En teoría musical , el complemento se refiere a la complementación de intervalos tradicional o a la complementación agregada de dodecafonismo y serialismo .
En la complementación de intervalos, un complemento es el intervalo que, al sumarse al intervalo original, abarca una octava en total. Por ejemplo, una tercera mayor es el complemento de una sexta menor. El complemento de cualquier intervalo también se conoce como su inverso o inversión . Nótese que la octava y el unísono son complementos entre sí y que el tritono es su propio complemento (aunque este último se "reescribe" como una cuarta aumentada o una quinta disminuida, según el contexto).
En la complementación agregada de la música dodecafónica y el serialismo, el complemento de un conjunto de notas de la escala cromática contiene todas las demás notas de la escala. Por ejemplo, ABCDEFG se complementa con B ♭ - C ♯ - E ♭ - F ♯ - A ♭ .
Nótese que la teoría de conjuntos musicales amplía un poco la definición de ambos sentidos.
La regla del nueve es una manera sencilla de determinar qué intervalos se complementan entre sí. [1] Si tomamos los nombres de los intervalos como números cardinales (la cuarta, etc., se convierte en cuatro ), tenemos, por ejemplo, 4 + 5 = 9. Por lo tanto, la cuarta y la quinta se complementan entre sí. Cuando utilizamos nombres más genéricos (como semitono y tritono ), esta regla no se puede aplicar. Sin embargo, la octava y el unísono no son genéricos, sino que se refieren específicamente a notas con el mismo nombre, por lo tanto, 8 + 1 = 9.
Los intervalos perfectos complementan a los intervalos perfectos (diferentes), los intervalos mayores complementan a los intervalos menores, los intervalos aumentados complementan a los intervalos disminuidos y los intervalos doblemente disminuidos complementan a los intervalos doblemente aumentados.
Utilizando la notación de números enteros y módulo 12 (en la que los números "se envuelven" en 12, 12 y sus múltiplos se definen, por tanto, como 0), dos intervalos cualesquiera que sumen 0 (mod 12) son complementos (mod 12) . En este caso, el unísono, 0, es su propio complemento, mientras que para otros intervalos los complementos son los mismos que los anteriores (por ejemplo, una quinta perfecta , o 7, es el complemento de la cuarta perfecta , o 5, 7 + 5 = 12 = 0 mod 12).
Por lo tanto la suma de complementación es 12 (= 0 mod 12).
En la teoría de conjuntos musicales o teoría atonal, el complemento se utiliza tanto en el sentido antes mencionado (en el que la cuarta perfecta es el complemento de la quinta perfecta, 5+7=12), como en el sentido aditivo inverso del mismo intervalo melódico en la dirección opuesta – por ejemplo, una quinta descendente es el complemento de una quinta ascendente. [ cita requerida ]
En la música dodecafónica y el serialismo, la complementación (en sentido literal, complementación de clases tonales ) es la separación de conjuntos de clases tonales en conjuntos complementarios, cada uno de los cuales contiene clases tonales ausentes en el otro [2] o, más bien, "la relación por la cual la unión de un conjunto con otro agota el agregado". [3] Para proporcionar, "una explicación simple...: el complemento de un conjunto de clases tonales consiste, en el sentido literal, en todas las notas restantes en el cromático de doce notas que no están en ese conjunto". [4]
En la técnica dodecafónica, esto suele ser la separación de la cromática total de doce clases de tonos en dos hexacordos de seis clases de tonos cada uno. En filas con la propiedad de combinatoria , se utilizan simultáneamente dos filas de tonos dodecafónicos (o dos permutaciones de una fila de tonos), creando así "dos agregados , entre los primeros hexacordos de cada una y los segundos hexacordos de cada una, respectivamente". [2] En otras palabras, el primer y el segundo hexacordo de cada serie siempre se combinarán para incluir las doce notas de la escala cromática, conocida como un agregado , al igual que los dos primeros hexacordos de las permutaciones seleccionadas adecuadamente y los dos segundos hexacordos.
La complementación hexacordal es el uso del potencial de pares de hexacordos para que cada uno contenga seis clases de tonos diferentes y, de ese modo, complete un agregado. [5]
Por ejemplo, dados los conjuntos relacionados transposicionalmente:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11− 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0____________________________________ 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
La diferencia siempre es 11. El primer conjunto puede llamarse P0 (ver fila de tonos ), en cuyo caso el segundo conjunto sería P1.
Por el contrario, "donde los conjuntos relacionados transposicionalmente muestran la misma diferencia para cada par de clases de tono correspondientes, los conjuntos relacionados inversamente muestran la misma suma". [7] Por ejemplo, dados los conjuntos relacionados inversamente (P0 e I11):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11+11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0____________________________________ 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
La suma es siempre 11. Por lo tanto, para P0 e I11 la suma de complementación es 11.
[ aclaración necesaria ] En la teoría de conjuntos, el concepto tradicional de complementación puede distinguirse como complemento literal de clase de tono , "donde la relación se obtiene entre conjuntos de clases de tono específicos", [3] mientras que, debido a la definición de conjuntos equivalentes , el concepto puede ampliarse para incluir "no solo el complemento pc literal de ese conjunto sino también cualquier forma transpuesta o invertida y transpuesta del complemento literal", [8] que puede describirse como complemento abstracto , [9] "donde la relación se obtiene entre clases de conjuntos". [3] Esto se debe a que, dado que P es equivalente a M , y M es el complemento de M, P también es el complemento de M, "desde un punto de vista lógico y musical", [10] aunque no sea su complemento pc literal. El creador Allen Forte [11] describe esto como "una extensión significativa de la relación de complemento", aunque George Perle lo describe como "una subestimación flagrante". [12]
Como ejemplo adicional, tomemos los conjuntos cromáticos 7-1 y 5-1. Si las clases de altura de 7-1 abarcan C–F ♯ y las de 5-1 abarcan G–B, entonces son complementos literales. Sin embargo, si 5-1 abarca C–E, C ♯ –F o D–F ♯ , entonces es un complemento abstracto de 7-1. [9] Como estos ejemplos dejan en claro, una vez que se etiquetan los conjuntos o los conjuntos de clases de altura, "la relación de complemento se reconoce fácilmente por el número ordinal idéntico en pares de conjuntos de cardinalidades complementarias". [3]