Borrador: Electrodinámica de Weber-Maxwell

Electrodinámica de Weber-Maxwell

La electrodinámica de Weber-Maxwell es una representación de la electrodinámica clásica expresada en términos de una ley de Coulomb generalizada que también puede aplicarse a cargas puntuales no relativistas en movimiento y aceleradas.

La electrodinámica de Weber-Maxwell se basa exactamente en las mismas ecuaciones de campo que la electrodinámica de Maxwell . A diferencia de la teoría de la electrodinámica de Maxwell, la electrodinámica de Weber-Maxwell no define la fuerza de Lorentz con la ley de fuerza de Lorentz , sino que explica la fuerza de Lorentz y el magnetismo mediante una hipótesis de Carl Friedrich Gauss .

Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en la electrodinámica de Weber-Maxwell o Maxwell.

La electrodinámica de Weber-Maxwell es en gran medida equivalente a la electrodinámica de Maxwell, ya que utiliza exactamente los mismos campos y solo describe el efecto de los campos electromagnéticos sobre la materia de forma ligeramente diferente. Para velocidades relativas pequeñas y aceleraciones despreciables, es compatible con la electrodinámica de Weber . Como resultado, la electrodinámica de Weber-Maxwell también es compatible con la ley de fuerza original de André-Marie Ampère para velocidades relativas pequeñas. A diferencia de la electrodinámica de Weber, la electrodinámica de Weber-Maxwell también es adecuada para describir ondas electromagnéticas en el vacío y proporciona aquí predicciones prácticamente idénticas a las de la electrodinámica de Maxwell.

La electrodinámica de Weber-Maxwell no es adecuada para aplicaciones en las que partículas cargadas se mueven a velocidades cercanas a la de la luz . En tales casos, es necesario recurrir a la mecánica relativista .

Historia

En los años 1820, André-Marie Ampère realizó numerosos experimentos con corriente continua. Resumió sus resultados mediante una ley de fuerza. La ley de fuerza de Ampère describe la fuerza que un segmento corto de corriente continua ejerce sobre otro segmento corto de corriente continua. Dado que los bucles conductores con corriente continua siempre deben estar cerrados y, por lo tanto, no existen segmentos aislados con corrientes continuas, la ley de fuerza original de Ampère es solo una de varias posibilidades para expresar las fuerzas entre bucles conductores con corriente continua. Por ejemplo, la ley de Biot-Savart , junto con la ley de fuerza de Ampère en forma moderna, también es una representación equivalente para bucles conductores con corriente continua. ^[1]

En 1835, Carl Friedrich Gauss se dio cuenta de que la ley de fuerza original de Ampère se podía explicar modificando la ley de Coulomb ^[2] . Supuso que la ley de Coulomb era incompleta y que, además de su dependencia de la distancia, también contenía una dependencia de la velocidad relativa. Basándose en esta modificación, Wilhelm Eduard Weber desarrolló en los años siguientes la electrodinámica weberiana. Gauss generalizó así una ley que sólo era aplicable a corrientes continuas sobre cargas puntuales, lo que marcó el comienzo del desarrollo de una primera electrodinámica, todavía incompleta.

Otra generalización de la cuasiestática fue desarrollada por James Clerk Maxwell . En 1864, estudió la cuestión de si la ley de Biot-Savart también podía aplicarse a los bucles de conductores que contienen huecos. Encontró que en este caso se producen inconsistencias. Como solución, propuso un término adicional, que hoy se conoce como corriente de desplazamiento . Una consecuencia notable de su extensión fue la predicción de las ondas electromagnéticas en el vacío.

A primera vista, las generalizaciones de Gauss y Maxwell de la cuasiestática son conceptos incompatibles, ya que cada una de ellas se basa en leyes de fuerza diferentes para elementos de corriente continua. Como la electrodinámica de Gauss y Weber en torno a 1865 todavía no era capaz de describir las ondas electromagnéticas en el vacío, la investigación de la década siguiente se centró cada vez más en la electrodinámica de Maxwell y en la detección de las ondas electromagnéticas postuladas. Heinrich Rudolf Hertz logró demostrar la existencia de ondas electromagnéticas en varios experimentos y artículos entre 1886 y 1889. Esto hizo que pronto la electrodinámica de Weber se considerara obsoleta.

Unos años más tarde, los primeros experimentos, como el de Michelson-Morley, demostraron que las ecuaciones de Maxwell en combinación con la ley de fuerzas de Lorentz no eran completamente correctas, ya que describían la propagación de ondas en un medio de propagación. Sin embargo, la detección de este medio de propagación fracasó, lo que condujo al desarrollo de la transformación de Lorentz que culminó en 1905 con la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein . La electrodinámica de Weber ya no se tuvo en cuenta en estos desarrollos. ^{[3] [4]}

La ley de Ampère en su forma original, la interpretación del magnetismo de Gauss y la electrodinámica de Weber se volvieron algo más conocidas después de alrededor de 1990 debido a los trabajos de JP Wesley y AKT Assis. ^{[5] [6]} Un aspecto complicado fue que muchas obras de Ampère, Coulomb, Gauss y Weber nunca habían sido traducidas al inglés. Esto solo lo hicieron en los últimos años AKT Assis y otros. ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12]}

La electrodinámica de Weber-Maxwell es un desarrollo relativamente nuevo y muestra que la electrodinámica de Weber es totalmente compatible con las ecuaciones de Maxwell. ^{[13] [14]} Integra la interpretación de Gauss del magnetismo en la electrodinámica de Maxwell calibrando la solución de las ecuaciones de Maxwell para cargas puntuales en movimiento arbitrario calculadas por Oleg D. Jefimenko de tal manera que se vuelve compatible con la hipótesis de Gauss.

Representación matemática

Fuerza de Coulomb generalizada

En la electrodinámica de Weber-Maxwell, la fuerza electromagnética que una carga puntual con la trayectoria ejerce sobre otra carga puntual con la trayectoria en el tiempo viene dada por la ecuación ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t)}$ ${\displaystyle q_{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$

Aquí

es el vector de distancia retardada,

la velocidad relativa retardada y

la aceleración relativa retardada. ^[14] es el factor de Lorentz . Las letras en negrita son vectores, las letras regulares representan la distancia euclidiana correspondiente , por ejemplo . ${\displaystyle \gamma (v)}$ ${\displaystyle r=\Vert \mathbf {r} \Vert }$

Además de la fórmula de fuerza, se requiere el tiempo, que se puede calcular mediante la ecuación ${\displaystyle \tau }$

El tiempo corresponde al tiempo en el que la fuerza ha abandonado la carga para alcanzar la carga en el momento . La ecuación muestra que la fuerza electromagnética se propaga con la velocidad de la luz en el vacío en cada sistema inercial , aunque las ecuaciones son invariantes galileanas . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle q_{d}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c=r/(t-\tau )}$

Por cierto, es importante que en las fórmulas ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) solo se utilice el tiempo pasado , pero no el tiempo actual . Por un lado, esto se desprende de la derivación de la fórmula ( 1 ) a partir de las ecuaciones de Maxwell y, por otro lado, garantiza que la fuerza para cualquier carga puntual se propaga a la velocidad de la luz independientemente de su velocidad relativa a la fuente de la fuerza . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q_{d}}$ ${\displaystyle q_{s}}$

La interpretación como teoría de campo

La fórmula ( 1 ) se puede interpretar como una fuerza entre dos cargas puntuales. Sin embargo, la fórmula ( 1 ) también se puede utilizar para calcular la fuerza de una sola carga puntual sobre una red completa de otras cargas puntuales. De esta manera, se obtiene lo que normalmente se denomina un campo. Esta red también puede moverse, por ejemplo, a la velocidad Si la velocidad es constante, la trayectoria de una partícula de la red es , donde es la ubicación de la partícula en el tiempo La fuerza ( 1 ) también se puede interpretar como una fórmula de campo dependiente de la ubicación y la velocidad, al igual que la fórmula de fuerza de Lorentz. ${\displaystyle \mathbf {v} '.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{d}(t)=\mathbf {r} '+\mathbf {v} '\,t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t=0.}$

A diferencia de la interpretación clásica de las ecuaciones de Maxwell, la electrodinámica de Weber-Maxwell enfatiza el papel de las cargas puntuales generadoras de campos, ya que sus trayectorias definen de manera única los campos. Sin embargo, en la interpretación estándar de las ecuaciones de Maxwell, los campos se interpretan a menudo como entidades que existen independientemente de las cargas puntuales.

Esta interpretación diferente tiene como consecuencia que en la electrodinámica de Weber-Maxwell no es necesario conocer los campos en todas partes en el espacio y el tiempo para predecir su evolución en el futuro mediante las ecuaciones de Maxwell, sino que basta con conocer las trayectorias de todas las cargas puntuales, lo que puede reducir la cantidad de información que se debe almacenar y los costes de cálculo en las simulaciones por ordenador.

Derivación de las ecuaciones de Maxwell

El punto de partida de la derivación son los potenciales de Liénard-Wiechert . Los potenciales de Liénard-Wiechert describen los potenciales eléctricos y magnéticos generados por una carga eléctrica puntual en movimiento . Es posible utilizar los potenciales y calcular los campos correspondientes y . ^{[14] [15]} ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Para obtener la electrodinámica de Weber-Maxwell, se puede aprovechar que una carga de prueba estacionaria solo es receptiva al campo eléctrico , pero no al campo magnético . En este caso especial, se aplica. Siempre que la carga generadora de campo sea mucho más lenta que la velocidad de la luz, se permite aplicar una transformación galileana para transformar la fuerza desde el marco del centro de momento de la carga de prueba a otro marco inercial de movimiento lento. Además, se permite aplicar la mecánica newtoniana . ${\displaystyle q_{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} .}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =q_{d}\,\mathbf {E} }$ ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle q_{d}}$

Después de realizar la transformación de Galileo, se hace evidente que la fórmula de fuerza resultante no es completamente correcta. Esto es una consecuencia del hecho de que la transformación de Galileo y las leyes de Newton son aproximaciones. Para corregir el resultado, en lugar de la fórmula se puede aplicar la fórmula . Para pequeños , es casi la unidad. Independientemente de esto, el factor adicional es necesario para asegurar que la fórmula de fuerza resultante produzca predicciones experimentalmente correctas. Como consecuencia, al introducir esta calibración, la electrodinámica de Weber-Maxwell se vuelve compatible con la hipótesis de Gauss y la electrodinámica de Weber. Esto a su vez tiene la consecuencia de que la fuerza ( 1 ) reproduce correctamente la fuerza de Lorentz generada por una corriente continua o una corriente alterna de baja frecuencia sin tener en cuenta el campo . ^[14] ${\displaystyle \mathbf {F} =q_{d}\,\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma (v)\,q_{d}\,\mathbf {E} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma (v)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Características

Constancia de la velocidad de la luz

En la electrodinámica de Weber-Maxwell, la velocidad de propagación de la fuerza electromagnética para cada carga puntual corresponde exactamente a la velocidad de la luz en el vacío , independientemente de su velocidad relativa a la fuente de la fuerza. La razón de esto es la ecuación ( 5 ).

Principio de relatividad

La electrodinámica de Weber-Maxwell es invariante galileana, ya que las fórmulas ( 1 ) y ( 5 ) tienen la misma forma en cualquier marco inercial y dependen únicamente de cantidades que son invariantes bajo una transformación galileana.

Magnetismo y fuerza de Lorentz

Se puede demostrar que la fuerza ( 1 ) es equivalente a la fuerza de Weber para velocidades relativas pequeñas y aceleraciones relativas pequeñas. ^[14] Esto implica que la electrodinámica de Weber-Maxwell puede representar correctamente los efectos magnéticos de corrientes continuas y corrientes alternas de baja frecuencia. Se pueden encontrar más detalles sobre este tema en la literatura especializada sobre electrodinámica de Weber.

Conservación del momento

En la electrodinámica de Weber-Maxwell, la tercera ley de Newton también se aplica cuando las cargas se aceleran y emiten ondas electromagnéticas. Esto es fácil de demostrar, ya que solo cambia el signo de la fuerza cuando se intercambian las dos cargas puntuales y sus trayectorias en las ecuaciones ( 1 ) a ( 5 ). La tercera ley de Newton es el único supuesto necesario para demostrar que el momento total de un sistema aislado que consta de cualquier número de cargas puntuales es invariante en el tiempo. ^[13]

Ondas electromagnéticas

La electrodinámica de Weber-Maxwell es capaz de describir ondas electromagnéticas, porque se deriva de las ecuaciones de Maxwell con inclusión explícita de la corriente de desplazamiento.

Interacciones pseudo-instantáneas

La fuerza ( 1 ) actúa a menudo como una acción instantánea a distancia que no requiere tiempo para propagarse, aunque es evidente por la fórmula ( 5 ) que siempre se propaga a la velocidad de la luz. Esto se aplica si las trayectorias son casi líneas rectas durante el período de tiempo en el que la fuerza se mueve de a . En estas circunstancias, y la velocidad relativa se convierte en una constante independiente del tiempo. Se puede demostrar que en estas condiciones la fórmula ( 1 ) es idéntica a la fuerza de Weber, que, como la ley de Coulomb, parece describir una interacción de acción instantánea a distancia. ^[14] ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle q_{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \approx \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Aplicaciones prácticas

Antena dipolo

El campo de fuerza electromagnética calculado mediante la electrodinámica de Weber-Maxwell desde la perspectiva de una red de cargas de prueba estacionarias.

El campo de fuerza electromagnética calculado mediante la electrodinámica de Weber-Maxwell desde la perspectiva de una red de cargas de prueba que se mueven hacia la izquierda a la mitad de la velocidad de la luz.

La electrodinámica de Weber-Maxwell es muy adecuada para calcular campos generados por una o varias cargas puntuales. El dipolo hertziano puede servir como ejemplo. El dipolo hertziano consta de una carga puntual negativa que oscila hacia arriba y hacia abajo en el eje z con frecuencia angular y amplitud y una carga puntual positiva que oscila inversamente. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle R}$

Solo calculamos el campo de una carga puntual , ya que el cálculo para la otra carga puntual es idéntico. La trayectoria de la carga puntual oscilante es . Para la carga de prueba, suponemos la trayectoria , donde es la ubicación de la carga de prueba en el momento . representa una velocidad constante de la carga de prueba. ${\displaystyle q_{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t)=\mathbf {e} _{z}\,R\,\sin(\omega \,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{d}(t)=\mathbf {r} '+\mathbf {v} '\,t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '}$

Las dos trayectorias y ahora se pueden insertar en las ecuaciones ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ). Esto produce ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{d}(t)}$

y

Ahora se necesita el tiempo , que se puede obtener mediante la ecuación ( 5 ): ${\displaystyle \tau }$

La ecuación ( 9 ) tiene dos soluciones, de las cuales sólo una satisface la condición de causalidad . Esta solución es ${\displaystyle \tau <t}$

La ecuación ( 10 ) puede ahora insertarse en las ecuaciones ( 6 ), ( 7 ) y ( 8 ) y estas a su vez en la ecuación ( 1 ).

Para ilustrar la solución, se muestran dos ejemplos. Cuando la carga de prueba se mueve, se hace visible un efecto Doppler adicional .

Electromagnetismo computacional

Modelado de difracción mediante cargas puntuales

Modelado de interferencias en una doble rendija utilizando cargas puntuales

La fórmula de fuerza ( 1 ) es muy adecuada para la simulación por ordenador de sistemas multicuerpo debido a su gran similitud con la ley de Coulomb, la ley de gravitación de Newton y otros tipos de fuerzas como las restricciones o las fuerzas de resorte . A diferencia de los solucionadores de campo convencionales del electromagnetismo computacional , las ecuaciones de Maxwell no tienen que resolverse numéricamente. El desafío con la electrodinámica de Weber-Maxwell, por otro lado, es modelar todas las cantidades de carga involucradas con cargas puntuales y modelar sus movimientos y las restricciones de una manera adecuada.

Sin embargo, muchos fenómenos fundamentales de la electrodinámica pueden ser modelados ya con relativamente pocas cargas puntuales. Se muestran dos ejemplos en los que se simula una antena dipolar mediante varios dipolos hertzianos (verde). La onda radiada actúa sobre una barrera de cargas puntuales negativas y positivas que están conectadas por fuerzas de resorte (azul). La onda incidente genera una fuerza que pone en movimiento estas cargas puntuales. Después de un cierto tiempo, el sistema mecánico se encuentra en su estado estable y se puede ver cómo la onda secundaria de los dipolos mostrados en azul debilita el campo entrante. Dependiendo de la disposición de los dipolos, se pueden ver efectos como interferencia de onda o difracción . ^[16]

Estos modelos demuestran que la electrodinámica clásica e incluso la óptica también pueden interpretarse como subdominios de la mecánica newtoniana. El hecho de que la fuerza electromagnética no se propague infinitamente rápido no es relevante en este contexto.

Referencias

1. Maxwell, James Clerk (1881). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Vol. 2 (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. pág. 162.
2. Gauss, Carl Friedrich (1867). Carl Friedrich Gauss Werke. Banda Fünfter . Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. pag. 617.
3. Montes, Juan Manuel (2023). "Sobre la modernización de la electrodinámica de Weber". Magnetismo . 3 (2): 102–120. doi : 10.3390/magnetismo3020009 .
4. Frauenfelder, Urs; Weber, Joa (2024). "Una descripción matemática del núcleo de Weber como un sistema mecánico cuántico y clásico". Análisis y Física Matemática . 14 (31). Bibcode :2024AnMP...14...31F. doi : 10.1007/s13324-024-00891-5 .
5. Wesley, JP (1990). "Electrodinámica de Weber, parte I. Teoría general, efectos de corrientes estacionarias". Fundamentos de Física Letters . 3 (5): 443–469. Bibcode :1990FoPhL...3..443W. doi :10.1007/BF00665929. S2CID  122235702.
6. André Koch Torres Assis (1994). Electrodinámica de Weber . Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
7. AKT Assis; JPMC Chaib (2015). Electrodinámica de Ampère: Análisis del significado y evolución de la fuerza de Ampère entre elementos actuales, junto con una traducción completa de su obra maestra: Teoría de los fenómenos electrodinámicos, deducida únicamente de la experiencia (PDF) . C. Roy Keys Inc.
8. Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber sobre electrodinámica traducidas al inglés. Volumen I: Sistema absoluto de unidades de Gauss y Weber (PDF) . Apeiron Montreal.
9. Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber sobre electrodinámica traducidas al inglés. Volumen II: La fuerza fundamental de Weber y la unificación de las leyes de Coulomb, Ampere y Faraday (PDF) . Apeiron Montreal.
10. Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber sobre electrodinámica traducidas al inglés. Volumen III: Medición de la constante c de Weber, diamagnetismo, la ecuación telegráfica y la propagación de ondas eléctricas a la velocidad de la luz (PDF) . Apeiron Montreal.
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12. Otros Koch Torres Assis; Louis L. Bucciarelli (2023). Memorias de Coulomb sobre torsión, electricidad y magnetismo. Traducido al inglés (PDF) . Apeiron Montreal.
13. Kühn, Steffen (2023). "La importancia de la electrodinámica de Weber-Maxwell en la ingeniería eléctrica". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 71 (8): 6698–6706. Bibcode :2023ITAP...71.6698K. doi :10.1109/TAP.2023.3278078.
14. Kühn, Steffen (2024). "Electrodinámica de Weber-Maxwell: electromagnetismo clásico en su forma más compacta y pura". Electromagnetismo . 44 (5): 282–299. doi :10.1080/02726343.2024.2375328.
15. Jefimenko, Oleg D. (2004). Retardo electromagnético y teoría de la relatividad . Electret Scientific Company Star City. pág. 89, ecuación (4-4.34) y 93, ecuación (4-5.2).
16. "OpenWME: Implementación libre y de código abierto de un solucionador de campo basado en la electrodinámica de Weber-Maxwell". Github. 2023. Consultado el 21 de octubre de 2024 .