

• Huang, Kerson (1967). Mecánica estadística . Nueva York: John Wiley and Sons.
• Isihara, A. (1971). Física Estadística . Nueva York: Academic Press.
• Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Física estadística, tercera edición, parte 1 . Oxford: Butterworth-Heinemann.
• Pethick, CJ; H. Smith (2004). Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Yan, Zijun (2000). «Longitud de Onda Térmica General y sus Aplicaciones» (PDF) . EUR. J. Física . 21 (6): 625–631. Código Bib : 2000EJPh...21..625Y. doi :10.1088/0143-0807/21/6/314. S2CID  250870934.