En matemáticas , el decimocuarto problema de Hilbert , es decir, el número 14 de los problemas de Hilbert propuestos en 1900, pregunta si ciertas álgebras son finitamente generadas .
El escenario es el siguiente: Supongamos que k es un campo y sea K un subcampo del campo de funciones racionales en n variables,
Consideremos ahora la k -álgebra R definida como la intersección
Hilbert conjeturó que todas estas álgebras se generan finitamente sobre k .
Se obtuvieron algunos resultados que confirmaban la conjetura de Hilbert en casos especiales y para ciertas clases de anillos (en particular, la conjetura fue demostrada incondicionalmente para n = 1 y n = 2 por Zariski en 1954). Luego, en 1959, Masayoshi Nagata encontró un contraejemplo a la conjetura de Hilbert. El contraejemplo de Nagata es un anillo de invariantes adecuadamente construido para la acción de un grupo algebraico lineal .
El problema surgió originalmente en la teoría de invariantes algebraicos . Aquí el anillo R se da como un anillo (adecuadamente definido) de invariantes polinómicos de un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo k que actúa algebraicamente sobre un anillo polinómico k [ x 1 , ..., x n ] (o más generalmente, sobre un álgebra finitamente generada definida sobre un cuerpo). En esta situación, el cuerpo K es el cuerpo de funciones racionales (cocientes de polinomios) en las variables x i que son invariantes bajo la acción dada del grupo algebraico, el anillo R es el anillo de polinomios que son invariantes bajo la acción. Un ejemplo clásico en el siglo XIX fue el estudio extenso (en particular por Cayley , Sylvester , Clebsch , Paul Gordan y también Hilbert) de invariantes de formas binarias en dos variables con la acción natural del grupo lineal especial SL 2 ( k ) sobre él. El propio Hilbert demostró la generación finita de anillos invariantes en el caso del cuerpo de números complejos para algunos grupos de Lie semisimples clásicos (en particular el grupo lineal general sobre los números complejos) y acciones lineales específicas sobre anillos polinómicos, es decir, acciones que provienen de representaciones de dimensión finita del grupo de Lie. Este resultado de finitud fue posteriormente extendido por Hermann Weyl a la clase de todos los grupos de Lie semisimples. Un ingrediente principal en la demostración de Hilbert es el teorema de la base de Hilbert aplicado al ideal dentro del anillo polinómico generado por los invariantes.
La formulación de Zariski del decimocuarto problema de Hilbert pregunta si, para una variedad algebraica cuasi-afín X sobre un cuerpo k , posiblemente asumiendo que X es normal o suave , el anillo de funciones regulares en X se genera finitamente sobre k .
Se demostró [1] que la formulación de Zariski era equivalente al problema original, para X normal. (Véase también: Teorema de finitud de Zariski ).
Éfendiev FF (Fuad Efendi) proporcionó un algoritmo simétrico que genera la base de invariantes de formas n-arias de grado r. [2]
Nagata (1960) dio el siguiente contraejemplo al problema de Hilbert. El cuerpo k es un cuerpo que contiene 48 elementos a 1 i , ..., a 16 i , para i = 1, 2, 3 que son algebraicamente independientes sobre el cuerpo primo. El anillo R es el anillo polinómico k [ x 1 ,..., x 16 , t 1 ,..., t 16 ] en 32 variables. El espacio vectorial V es un espacio vectorial de 13 dimensiones sobre k que consiste en todos los vectores ( b 1 ,..., b 16 ) en k 16 ortogonales a cada uno de los tres vectores ( a 1 i , ..., a 16 i ) para i = 1, 2, 3. El espacio vectorial V es un grupo algebraico unipotente conmutativo de 13 dimensiones bajo adición, y sus elementos actúan sobre R fijando todos los elementos t j y tomando x j como x j + b j t j . Entonces el anillo de elementos de R invariante bajo la acción del grupo V no es una k -álgebra finitamente generada.
Varios autores han reducido los tamaños del grupo y del espacio vectorial en el ejemplo de Nagata. Por ejemplo, Totaro (2008) demostró que sobre cualquier cuerpo existe una acción de la suma G3
unde tres copias del grupo aditivo en k 18 cuyo anillo de invariantes no está finitamente generado.
![{\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\puntos ,x_{n}]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d082eb2576f3e3e6d72d22a7c2832d65b0e028)