Marco sincrónico

Un marco sincrónico es un marco de referencia en el que la coordenada temporal define el tiempo propio para todos los observadores que se mueven conjuntamente . Se construye eligiendo una hipersuperficie de tiempo constante como origen, de modo que tenga en cada punto una normal a lo largo de la línea temporal y se pueda construir un cono de luz con un vértice en ese punto; todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son similares al espacio . Se dibuja una familia de geodésicas normales a esta hipersuperficie y se define como las coordenadas temporales con un comienzo en la hipersuperficie. En términos de componentes tensoriales métricos , un marco sincrónico se define de modo que ${\displaystyle g_{ik}}$

${\displaystyle g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0}$

donde Tal construcción, y por lo tanto la elección del marco sincrónico, es siempre posible aunque no es única. Permite cualquier transformación de coordenadas espaciales que no dependa del tiempo y, además, una transformación provocada por la elección arbitraria de la hipersuperficie utilizada para esta construcción geométrica. ${\displaystyle \alpha =1,2,3.}$

Sincronización en un marco de referencia arbitrario

La sincronización de relojes ubicados en diferentes puntos del espacio significa que los eventos que suceden en diferentes lugares pueden medirse como simultáneos si esos relojes muestran las mismas horas. En la relatividad especial , el elemento de distancia espacial dl se define como los intervalos entre dos eventos muy cercanos que ocurren en el mismo momento del tiempo. En la relatividad general esto no se puede hacer, es decir, no se puede definir dl simplemente sustituyendo dt ≡ dx ⁰ = 0 en la métrica . La razón de esto es la diferente dependencia entre el tiempo propio y la coordenada de tiempo x ⁰ ≡ t en diferentes puntos del espacio, es decir, ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle cd\tau ={\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$

Figura 1. Sincronización de relojes en el espacio curvo mediante señales luminosas.

Para hallar dl en este caso, se puede sincronizar el tiempo en dos puntos infinitesimalmente vecinos de la siguiente manera (Fig. 1): Bob envía una señal luminosa desde un punto B del espacio con coordenadas a Alice, que está en un punto A muy cercano con coordenadas x ^α , y luego Alice refleja inmediatamente la señal de vuelta a Bob. El tiempo necesario para esta operación (medido por Bob), multiplicado por c es, obviamente, la distancia duplicada entre Alice y Bob. ${\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}$

El elemento de línea , con coordenadas espaciales y temporales separadas, es:

donde un índice griego repetido dentro de un término significa suma por los valores 1, 2, 3. El intervalo entre los eventos de llegada de la señal y su reflexión inmediata de regreso al punto A es cero (dos eventos, llegada y reflexión, ocurren en el mismo punto en el espacio y el tiempo). Para las señales de luz, el intervalo espacio-temporal es cero y, por lo tanto, al establecer la ecuación anterior, podemos resolver para dx ⁰ obteniendo dos raíces: ${\displaystyle ds=0}$

${\displaystyle dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

que corresponden a la propagación de la señal en ambas direcciones entre Alice y Bob. Si x ⁰ es el momento de llegada/reflexión de la señal hacia/desde Alice en el reloj de Bob, entonces los momentos de salida de la señal desde Bob y su llegada de vuelta a Bob corresponden, respectivamente, a x ⁰ + dx ^{0 (1)} y x ⁰ + dx ^{0 (2)} . Las líneas gruesas en la Fig. 1 son las líneas del mundo de Alice y Bob con coordenadas x ^α y x ^α + dx ^α , respectivamente, mientras que las líneas rojas son las líneas del mundo de las señales. La Fig. 1 supone que dx ^{0 (2)} es positivo y dx ^{0 (1)} es negativo, lo que, sin embargo, no es necesariamente el caso: dx ^{0 (1)} y dx ^{0 (2)} pueden tener el mismo signo. El hecho de que en el último caso el valor x ⁰ (Alice) en el momento de la llegada de la señal a la posición de Alice pueda ser menor que el valor x ⁰ (Bob) en el momento de la salida de la señal de Bob no contiene una contradicción porque se supone que los relojes en diferentes puntos del espacio no están sincronizados. Es claro que el intervalo de "tiempo" completo entre la salida y la llegada de la señal en el lugar de Bob es

${\displaystyle dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.}$

El intervalo de tiempo propio correspondiente se obtiene a partir de la relación anterior mediante la multiplicación por , y la distancia dl entre los dos puntos mediante la multiplicación adicional por c /2. Como resultado: ${\displaystyle {\sqrt {g_{00}}}/c}$

Esta es la relación requerida que define la distancia a través de los elementos de coordenadas espaciales.

Es obvio que dicha sincronización debe realizarse mediante el intercambio de señales de luz entre puntos. Consideremos nuevamente la propagación de señales entre los puntos infinitesimalmente cercanos A y B en la Figura 1. La lectura del reloj en B que es simultánea con el momento de reflexión en A se encuentra en el medio entre los momentos de envío y recepción de la señal en B ; en este momento, si el reloj de Alice marca y ⁰ y el reloj de Bob marca x ^0, entonces, a través de la condición de sincronización de Einstein ,

${\displaystyle y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2}}=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.}$

Sustituya aquí la ecuación 2 para encontrar la diferencia en "tiempo" x ⁰ entre dos eventos simultáneos que ocurren en puntos infinitesimalmente cercanos como

Esta relación permite la sincronización de relojes en cualquier volumen espacial infinitesimalmente pequeño. Al continuar dicha sincronización más allá del punto A , se pueden sincronizar relojes, es decir, determinar la simultaneidad de eventos a lo largo de cualquier línea abierta. La condición de sincronización se puede escribir de otra forma multiplicando la ecuación 4 por g ₀₀ y llevando los términos al lado izquierdo.

o bien, el "diferencial covariante" dx ₀ entre dos puntos infinitesimalmente cercanos debería ser cero.

Sin embargo, en general, es imposible sincronizar relojes a lo largo de un contorno cerrado: partiendo del contorno y volviendo al punto de partida se obtendría un valor Δ x ⁰ distinto de cero. Por tanto, es imposible una sincronización inequívoca de relojes en todo el espacio. Una excepción son los sistemas de referencia en los que todos los componentes g _0α son cero.

La incapacidad de sincronizar todos los relojes es una propiedad del sistema de referencia y no del espacio-tiempo en sí. Siempre es posible, de infinitas maneras en cualquier campo gravitatorio, elegir el sistema de referencia de modo que los tres g _0α se conviertan en ceros y, de esta manera, se permita una sincronización completa de los relojes. A esta clase se asignan los casos en los que g _0α puede convertirse en ceros mediante un simple cambio en la coordenada temporal que no implica una elección de un sistema de objetos que defina las coordenadas espaciales.

En la teoría de la relatividad especial, el tiempo propio también transcurre de manera diferente para relojes que se mueven uno con respecto al otro. En la relatividad general, el tiempo propio es diferente incluso en el mismo sistema de referencia en diferentes puntos del espacio. Esto significa que el intervalo de tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un punto del espacio y el intervalo de tiempo entre los eventos simultáneos con aquellos en otro punto del espacio son, en general, diferentes.

Ejemplo: Marco giratorio uniformemente

Considere un sistema de coordenadas en reposo (inercial) expresado en coordenadas cilíndricas y tiempo . El intervalo en este sistema de coordenadas está dado por Transformar a un sistema de coordenadas de rotación uniforme utilizando la relación modifica el intervalo a ${\displaystyle r'\,\phi ',\,z'}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt'^{2}-dr'^{2}-r'^{2}d\phi '^{2}-dz'^{2}.}$ ${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ ${\displaystyle x^{0}/c=t=t',\,x^{1}=r=r',\,x^{2}=\phi =\phi '-\Omega t',\,x^{3}=z=z'}$

${\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-\Omega ^{2}r^{2})dt^{2}-2\Omega r^{2}d\phi dt-dr^{2}-r^{2}d\phi ^{2}-dz^{2}.}$

Por supuesto, el marco giratorio es válido solo para , ya que la velocidad del marco superaría la velocidad de la luz más allá de esta ubicación radial. Los componentes distintos de cero del tensor métrico son y A lo largo de cualquier curva abierta, la relación ${\displaystyle r<c/\Omega }$ ${\displaystyle g_{00}=1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2},}$ ${\displaystyle g_{02}=-2\Omega r^{2}/c,}$ ${\displaystyle g_{11}=-1,}$ ${\displaystyle g_{22}=-r^{2}}$ ${\displaystyle g_{33}=-1.}$

${\displaystyle \Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}dx^{\alpha }={\frac {\Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\phi }$

Se puede utilizar para sincronizar relojes. Sin embargo, a lo largo de cualquier curva cerrada, la sincronización es imposible porque

${\displaystyle \oint \Delta x^{0}=\oint {\frac {d\phi \Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}\neq 0.}$

Por ejemplo, cuando tenemos ${\displaystyle \Omega r/c\ll 1}$

${\displaystyle \oint \Delta x^{0}={\frac {\Omega }{c}}\oint r^{2}d\phi =\pm {\frac {2\Omega }{c}}S}$

donde es el área proyectada de la curva cerrada sobre un plano perpendicular al eje de rotación (el signo más o menos corresponde al contorno que recorre la dirección de rotación o en sentido opuesto a ella). ${\displaystyle S}$

El elemento de tiempo propio en el marco giratorio está dado por

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}dt={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\tau _{\mathrm {axis} }}$

indicando que el tiempo se ralentiza a medida que nos alejamos del eje. De manera similar, el elemento espacial se puede calcular para encontrar

${\displaystyle dl=\left[dr^{2}+{\frac {r^{2}d\phi ^{2}}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}+dz^{2}\right]^{1/2}.}$

Con un valor fijo de y , el elemento espacial es que al integrarse sobre un círculo completo muestra que la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio está dada por ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dl=(1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2})^{-1/2}rd\phi }$

${\displaystyle {\frac {2\pi }{\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}}}$

que es mayor que por . ${\displaystyle 2\pi }$

Tensor métrico espacial

La ecuación 3 se puede reescribir en la forma

dónde

es el tensor métrico tridimensional que determina la métrica, es decir, las propiedades geométricas del espacio. Las ecuaciones 7 dan las relaciones entre la métrica del espacio tridimensional y la métrica del espacio-tiempo cuatridimensional . ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{ik}}$

En general, sin embargo, depende de x ^0, por lo que cambia con el tiempo. Por lo tanto, no tiene sentido integrar dl : esta integral depende de la elección de la línea del universo entre los dos puntos en los que se toma. De ello se deduce que en la relatividad general la distancia entre dos cuerpos no se puede determinar en general; esta distancia se determina solo para puntos infinitesimalmente cercanos. La distancia se puede determinar para regiones espaciales finitas solo en sistemas de referencia en los que g _ik no depende del tiempo y, por lo tanto, la integral a lo largo de la curva espacial adquiere un sentido definido. ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\textstyle \int dl}$

El tensor es inverso al tensor tridimensional contravariante . De hecho, al escribir la ecuación en componentes, se tiene: ${\displaystyle -\gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}}$

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

${\displaystyle g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.}$

Determinando a partir de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera se demuestra que ${\displaystyle g^{\alpha 0}}$

Este resultado se puede presentar de otra manera diciendo que son componentes de un tensor tridimensional contravariante correspondiente a la métrica : ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }}$

Los determinantes g y compuestos por los elementos y , respectivamente, están relacionados entre sí por la simple relación: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$

En muchas aplicaciones, es conveniente definir un vector tridimensional g con componentes covariantes

Considerando g como un vector en el espacio con métrica , sus componentes contravariantes pueden escribirse como . Utilizando la ecuación 11 y la segunda de las ecuaciones 8 , es fácil ver que ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }}$

De la tercera de las ecuaciones 8 , se sigue

Coordenadas sincrónicas

Como se concluye de la ecuación 5 , la condición que permite la sincronización del reloj en diferentes puntos del espacio es que los componentes del tensor métrico g _0α sean ceros. Si, además, g ₀₀ = 1, entonces la coordenada temporal x ⁰ = t es el tiempo propio en cada punto del espacio (con c = 1). Un marco de referencia que satisface las condiciones

se llama marco sincrónico . El elemento de intervalo en este sistema viene dado por la expresión

con los componentes tensoriales métricos espaciales idénticos (con signo opuesto) a los componentes g _αβ :

Figura 2. Un marco sincrónico construido con la elección de la hipersuperficie temporal t = const (color verde azulado). Solo se muestra una coordenada espacial x ¹ = x . Los cuatro observadores tienen los mismos tiempos propios x ⁰ = t que son normales a la hipersuperficie en sus espacios-tiempos localmente planos (mostrados por los conos de luz ). El vector unitario n ⁰ = u ⁰ = 1 se muestra en amarillo. No hay componentes de velocidad espacial ( u ^α = 0) por lo que el tiempo propio común es una línea geodésica con un comienzo en la hipersuperficie y una dirección positiva (flechas rojas).

En el tiempo de trama sincrónico, las líneas de tiempo son normales a las hipersuperficies t = const. De hecho, el vector unitario cuatridimensional normal a dicha hipersuperficie n _i = ∂ t /∂ x ⁱ tiene componentes covariantes n _α = 0, n ₀ = 1. Los respectivos componentes contravariantes con las condiciones de la ecuación 15 son nuevamente n ^α = 0, n ⁰ = 1.

Las componentes de la normal unitaria coinciden con las del cuatrivector u ⁱ = dx ⁱ /ds que es tangente a la línea de universo x ¹ , x ² , x ³ = const. La u ⁱ con componentes u ^α = 0, u ⁰ = 1 satisface automáticamente las ecuaciones geodésicas :

${\displaystyle {\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^{k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,}$

ya que, a partir de las condiciones de la ecuación 15 , los símbolos de Christoffel y se anulan de forma idéntica. Por lo tanto, en el marco sincrónico las líneas de tiempo son geodésicas en el espacio-tiempo. ${\displaystyle \Gamma _{00}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}}$

Estas propiedades se pueden utilizar para construir un marco sincrónico en cualquier espacio-tiempo (Fig. 2). Para ello, se elige una hipersuperficie espacial como origen, de modo que tenga en cada punto una normal a lo largo de la línea de tiempo (que se encuentre dentro del cono de luz con un vértice en ese punto); todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son espaciales. A continuación, se dibuja una familia de geodésicas normales a esta hipersuperficie. Se eligen estas líneas como líneas de coordenadas de tiempo y se define la coordenada de tiempo t como la longitud s de la geodésica medida con un comienzo en la hipersuperficie; el resultado es un marco sincrónico.

Se puede realizar una transformación analítica a un marco sincrónico con el uso de la ecuación de Hamilton-Jacobi . El principio de este método se basa en el hecho de que las trayectorias de partículas en campos gravitatorios son geodésicas. La ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula (cuya masa se establece igual a la unidad) en un campo gravitatorio es

donde S es la acción. Su integral completa tiene la forma:

Nótese que la integral completa contiene tantas constantes arbitrarias como el número de variables independientes que en nuestro caso es . En la ecuación anterior, estas corresponden a los tres parámetros ξ ^α y la cuarta constante A que se trata como una función arbitraria de los tres ξ ^α . Con tal representación para S, las ecuaciones para la trayectoria de la partícula se pueden obtener igualando las derivadas ∂S / ∂ξ ^α a cero, es decir ${\displaystyle 4}$

Para cada conjunto de valores asignados de los parámetros ξ ^α , los lados derechos de las ecuaciones 18a-18c tienen valores constantes definidos, y la línea del mundo determinada por estas ecuaciones es una de las posibles trayectorias de la partícula. Eligiendo las cantidades ξ ^α , que son constantes a lo largo de la trayectoria, como nuevas coordenadas espaciales, y la cantidad S como la nueva coordenada temporal, se obtiene un marco sincrónico; la transformación de las antiguas coordenadas a las nuevas está dada por las ecuaciones 18b-18c . De hecho, se garantiza que para tal transformación las líneas temporales serán geodésicas y serán normales a las hipersuperficies S = const. El último punto es obvio a partir de la analogía mecánica: el cuatrivector ∂S / ∂x ⁱ que es normal a la hipersuperficie coincide en mecánica con el cuatrimomento de la partícula, y por lo tanto coincide en dirección con su cuatrivelocidad u ⁱ , es decir, con el cuatrivector tangente a la trayectoria. Finalmente, la condición g ₀₀ = 1 se satisface obviamente, ya que la derivada − dS / ds de la acción a lo largo de la trayectoria es la masa de la partícula, que se fijó igual a 1; por lo tanto | dS / ds | = 1.

Las condiciones de calibración de la ecuación 15 no fijan por completo el sistema de coordenadas y, por lo tanto, no son una calibración fija , ya que la hipersuperficie espacial en puede elegirse arbitrariamente. Aún se tiene la libertad de realizar algunas transformaciones de coordenadas que contienen cuatro funciones arbitrarias que dependen de las tres variables espaciales x ^α , que se pueden calcular fácilmente en forma infinitesimal: ${\displaystyle t=0}$

Aquí, las colecciones de las cuatro coordenadas antiguas ( t , x ^α ) y las cuatro coordenadas nuevas se denotan con los símbolos x y , respectivamente. Las funciones junto con sus primeras derivadas son cantidades infinitesimalmente pequeñas. Después de tal transformación, el intervalo de cuatro dimensiones toma la forma: ${\displaystyle ({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \xi ^{i}({\tilde {x}})}$

dónde

En la última fórmula, las son las mismas funciones g _ik ( x ) en las que x simplemente debe reemplazarse por . Si se desea conservar la ecuación de calibración 15 también para el nuevo tensor métrico en las nuevas coordenadas , es necesario imponer las siguientes restricciones a las funciones : ${\displaystyle g_{ik}({\tilde {x}})}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \xi ^{i}({\acute {x}})}$

Las soluciones de estas ecuaciones son:

donde f ⁰ y f ^α son cuatro funciones arbitrarias que dependen únicamente de las coordenadas espaciales . ${\displaystyle {\tilde {x}}^{\alpha }}$

Para una explicación geométrica más elemental, considere la Fig. 2. Primero, la línea de tiempo sincrónica ξ ⁰ = t puede elegirse arbitrariamente (la de Bob, Carol, Dana o cualquiera de un número infinito de observadores). Esto hace que una función elegida arbitrariamente: . Segundo, la hipersuperficie inicial puede elegirse de infinitas maneras. Cada una de estas elecciones cambia tres funciones: una función para cada una de las tres coordenadas espaciales . En total, cuatro (= 1 + 3) funciones son arbitrarias. ${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$

Al discutir soluciones generales g _αβ de las ecuaciones de campo en gauges sincrónicos, es necesario tener en mente que los potenciales gravitacionales g _αβ contienen, entre todos los posibles parámetros funcionales arbitrarios presentes en ellos, cuatro funciones arbitrarias del 3-espacio que sólo representan la libertad de gauge y por lo tanto no tienen significación física directa.

Otro problema con el marco sincrónico es que pueden producirse cáusticas que hagan que la elección del calibre falle. Estos problemas han causado algunas dificultades para realizar la teoría de perturbaciones cosmológicas en el marco sincrónico, pero ahora se comprenden bien. Las coordenadas sincrónicas se consideran generalmente el sistema de referencia más eficiente para realizar cálculos y se utilizan en muchos códigos de cosmología modernos, como CMBFAST . También son útiles para resolver problemas teóricos en los que es necesario fijar una hipersuperficie espacial, como ocurre con las singularidades espaciales .

Ecuaciones de Einstein en el marco sincrónico

La introducción de un marco sincrónico permite separar las operaciones de diferenciación espacial y temporal en las ecuaciones de campo de Einstein . Para hacerlas más concisas, la notación

se introduce para las derivadas temporales del tensor métrico tridimensional; estas cantidades también forman un tensor tridimensional. En el marco sincrónico es proporcional a la segunda forma fundamental (tensor de forma). Todas las operaciones de desplazamiento de índices y diferenciación covariante del tensor se realizan en el espacio tridimensional con la métrica γ _αβ . Esto no se aplica a las operaciones de desplazamiento de índices en los componentes espaciales de los cuatro tensores R _ik , T _ik . Por lo tanto, T _α ^β debe entenderse como g ^βγ T _γα + g ^{β 0} T _{0 α} , que se reduce a g ^βγ T _γα y difiere en signo de γ ^βγ T _γα . La suma es la derivada logarítmica del determinante γ ≡ | γ _αβ | = − g : ${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$

Entonces para el conjunto completo de símbolos de Christoffel se obtiene: ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}}$

¿Dónde están los símbolos tridimensionales de Christoffel construidos a partir de γ _αβ : ${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

donde la coma denota derivada parcial por la coordenada respectiva.

Con los símbolos de Christoffel ecuación 25 , los componentes R ⁱ _k = g ^il R _lk del tensor de Ricci se pueden escribir en la forma:

Los puntos en la parte superior indican diferenciación temporal, los puntos y coma (";") indican diferenciación covariante que en este caso se realiza con respecto a la métrica tridimensional γ _αβ con símbolos de Christoffel tridimensionales , , y P _α ^β es un tensor de Ricci tridimensional construido a partir de : ${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$ ${\displaystyle \varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

De las ecuaciones 27-29 se deduce que las ecuaciones de Einstein (con los componentes del tensor de energía-momento T ₀ ⁰ = − T ₀₀ , T _α ⁰ = − T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) quedan en un marco sincrónico: ${\displaystyle R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^{k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)}$

Una característica del sistema sincrónico es que no es estacionario: el campo gravitatorio no puede ser constante en dicho sistema. En un campo constante se volvería cero. Pero en presencia de materia la desaparición de todo contradiría la ecuación 31 (que tiene un lado derecho distinto de cero). En el espacio vacío de la ecuación 33 se deduce que todos los P _αβ , y con ellos todos los componentes del tensor de curvatura tridimensional P _αβγδ ( tensor de Riemann ) se desvanecen, es decir, el campo se desvanece por completo (en un sistema sincrónico con una métrica espacial euclidiana el espacio-tiempo es plano). ${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$

Al mismo tiempo, la materia que llena el espacio no puede, en general, estar en reposo con respecto al marco sincrónico. Esto es obvio por el hecho de que las partículas de materia dentro de las cuales hay presiones generalmente se mueven a lo largo de líneas que no son geodésicas; la línea del universo de una partícula en reposo es una línea de tiempo y, por lo tanto, es una geodésica en el marco sincrónico. Una excepción es el caso del polvo ( p = 0). Aquí, las partículas que interactúan entre sí se moverán a lo largo de líneas geodésicas; en consecuencia, en este caso la condición para un marco sincrónico no contradice la condición de que se mueva con la materia. Incluso en este caso, para poder elegir un marco sincrónicamente comóvil , sigue siendo necesario que la materia se mueva sin rotación. En el marco comóvil, los componentes contravariantes de la velocidad son u ⁰ = 1, u ^α = 0. Si el marco también es sincrónico, los componentes covariantes deben satisfacer u ₀ = 1, u _{α = 0, de modo que su} rizo de cuatro dimensiones debe desaparecer:

${\displaystyle u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.}$

Pero esta ecuación tensorial debe ser válida también en cualquier otro sistema de referencia. Por tanto, en un sistema sincrónico pero no comóvil, se necesita además la condición de que el rizo v = 0 para la velocidad tridimensional v . Para otras ecuaciones de estado, una situación similar puede darse sólo en casos especiales, cuando el gradiente de presión se anula en todas o en algunas direcciones.

Singularidad en marco sincrónico

El uso del marco sincrónico en problemas cosmológicos exige un examen exhaustivo de su comportamiento asintótico. En particular, es necesario saber si el marco sincrónico puede extenderse al tiempo infinito y al espacio infinito manteniendo siempre el etiquetado inequívoco de cada punto en términos de coordenadas en este marco.

Se ha demostrado que la sincronización inequívoca de relojes en todo el espacio es imposible debido a la imposibilidad de sincronizar relojes a lo largo de un contorno cerrado. En lo que respecta a la sincronización en tiempo infinito, recordemos primero que las líneas de tiempo de todos los observadores son normales a la hipersuperficie elegida y, en este sentido, son "paralelas". Tradicionalmente, el concepto de paralelismo se define en la geometría euclidiana como líneas rectas que son equidistantes entre sí en todas partes, pero en geometrías arbitrarias este concepto puede extenderse para significar líneas que son geodésicas . Se ha demostrado que las líneas de tiempo son geodésicas en un marco sincrónico. Otra definición de líneas paralelas, más conveniente para el presente propósito, son aquellas que tienen todos o ninguno de sus puntos en común. Excluyendo el caso de todos los puntos en común (obviamente, la misma línea), se llega a la definición de paralelismo donde no hay dos líneas de tiempo que tengan un punto común.

Dado que las líneas de tiempo en un marco sincrónico son geodésicas, estas líneas son rectas (la trayectoria de la luz) para todos los observadores en la hipersuperficie generadora. La métrica espacial es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$.

El determinante del tensor métrico es el valor absoluto del triple producto de los vectores fila de la matriz , que también es el volumen del paralelepípedo abarcado por los vectores , , y (es decir, el paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores , , y ). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$

${\displaystyle \gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3})|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}}$

Si se convierte en cero, entonces el volumen de este paralelepípedo es cero. Esto puede suceder cuando uno de los vectores se encuentra en el plano de los otros dos vectores, de modo que el volumen del paralelepípedo se transforma en el área de la base (la altura se convierte en cero), o más formalmente, cuando dos de los vectores son linealmente dependientes. Pero entonces varios puntos (los puntos de intersección) pueden etiquetarse de la misma manera, es decir, la métrica tiene una singularidad. ${\displaystyle \gamma }$

El grupo de Landau ^[1] ha descubierto que el marco sincrónico forma necesariamente una singularidad temporal, es decir, las líneas temporales se intersecan (y, respectivamente, el determinante del tensor métrico se vuelve cero) en un tiempo finito.

Esto se demuestra de la siguiente manera. El lado derecho de la ecuación 31 , que contiene los tensores de tensión-energía de la materia y el campo electromagnético,

${\displaystyle T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{k}}$

es un número positivo debido a la condición de energía fuerte . Esto se puede ver fácilmente cuando se escribe en componentes.

Para la materia

${\displaystyle T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2}}}>0}$

para campo electromagnético

${\displaystyle T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0}$

Con lo anterior en mente, la ecuación 31 se reescribe como una desigualdad.

con la igualdad propia del espacio vacío.

Usando la desigualdad algebraica

${\displaystyle \varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1}{3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

La ecuación 34 se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0}$.

Dividiendo ambos lados y usando la igualdad ${\displaystyle \left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$

Se llega a la desigualdad

Sea, por ejemplo, en un momento dado. Como la derivada es positiva, entonces la razón disminuye con la disminución del tiempo, teniendo siempre una derivada finita distinta de cero y, por lo tanto, debería llegar a cero, viniendo del lado positivo, durante un tiempo finito. En otras palabras, llega a ser , y como , esto significa que el determinante llega a ser cero (según la ecuación 35 no más rápido que ). Si, por otra parte, inicialmente, lo mismo es cierto para el aumento del tiempo. ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t^{6}}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0}$

Se puede obtener una idea sobre el espacio en la singularidad considerando el tensor métrico diagonalizado . La diagonalización hace que los elementos de la matriz sean cero en todas partes excepto en la diagonal principal, cuyos elementos son los tres valores propios y ; estos son tres valores reales cuando el discriminante del polinomio característico es mayor o igual a cero o un valor real y dos valores complejos conjugados cuando el discriminante es menor que cero. Entonces, el determinante es simplemente el producto de los tres valores propios. Si solo uno de estos valores propios se vuelve cero, entonces todo el determinante es cero. Sea, por ejemplo, el valor propio real se vuelve cero ( ). Entonces, la matriz diagonalizada se convierte en una matriz 2 × 2 con los valores propios (generalmente complejos conjugados) en la diagonal principal. Pero esta matriz es el tensor métrico diagonalizado del espacio donde ; por lo tanto, lo anterior sugiere que en la singularidad ( ) el espacio es bidimensional cuando solo un valor propio se vuelve cero. ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =0}$

Geométricamente, la diagonalización es una rotación de la base de los vectores que componen la matriz de tal manera que la dirección de los vectores base coincida con la dirección de los vectores propios . Si es una matriz simétrica real , los vectores propios forman una base ortonormal que define un paralelepípedo rectangular cuya longitud, anchura y altura son las magnitudes de los tres valores propios. Este ejemplo es especialmente demostrativo en el sentido de que el determinante que es también el volumen del paralelepípedo es igual a longitud × anchura × altura, es decir, el producto de los valores propios. Haciendo que el volumen del paralelepípedo sea igual a cero, por ejemplo igualando la altura a cero, queda sólo una cara del paralelepípedo, un espacio bidimensional, cuya área es longitud × anchura. Continuando con la obliteración e igualando la anchura a cero, se queda una línea de tamaño longitud, un espacio unidimensional. Igualando aún más la longitud a cero sólo queda un punto, un espacio de dimensión 0, que marca el lugar donde ha estado el paralelepípedo. ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \gamma }$

Figura 3.

Una analogía de la óptica geométrica es la comparación de la singularidad con las cáusticas, como el patrón brillante de la Fig. 3, que muestra las cáusticas formadas por un vaso de agua iluminado desde el lado derecho. Los rayos de luz son un análogo de las líneas de tiempo de los observadores en caída libre localizados en la hipersuperficie sincronizada. A juzgar por los lados aproximadamente paralelos del contorno de la sombra proyectada por el vaso, se puede suponer que la fuente de luz está a una distancia prácticamente infinita del vaso (como el sol), pero esto no es seguro ya que la fuente de luz no se muestra en la foto. Por lo tanto, se puede suponer que los rayos de luz (líneas de tiempo) son paralelos sin que esto se pueda demostrar con certeza. El vaso de agua es un análogo de las ecuaciones de Einstein o del agente o agentes detrás de ellas que doblan las líneas de tiempo para formar el patrón de cáusticas (la singularidad). Este último no es tan simple como la cara de un paralelepípedo, sino que es una mezcla complicada de varios tipos de intersecciones. Se puede distinguir una superposición de espacios bidimensionales, unidimensionales o cerodimensionales, es decir, una mezcla de superficies y líneas, algunas de las cuales convergen en un punto ( cúspide ), como la formación de punta de flecha en el centro del patrón de cáusticas. ^{[2] [3]}

La conclusión de que los campos vectoriales geodésicos temporales deben alcanzar inevitablemente una singularidad después de un tiempo finito fue alcanzada independientemente por Raychaudhuri mediante otro método que condujo a la ecuación de Raychaudhuri , que también se llama ecuación de Landau-Raychaudhuri en honor a ambos investigadores.

Véase también

• Coordenadas normales
• Congruencia (relatividad general) , para una derivación de la descomposición cinemática y de la ecuación de Raychaudhuri.

Referencias

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2. Arnolʹd 1989, App. 16, Singularidades de los sistemas de rayos.
3. Arnolʹd 1996.

Bibliografía

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• Lifshitz, Evgeny M .; Sudakov, VV; Khalatnikov, IM (1961). "Singularidades de las soluciones cosmológicas de las ecuaciones gravitacionales.III". JETP . 40 : 1847.; Cartas de revisión física , 6 , 311 (1961)
• Arnolʹd, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 60 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.OCLC 18681352  .

• Arnold, VI (1996). Особенности каустик и волновых фронтов [ Singularidades de las cáusticas y los frentes de onda ]. Biblioteca del Matemático (en ruso). vol. 1. Moscú: FAZIS. ISBN 5-7036-0021-9.OCLC 43811626  .
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