Flujo arremolinado de Von Kármán

Flujo creado por un disco de placa infinitamente largo que gira de manera uniforme

El flujo en remolino de von Kármán es un flujo creado por un disco plano infinitamente largo que gira de manera uniforme, llamado así por Theodore von Kármán, quien resolvió el problema en 1921. ^[1] El disco giratorio actúa como una bomba de fluido y se utiliza como modelo para ventiladores centrífugos o compresores. Este flujo se clasifica dentro de la categoría de flujos estables en los que la vorticidad generada en una superficie sólida no se difunde lejos por una convección opuesta; los otros ejemplos son la capa límite de Blasius con succión, el flujo de punto de estancamiento , etc.

Descripción del flujo

Consideremos un disco plano de radio infinito que gira a una velocidad angular constante en un fluido que inicialmente está en reposo en todas partes. Cerca de la superficie, el fluido gira por el disco, debido a la fricción, que luego provoca fuerzas centrífugas que mueven el fluido hacia afuera. Este movimiento radial hacia afuera del fluido cerca del disco debe ir acompañado de un movimiento axial hacia adentro del fluido hacia el disco para conservar la masa. Theodore von Kármán ^[1] notó que las ecuaciones gobernantes y las condiciones de contorno permiten una solución tal que y son funciones de solo, donde son los componentes de velocidad en la coordenada cilíndrica con siendo el eje de rotación y representa el disco plano. Debido a la simetría, la presión del fluido puede depender solo de la coordenada radial y axial . Entonces, la ecuación de continuidad y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se reducen a ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u/r,v/r}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle p=p(r,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2u}{r}}+{\frac {dw}{dz}}=0\\[8pt]&\left({\frac {u}{r}}\right)^{2}-\left({\frac {v}{r}}\right)^{2}+w{\frac {d(u/r)}{dz}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu {\frac {d^{2}(u/r)}{dz^{2}}}\\[8pt]&{\frac {2uv}{r^{2}}}+w{\frac {d(v/r)}{dz}}=\nu {\frac {d^{2}(v/r)}{dz^{2}}}\\[8pt]&w{\frac {dw}{dz}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+\nu {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {p}{\rho }}=\nu {\frac {dw}{dz}}-{\frac {1}{2}}w^{2}+f(r)\end{aligned}}}$

¿Dónde está la viscosidad cinemática? ${\displaystyle \nu }$

Sin rotación en el infinito

Las velocidades y presiones de similitud del flujo giratorio de Von Karman para un disco giratorio infinito en función de la distancia sobre el disco.

Dado que no hay rotación en general , se vuelve independiente de lo que resulta en . Por lo tanto, y . ${\displaystyle z\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle p(r,z)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p=p(z)}$ ${\displaystyle f(r)={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \partial p/\partial r=0}$

Aquí las condiciones de contorno para el fluido son ${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0,\quad p=p_{0}\quad {\text{ for }}z=0}$

${\displaystyle u=0,\quad v=0\quad {\text{ for }}z\rightarrow \infty }$

La solución autosimilar se obtiene introduciendo la siguiente transformación, ^[2]

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad u=r\Omega F(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w={\sqrt {\nu \Omega }}H(\eta ),\quad p=p_{0}+\rho \nu \Omega P(\eta ),}$

¿Dónde está la densidad del fluido? ${\displaystyle \rho }$

Las ecuaciones autosimilares son

${\displaystyle {\begin{aligned}2F+H'&=0\\F^{2}-G^{2}+F'H&=F''\\2FG+G'H&=G''\\P'+HH'-H''&=0\end{aligned}}}$

con condiciones de contorno para el fluido son ${\displaystyle \eta >0}$

${\displaystyle F=0,\quad G=1,\quad H=0,\quad P=0\quad {\text{ for }}\eta =0}$

${\displaystyle F=0,\quad G=0\quad {\text{ for }}\eta \rightarrow \infty }$

Las ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas deben resolverse numéricamente y Cochran (1934) proporciona una solución precisa. ^[3] La velocidad axial de entrada en el infinito obtenida a partir de la integración numérica es , por lo que el flujo de volumen de salida total a través de una superficie cilíndrica de radio es . La tensión tangencial en el disco es . Si se descuidan los efectos de borde, el par ejercido por el fluido sobre el disco con un radio grande ( ) pero finito es ${\displaystyle w=-0.886{\sqrt {\nu \Omega }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0.886\pi r^{2}{\sqrt {\nu \Omega }}}$ ${\displaystyle \sigma _{z\varphi }=\mu (\partial v/\partial z)_{z=0}=\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}rG'(0)}$ ${\displaystyle R\gg {\sqrt {\nu /\Omega }}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle T=2\int _{0}^{R}2\pi r^{2}\sigma _{r\theta }\,dr=\pi R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}G'(0).}$

El factor se suma para tener en cuenta ambos lados del disco. A partir de la solución numérica, el par se obtiene mediante . El par predicho por la teoría concuerda perfectamente con el experimento en discos grandes hasta el número de Reynolds de aproximadamente , el flujo se vuelve turbulento a un número de Reynolds alto. ^[4] ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle T=-1.94R^{4}\rho {\sqrt {\nu \Omega ^{3}}}}$ ${\displaystyle Re=R^{2}\Omega /\nu =3\times 10^{5}}$

Rotación de cuerpo rígido en el infinito

Este problema fue abordado por George Keith Batchelor (1951). ^[5] Sea la velocidad angular en el infinito. Ahora la presión en es . Por lo tanto y . Entonces las condiciones de contorno para el fluido son ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}r^{2}}$ ${\displaystyle f(r)={\frac {1}{2}}\rho \Gamma ^{2}r^{2}}$ ${\displaystyle \partial p/\partial r=\Gamma ^{2}}$
${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0\quad {\text{ for }}z=0}$

${\displaystyle u=0,\quad v=\Gamma r\quad {\text{for }}z\rightarrow \infty }$

La solución autosimilar se obtiene introduciendo la siguiente transformación,

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w={\sqrt {\nu \Omega }}H(\eta ).}$

Las ecuaciones autosimilares son

${\displaystyle {\begin{aligned}2F+H'&=0\\[3pt]F^{2}-G^{2}+F'H&=F''-\gamma ^{2}\\[3pt]2FG+G'H&=G''\end{aligned}}}$

con condiciones de contorno para el fluido es ${\displaystyle \eta >0}$

${\displaystyle F=0,\quad G=1,\quad H=0\quad {\text{ for }}\eta =0}$

${\displaystyle F=0,\quad G=\gamma \quad {\text{ for }}\eta \rightarrow \infty }$

La solución es fácil de obtener solo para , es decir, el fluido en el infinito gira en el mismo sentido que la placa. Para , la solución es más compleja, en el sentido de que se producen muchas ramificaciones de solución. Evans (1969) ^[6] obtuvo la solución para el rango . Zandbergen y Dijkstra ^{[7] [8]} demostraron que la solución exhibe una singularidad de raíz cuadrada como y encontraron una rama de segunda solución que se fusiona con la solución encontrada para . La solución de la segunda rama continúa hasta , en cuyo punto, se encuentra que surge una tercera rama de solución. También descubrieron una infinidad de ramas de solución alrededor del punto . Bodoyni (1975) ^[9] calculó soluciones para grandes negativos , mostró que la solución se descompone en . Si se permite que la placa giratoria tenga una velocidad de succión uniforme en la placa, entonces se puede obtener una solución significativa para . ^[4] ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma <0}$ ${\displaystyle -1.35<\gamma <-0.61}$ ${\displaystyle \gamma ^{-}\rightarrow -0.16053876}$ ${\displaystyle \gamma \rightarrow -0.16053876}$ ${\displaystyle \gamma ^{-}\rightarrow 0.07452563}$ ${\displaystyle \gamma ^{-}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{-}=-1.436}$ ${\displaystyle \gamma \leq -0.2}$

Para ( representa la rotación del cuerpo sólido, todo el fluido gira a la misma velocidad) la solución alcanza la rotación del cuerpo sólido en el infinito de manera oscilante desde la placa. La velocidad axial es negativa para y positiva para . Hay una solución explícita cuando . ${\displaystyle 0<\gamma <\infty ,\ \gamma \neq 1}$ ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle w<0}$ ${\displaystyle 0\leq \gamma <1}$ ${\displaystyle w>0}$ ${\displaystyle 1<\gamma <\infty }$ ${\displaystyle |\gamma -1|\ll 1}$

Girando casi a la misma velocidad, | γ − 1 | ≪ 1 {\displaystyle |\gamma -1|\ll 1}

Dado que ambas condiciones de contorno para son casi iguales a uno, se esperaría que la solución para se desviara ligeramente de la unidad. Las escalas correspondientes para y pueden derivarse de las ecuaciones de autosimilitud. Por lo tanto, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle G=1+{\hat {G}},\quad H={\hat {H}},\quad F={\hat {F}}\qquad |{\hat {F}}|,|{\hat {G}}|,|{\hat {H}}|\ll 1}$

Para la aproximación de primer orden (despreciando ), la ecuación autosimilar ^[10] se convierte en ${\displaystyle {\hat {F}}^{2},{\hat {G}}^{2},{\hat {H}}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2{\hat {F}}+{\hat {H}}'&=0\\1+2{\hat {G}}&=\gamma ^{2}-{\hat {F}}''\\2{\hat {F}}&={\hat {G}}''\end{aligned}}}$

con soluciones exactas

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\eta )&=-(\gamma -1)e^{-\eta }\sin \eta ,\\G(\eta )&=1+(\gamma -1)(1-e^{-\eta }\cos \eta ),\\H(\eta )&=(\gamma -1)[1-e^{-\eta }(\sin \eta +\cos \eta )].\end{aligned}}}$

Estas soluciones son similares a una solución de capa de Ekman ^[10] .

Soluciones no axisimétricas[11]

El flujo acepta una solución no axisimétrica con condiciones de contorno axisimétricas descubiertas por Hewitt, Duck y Foster. ^[12] Definición

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega [f'(\eta )+\phi (\eta )\cos 2\theta ],\quad v=r\Omega [g(\eta )-\phi (\eta )\sin 2\theta ],\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}f(\eta ),}$

y las ecuaciones gobernantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}f'''+2ff''-f'^{2}-\phi ^{2}+g^{2}&=\gamma ^{2},\\g''+2(fg'-f'g)&=0,\\\phi ''+2(f\phi '-f'\phi )&=0,\end{aligned}}}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle f(0)=f'(0)=\phi (0)=g(0)-1=f'(\infty )=\phi (\infty )=g(\infty )-\gamma =0.}$

Se descubre que la solución existe a partir de la integración numérica para . ${\displaystyle -0.14485\leq \gamma \leq 0}$

Flujo de agua de mar

El flujo de Bödewadt describe el flujo cuando un disco estacionario se coloca en un fluido giratorio. ^[13]

Dos discos coaxiales giratorios

Este problema fue abordado por George Keith Batchelor (1951), ^[5] Keith Stewartson (1952) ^[14] y muchos otros investigadores. Aquí la solución no es sencilla, debido a la escala de longitud adicional impuesta en el problema, es decir, la distancia entre los dos discos. Además, la unicidad y la existencia de una solución estable también dependen del número de Reynolds correspondiente . Entonces, las condiciones de contorno para el fluido son ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Re=\Omega h^{2}/\nu }$
${\displaystyle 0<z<h}$

${\displaystyle u=0,\quad v=\Omega r,\quad w=0\quad {\text{ for }}z=0}$

${\displaystyle u=0,\quad v=\Gamma r,\quad w=0\quad {\text{for }}z=h.}$

En términos de , la ubicación de la pared superior es simplemente . Por lo tanto, en lugar de las escalas ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ={\sqrt {\Omega /\nu }}h=Re^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\sqrt {\frac {\Omega }{\nu }}}z,\quad \gamma ={\frac {\Gamma }{\Omega }},\quad u=r\Omega F'(\eta ),\quad v=r\Omega G(\eta ),\quad w=-2{\sqrt {\nu \Omega }}F(\eta )\end{aligned}}}$

usado anteriormente, es conveniente introducir la siguiente transformación,

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi =Re^{-1/2}\eta ,\quad f=Re^{-1/2}F,\quad g=G\end{aligned}}}$

de modo que las ecuaciones gobernantes se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}Re^{-1}f'''+2ff''-f'^{2}+g^{2}=\lambda ,\\Re^{-1}g''+2(fg'-f'g)=0\end{aligned}}}$

con seis condiciones de contorno

${\displaystyle f'=0,\quad g=1,\quad f=0\quad {\text{ for }}\xi =0}$

${\displaystyle f'=0,\quad g=\gamma ,\quad f=0\quad {\text{for }}\xi =1.}$

y la presión viene dada por

${\displaystyle {\frac {p-p_{o}}{\rho }}={\frac {1}{2}}\lambda r^{2}\Omega ^{2}-2\nu \Omega (Ref^{2}+f').}$

Aquí las condiciones de contorno son seis porque no se conoce la presión ni en la pared superior ni en la inferior; se debe obtener como parte de la solución. Para un número de Reynolds grande , Batchelor argumentó que el fluido en el núcleo rotaría a una velocidad constante, flanqueado por dos capas límite en cada disco para y habría dos flujos uniformes contrarrotativos de espesor para . Sin embargo, Stewartson predijo que para el fluido en el núcleo no rotaría a , sino que simplemente saldría con dos capas límite en cada disco. Resulta que las predicciones de Stewartson eran correctas (ver capa de Stewartson ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle Re\gg 1}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0}$ ${\displaystyle \xi =1/2}$ ${\displaystyle \gamma =-1}$ ${\displaystyle \gamma =0,-1}$ ${\displaystyle Re\gg 1}$

También hay una solución exacta si los dos discos giran sobre ejes diferentes pero para . ${\displaystyle \gamma =1}$

Aplicaciones

Visualización experimental de una llama de difusión en espiral de metano/aire en un flujo giratorio de von Kármán generado por un quemador de disco poroso giratorio (falso color). ^[15]

El flujo giratorio de von Kármán encuentra sus aplicaciones en una amplia gama de campos, que incluyen máquinas rotativas, sistemas de filtrado, dispositivos de almacenamiento de computadoras, aplicaciones de transferencia de calor y transferencia de masa, problemas relacionados con la combustión, ^[15] formaciones planetarias, aplicaciones geofísicas, etc.

Referencias

1. Von Kármán, Theodore (1921). "Über laminare und turbulente Reibung". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Código Bib : 1921ZaMM....1..233K. doi :10.1002/zamm.19210010401.
2. Schlichting, Hermann y Gersten, Klaus (2017). Teoría de la capa límite . Saltador. ISBN 978-3662529171.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Cochran, WG (1934). "El flujo debido a un disco giratorio". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 30 (3): 365. Bibcode :1934PCPS...30..365C. doi :10.1017/S0305004100012561. S2CID  123003223.
4. Schlichting, Hermann (1960). Teoría de la capa límite . Nueva York: McGraw-Hill.
5. Batchelor, George Keith (1951). "Nota sobre una clase de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes que representan flujo rotacionalmente simétrico estacionario". The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 4 : 29–41. doi :10.1093/qjmam/4.1.29.
6. Evans, DJ "El flujo rotacionalmente simétrico de un fluido viscoso en presencia de un disco giratorio infinito con succión uniforme". The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 22.4 (1969): 467-485.
7. Zandbergen, PJ y D. Dijkstra. "Soluciones no únicas de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo arremolinado de Karman". Journal of engineering mathematics 11.2 (1977): 167-188.
8. Dijkstra, D. y PJ Zandbergen. "Algunas investigaciones adicionales sobre soluciones no únicas de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo turbulento de Karman". Archivo de Mecánica, Archiwum Mechaniki Stosowanej 30 (1978): 411-419.
9. Bodonyi, RJ "Sobre el flujo rotacionalmente simétrico sobre un disco giratorio infinito". Journal of Fluid Mechanics 67.04 (1975): 657-666.
10. Batchelor, George Keith (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 978-0521663960.
11. Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press, 2006.
12. Hewitt, RE, PW Duck y MR Foster. "Soluciones de capa límite estable para un fluido estratificado giratorio en un cono giratorio". Journal of Fluid Mechanics 384 (1999): 339-374.
13. Bödewadt, VU (1940). Die drehströmung über festem grunde. ZAMM-Revista de Mecánica y Matemáticas Aplicadas/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 20(5), 241-253.
14. Stewartson, K. (1953). "Sobre el flujo entre dos discos coaxiales giratorios". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 49 (2): 333–341. Bibcode :1953PCPS...49..333S. doi :10.1017/S0305004100028437. S2CID  122805153.
15. Urzay, J.; Nagayam, V.; Williams, FA (2011). "Teoría de la dinámica de propagación de los bordes espirales de las llamas de difusión en flujos arremolinados de von Kármán" (PDF) . Combustion and Flame . 158 (2): 255–272. doi :10.1016/j.combustflame.2010.08.015.

Bibliografía

• Von Kármán, Theodore (1921). "Über laminare und turbulente Reibung". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Código Bib : 1921ZaMM....1..233K. doi :10.1002/zamm.19210010401.
• Batchelor, George Keith (1951). "Nota sobre una clase de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes que representan flujo rotacionalmente simétrico estacionario". The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 4 : 29–41. doi :10.1093/qjmam/4.1.29.
• Stewartson, K. (1953). "Sobre el flujo entre dos discos coaxiales giratorios". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 49 (2): 333–341. Bibcode :1953PCPS...49..333S. doi :10.1017/S0305004100028437. S2CID  122805153.
• Batchelor, George Keith (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 978-0521663960.
• Landau, Lev D (1987). Mecánica de Fluidos . Butterworth-Heinenann. ISBN 978-0750627672.
• Schlichting, Hermann (1960). Teoría de la capa límite . Nueva York: McGraw-Hill.
• Schlichting, Hermann y Gersten, Klaus (2017). Teoría de la capa límite . Saltador. ISBN 978-3662529171.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)