En matemáticas , el cálculo de escala de tiempo es una unificación de la teoría de ecuaciones en diferencias con la de ecuaciones diferenciales , unificando el cálculo integral y diferencial con el cálculo de diferencias finitas , ofreciendo un formalismo para estudiar sistemas híbridos . Tiene aplicaciones en cualquier campo que requiera modelado simultáneo de datos discretos y continuos. Da una nueva definición de derivada tal que si uno diferencia una función definida en números reales, entonces la definición es equivalente a la diferenciación estándar, pero si uno usa una función definida en números enteros, entonces es equivalente al operador de diferencia directa .
Historia
El cálculo de escalas de tiempo fue introducido en 1988 por el matemático alemán Stefan Hilger. [1] Sin embargo, se han utilizado ideas similares antes y se remontan al menos a la introducción de la integral de Riemann-Stieltjes , que unifica sumas e integrales.
Ecuaciones dinámicas
Muchos resultados relacionados con ecuaciones diferenciales se trasladan con bastante facilidad a los resultados correspondientes de ecuaciones en diferencias, mientras que otros resultados parecen ser completamente diferentes de sus contrapartes continuas . [2] El estudio de ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo revela tales discrepancias y ayuda a evitar probar los resultados dos veces: una para ecuaciones diferenciales y otra para ecuaciones en diferencias. La idea general es demostrar un resultado para una ecuación dinámica donde el dominio de la función desconocida es la llamada escala de tiempo (también conocida como conjunto de tiempo), que puede ser un subconjunto cerrado arbitrario de los reales. De esta manera, los resultados se aplican no sólo al conjunto de números reales o al conjunto de números enteros sino a escalas de tiempo más generales, como un conjunto de Cantor .
Los tres ejemplos más populares de cálculo en escalas de tiempo son el cálculo diferencial , el cálculo en diferencias y el cálculo cuántico . Las ecuaciones dinámicas en una escala de tiempo tienen potencial para aplicaciones como en la dinámica de poblaciones . Por ejemplo, pueden modelar poblaciones de insectos que evolucionan continuamente durante la temporada, mueren en invierno mientras sus huevos están incubando o están inactivos y luego eclosionan en una nueva temporada, dando lugar a una población que no se superpone.
Definiciones formales
Una escala de tiempo (o cadena de medidas ) es un subconjunto cerrado de la línea real . La notación común para una escala de tiempo general es .
Los dos ejemplos de escalas de tiempo más comunes son los números reales y la escala de tiempo discreta .
Un único punto en una escala de tiempo se define como:
Operaciones en escalas de tiempo.
Los operadores de salto hacia adelante y salto hacia atrás representan el punto más cercano en la escala de tiempo a la derecha e izquierda de un punto determinado , respectivamente. Formalmente:
(operador de cambio de avance/salto)
(operador de cambio hacia atrás/salto)
La granulosidad es la distancia de un punto al punto más cercano a la derecha y viene dada por:
Para un , y .
Para una densidad izquierda ,
Clasificación de puntos
Para cualquiera , es:
queda denso si
bien denso si
dejado disperso si
derecho disperso si
denso si tanto el denso izquierdo como el denso derecho
aislado si ambos están dispersos por la izquierda y por la derecha
Como lo ilustra la figura de la derecha:
El punto es denso.
El punto es denso a la izquierda y disperso a la derecha.
El punto está aislado.
El punto está disperso a la izquierda y denso a la derecha.
Continuidad
La continuidad de una escala de tiempo se redefine como equivalente a la densidad. Se dice que una escala de tiempo es continua a la derecha en un punto si es densa a la derecha en un punto . De manera similar, se dice que una escala de tiempo es continua por la izquierda en el punto si se deja densa en el punto .
Derivado
Toma una función:
(donde R podría ser cualquier espacio de Banach , pero se establece en la línea real por simplicidad).
Definición: La derivada delta (también derivada de Hilger) existe si y sólo si:
La integral delta se define como la antiderivada con respecto a la derivada delta. Si tiene una derivada continua se establece
Transformada de Laplace y transformada z
Se puede definir una transformada de Laplace para funciones en escalas de tiempo, que utiliza la misma tabla de transformaciones para cualquier escala de tiempo arbitraria. Esta transformada se puede utilizar para resolver ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Si la escala de tiempo son números enteros no negativos, entonces la transformación es igual [2] a una transformada Z modificada :
Ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo.
Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las ecuaciones en diferencias estocásticas se pueden generalizar a ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo. [7]
Teoría de la medida en escalas de tiempo.
Asociada con cada escala de tiempo hay una medida natural [8] [9] definida a través de
^ Hilger, Stefan (1989). Ein Maßkettenkalkül mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten (tesis doctoral). Universidad de Würzburg. OCLC 246538565.
^ ab Martin Bohner y Allan Peterson (2001). Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo . Birkhäuser. ISBN978-0-8176-4225-9.
^ Ahlbrandt, Calvin D.; Morian, Cristina (2002). "Ecuaciones diferenciales parciales en escalas de tiempo". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 141 (1–2): 35–55. Código Bib : 2002JCoAM.141...35A. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00434-4 .
^ Jackson, B. (2006). "Ecuaciones dinámicas parciales en escalas de tiempo". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 186 (2): 391–415. Código Bib : 2006JCoAM.186..391J. doi : 10.1016/j.cam.2005.02.011 .
^ Bohner, M.; Guseinov, GS (2004). «Diferenciación parcial en escalas de tiempo» (PDF) . Sistemas dinámicos y aplicaciones . 13 : 351–379.
^ Bohner, M; Guseinov, GS (2005). "Integración múltiple en escalas de tiempo". Sistemas dinámicos y aplicaciones . CiteSeerX 10.1.1.79.8824 .
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^ Davis, John M.; Gravagne, Ian A.; Jackson, Billy J.; Marcos, Robert J. II; Ramos, Alicia A. (2007). "Revisión de la transformada de Laplace en escalas de tiempo". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 332 (2): 1291-1307. Código Bib : 2007JMAA..332.1291D. doi : 10.1016/j.jmaa.2006.10.089 .
^ Davis, John M.; Gravagne, Ian A.; Marcas, Robert J. II (2010). "Transformadas bilaterales de Laplace en escalas de tiempo: convergencia, convolución y caracterización de series temporales estocásticas estacionarias". Circuitos, Sistemas y Procesamiento de Señales . 29 (6): 1141-1165. doi :10.1007/s00034-010-9196-2. S2CID 16404013.
^ Bastos, Nuño RO; Mozyrska, Dorota; Torres, Delfim FM (2011). "Derivadas fraccionarias e integrales en escalas de tiempo mediante la transformada inversa de Laplace generalizada". Revista Internacional de Matemáticas y Computación . 11 (J11): 1–9. arXiv : 1012.1555 . Código Bib : 2010arXiv1012.1555B.
Otras lecturas
Agarwal, Ravi; Bohner, Martín; O'Regan, Donal; Peterson, Alan (2002). "Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo: una encuesta". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 141 (1–2): 1–26. Código Bib : 2002JCoAM.141....1A. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo Número especial de Journal of Computational and Applied Mathematics (2002)
Ecuaciones y aplicaciones dinámicas Número especial de Avances en ecuaciones en diferencias (2006)
Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo: análisis cualitativo y aplicaciones Número especial de Teoría de sistemas y dinámica no lineal (2009)
enlaces externos
El grupo de escalas de tiempo de la Universidad de Baylor