Análisis de fluctuación sin tendencia

Término estadístico

En procesos estocásticos , teoría del caos y análisis de series de tiempo , el análisis de fluctuación sin tendencia ( DFA ) es un método para determinar la autoafinidad estadística de una señal. Es útil para analizar series temporales que parecen ser procesos de memoria larga (tiempo de correlación divergente, por ejemplo, función de autocorrelación decreciente de ley de potencia ) o ruido 1/f .

El exponente obtenido es similar al exponente de Hurst , excepto que DFA también se puede aplicar a señales cuyas estadísticas subyacentes (como media y varianza) o dinámica no son estacionarias (cambian con el tiempo). Está relacionado con medidas basadas en técnicas espectrales como la autocorrelación y la transformada de Fourier .

Peng et al. introdujo el DFA en 1994 en un artículo que ha sido citado más de 3000 veces hasta 2022 ^[1] y representa una extensión del análisis de fluctuación (FA) (ordinario), que se ve afectado por no estacionariedades.

Definición

DFA en un proceso de movimiento browniano, con valores crecientes de . ${\displaystyle n}$

Algoritmo

Dado: una serie de tiempo . ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{N}}$

Calcule su valor promedio . ${\displaystyle \langle x\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}x_{t}}$

Resumirlo en un proceso . Esta es la suma acumulada , o perfil , de la serie temporal original. Por ejemplo, el perfil de un ruido blanco iid es un paseo aleatorio estándar . ${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )}$

Seleccione un conjunto de números enteros, de modo que , el más pequeño , el más grande , y la secuencia se distribuya aproximadamente de manera uniforme en escala logarítmica :. En otras palabras, se trata aproximadamente de una progresión geométrica . ^[2] ${\displaystyle T=\{n_{1},...,n_{k}\}}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}}$ ${\displaystyle n_{1}\approx 4}$ ${\displaystyle n_{k}\approx N}$ ${\displaystyle \log(n_{2})-\log(n_{1})\approx \log(n_{3})-\log(n_{2})\approx \cdots }$

Para cada uno , divide la secuencia en segmentos consecutivos de longitud . Dentro de cada segmento, calcule el ajuste de línea recta de mínimos cuadrados (la tendencia local ). Sea el ajuste lineal por partes resultante. ${\displaystyle n\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{1,n},Y_{2,n},...,Y_{N,n}}$

Calcule la desviación cuadrática media de la tendencia local ( fluctuación local ): y su media cuadrática es la fluctuación total: $${\displaystyle F(n,i)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{t=in+1}^{in+n}\left(X_{t}-Y_{t,n}\right)^{2}}}.}$$

${\displaystyle F(n)={\sqrt {{\frac {1}{N/n}}\sum _{i=1}^{N/n}F(n,i)^{2}}}.}$

(Si no es divisible por , entonces se puede descartar el resto de la secuencia o repetir el procedimiento en la secuencia invertida y luego tomar su media cuadrática. ^[3] ) ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Haz el diagrama log-log . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \log n-\log F(n)}$

Interpretación

Una línea recta de pendiente en el gráfico log-log indica una autoafinidad estadística de la forma . Como aumenta monótonamente con , siempre tenemos . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F(n)\propto n^{\alpha }}$ ${\displaystyle F(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

El exponente de escala es una generalización del exponente de Hurst , y el valor preciso proporciona información sobre las autocorrelaciones de la serie: ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \alpha <1/2}$: anticorrelacionado
• ${\displaystyle \alpha \simeq 1/2}$: ruido blanco no correlacionado
• ${\displaystyle \alpha >1/2}$: correlacionado
• ${\displaystyle \alpha \simeq 1}$: ruido 1/f, ruido rosa
• ${\displaystyle \alpha >1}$: no estacionario, ilimitado
• ${\displaystyle \alpha \simeq 3/2}$: ruido browniano

Debido a que el desplazamiento esperado en un paseo aleatorio no correlacionado de longitud N crece como , un exponente de correspondería a ruido blanco no correlacionado. Cuando el exponente está entre 0 y 1, el resultado es ruido gaussiano fraccionario . ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Errores en la interpretación

Aunque el algoritmo DFA siempre produce un número positivo para cualquier serie temporal, no implica necesariamente que la serie temporal sea autosimilar. La autosimilitud requiere que el gráfico log-log sea suficientemente lineal en un amplio rango de . Además, se ha demostrado que una combinación de técnicas que incluyen la estimación de máxima verosimilitud (MLE), en lugar de mínimos cuadrados, se aproxima mejor al exponente de escala o ley de potencia. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

Además, hay muchas cantidades escalables similares a exponentes que se pueden medir para una serie temporal autosemejante, incluida la dimensión divisoria y el exponente de Hurst . Por lo tanto, el exponente de escala DFA no es una dimensión fractal y no tiene ciertas propiedades deseables que tiene la dimensión de Hausdorff , aunque en ciertos casos especiales está relacionado con la dimensión de conteo de cajas para el gráfico de una serie de tiempo. ${\displaystyle \alpha }$

Generalizaciones

Generalización a tendencias polinómicas (DFA de orden superior)

El algoritmo DFA estándar proporcionado anteriormente elimina una tendencia lineal en cada segmento. Si eliminamos una tendencia polinómica de grado n en cada segmento, se denomina DFAn o DFA de orden superior. ^[7]

Dado que es una suma acumulativa de , una tendencia lineal en es una tendencia constante en , que es una tendencia constante en (visible como secciones cortas de "mesetas planas"). En este sentido, DFA1 elimina la media de segmentos de la serie temporal antes de cuantificar la fluctuación. ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}-\langle x\rangle }$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}-\langle x\rangle }$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

De manera similar, una tendencia de grado n es una tendencia de grado (n-1) . Por ejemplo, DFA1 elimina las tendencias lineales de segmentos de la serie temporal antes de cuantificar la fluctuación, DFA1 elimina las tendencias parabólicas de , etc. ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

El análisis Hurst R/S elimina tendencias constantes en la secuencia original y, por lo tanto, en su eliminación de tendencia es equivalente a DFA1.

Generalización a diferentes momentos (DFA multifractal)

DFA se puede generalizar calculando y luego haciendo la gráfica log-log de . Si hay una fuerte linealidad en la gráfica de , entonces esa pendiente es . ^[8] DFA es el caso especial en el que . $${\displaystyle F_{q}(n)=\left({\frac {1}{N/n}}\sum _{i=1}^{N/n}F(n,i)^{q}\right)^{1/q}.}$$ ${\displaystyle \log n-\log F_{q}(n)}$ ${\displaystyle \log n-\log F_{q}(n)}$ ${\displaystyle \alpha (q)}$ ${\displaystyle q=2}$

Los sistemas multifractales escalan en función . Esencialmente, los exponentes de escala no necesitan ser independientes de la escala del sistema. En particular, DFA mide el comportamiento de escala de las fluctuaciones del segundo momento. ${\displaystyle F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}}$

Kantelhardt et al. pretendía que este exponente de escala fuera una generalización del exponente clásico de Hurst. El exponente clásico de Hurst corresponde a casos estacionarios y a casos no estacionarios. ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle H=\alpha (2)}$ ${\displaystyle H=\alpha (2)-1}$

Aplicaciones

El método DFA se ha aplicado a muchos sistemas, por ejemplo, secuencias de ADN, ^{[11] [12]} oscilaciones neuronales, ^[10] detección de patologías del habla, ^[13] fluctuaciones de los latidos del corazón en diferentes etapas del sueño, ^[14] y análisis de patrones de comportamiento animal. ^[15]

Se ha estudiado el efecto de las tendencias en DFA. ^[dieciséis]

Relaciones con otros métodos, para tipos específicos de señal

Para señales con autocorrelación que decae según la ley de potencias

En el caso de autocorrelaciones que decaen según la ley de potencias, la función de correlación decae con un exponente : . Además, el espectro de potencia decae a medida que . Los tres exponentes están relacionados por: ^[11] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C(L)\sim L^{-\gamma }\!\ }$ ${\displaystyle P(f)\sim f^{-\beta }\!\ }$

• ${\displaystyle \gamma =2-2\alpha }$
• ${\displaystyle \beta =2\alpha -1}$y
• ${\displaystyle \gamma =1-\beta }$.

Las relaciones se pueden derivar utilizando el teorema de Wiener-Khinchin . La relación del DFA con el método del espectro de potencia ha sido bien estudiada. ^[17]

Por tanto, está ligado a la pendiente del espectro de potencia y se utiliza para describir el color del ruido mediante esta relación: . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =(\beta +1)/2}$

Para ruido gaussiano fraccionario

Para el ruido gaussiano fraccional (FGN), tenemos , y por tanto , y , donde es el exponente de Hurst . para FGN es igual a . ^[18] ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \beta =2H-1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H}$

Para movimiento browniano fraccionario

Para el movimiento browniano fraccionario (FBM), tenemos , y por tanto , y , donde es el exponente de Hurst . para FBM es igual a . ^[9] En este contexto, FBM es la suma acumulada o la integral de FGN, por lo tanto, los exponentes de sus espectros de potencia difieren en 2. ${\displaystyle \beta \in [1,3]}$ ${\displaystyle \alpha \in [1,2]}$ ${\displaystyle \beta =2H+1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H+1}$

Ver también

• Sistema multifractal
• Criticidad autoorganizada
• Autoafinidad
• Análisis de series temporales
• exponente de Hurst

Referencias

1. Peng, CK; et al. (1994). "Organización en mosaico de nucleótidos del ADN". Física. Rev. E. 49 (2): 1685–1689. Código bibliográfico : 1994PhRvE..49.1685P. doi : 10.1103/physreve.49.1685 . PMID  9961383. S2CID  3498343.
2. Piedra dura, Richard; Poil, Simon-Shlomo; Schiavone, Giuseppina; Jansen, Rick; Nikulin, Vadim; Mansvelder, Huibert; Linkenkaer-Hansen, Klaus (2012). "Análisis de fluctuación sin tendencia: una visión sin escalas de las oscilaciones neuronales". Fronteras en Fisiología . 3 : 450. doi : 10.3389/fphys.2012.00450 . ISSN  1664-042X. PMC 3510427 . PMID  23226132. 
3. Zhou, Yu; Leung, Yee (21 de junio de 2010). "Análisis de fluctuación multifractal sin tendencia ponderada temporalmente y su aplicación en el análisis del comportamiento de escalado en series de temperatura". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2010 (6): P06021. doi :10.1088/1742-5468/2010/06/P06021. ISSN  1742-5468. S2CID  119901219.
4. Peng, CK; et al. (1994). "Cuantificación de exponentes de escala y fenómenos de cruce en series temporales de latidos no estacionarios". Caos . 49 (1): 82–87. Código Bib :1995Caos...5...82P. doi :10.1063/1.166141. PMID  11538314. S2CID  722880.
5. Bryce, RM; Sprague, KB (2012). "Revisando el análisis de fluctuaciones sin tendencia". Ciencia. Representante . 2 : 315. Código Bib : 2012NatSR...2E.315B. doi :10.1038/srep00315. PMC 3303145 . PMID  22419991. 
6. Clauset, Aarón; Rohilla Shalizi, Cosma; Newman, MEJ (2009). "Distribuciones de la ley de potencias en datos empíricos". Revisión SIAM . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Código Bib : 2009SIAMR..51..661C. doi :10.1137/070710111. S2CID  9155618.
7. Kantelhardt JW; et al. (2001). "Detección de correlaciones de largo alcance con análisis de fluctuaciones sin tendencia". Física A. 295 (3–4): 441–454. arXiv : cond-mat/0102214 . Código Bib : 2001PhyA..295..441K. doi :10.1016/s0378-4371(01)00144-3. S2CID  55151698.
8. HE Stanley, JW Kantelhardt; SA Zschiegner; E. Koscielny-Bunde; S. Havlin; A. Bunde (2002). "Análisis de fluctuación multifractal sin tendencia de series temporales no estacionarias". Física A. 316 (1–4): 87–114. arXiv : física/0202070 . Código Bib : 2002PhyA..316...87K. doi :10.1016/s0378-4371(02)01383-3. S2CID  18417413. Archivado desde el original el 28 de agosto de 2018 . Consultado el 20 de julio de 2011 .
9. Movahed, M. Sadegh; et al. (2006). "Análisis de fluctuación multifractal sin tendencia de series temporales de manchas solares". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 02 .
10. Hardstone, Richard; Poil, Simon-Shlomo; Schiavone, Giuseppina; Jansen, Rick; Nikulin, Vadim V.; Mansvelder, Huibert D.; Linkenkaer-Hansen, Klaus (1 de enero de 2012). "Análisis de fluctuación sin tendencia: una visión sin escalas de las oscilaciones neuronales". Fronteras en Fisiología . 3 : 450. doi : 10.3389/fphys.2012.00450 . PMC 3510427 . PMID  23226132. 
11. Buldyrev; et al. (1995). "Correlación de largo alcance: propiedades de secuencias de ADN codificantes y no codificantes: análisis de Genbank". Física. Rev. E. 51 (5): 5084–5091. Código bibliográfico : 1995PhRvE..51.5084B. doi :10.1103/physreve.51.5084. PMID  9963221.
12. Bunde A, Havlin S (1996). "Fractales y sistemas desordenados, Springer, Berlín, Heidelberg, Nueva York". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
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15. Bogachev, Mikhail I.; Lyanova, Asya I.; Sinitca, Aleksandr M.; Pyko, Svetlana A.; Pyko, Nikita S.; Kuzmenko, Alejandro V.; Romanov, Sergey A.; Brikova, Olga I.; Tsygankova, Margarita; Ivkin, Dmitry Y.; Okovityi, Sergey V.; Prikhodko, Veronika A.; Kaplun, Dmitrii I.; Sysoev, Yuri I.; Kayumov, Airat R. (marzo de 2023). "Comprender la compleja interacción de los regímenes persistentes y antipersistentes en las trayectorias de movimiento de los animales como una característica destacada de sus perfiles de patrones de comportamiento: hacia una cuantificación de datos de pruebas de ansiedad basada en un modelo automatizado y robusto". Procesamiento y Control de Señales Biomédicas . 81 : 104409. doi : 10.1016/j.bspc.2022.104409. S2CID  254206934.
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18. Taqqu, Murad S.; et al. (1995). "Estimadores de dependencia a largo plazo: un estudio empírico". Fractales . 3 (4): 785–798. doi :10.1142/S0218348X95000692.

enlaces externos

• Tutorial sobre cómo calcular el análisis de fluctuación sin tendencia Archivado el 3 de febrero de 2019 en Wayback Machine en Matlab utilizando Neurophysiological Biomarker Toolbox .
• Código FastDFA MATLAB para calcular rápidamente el exponente de escala de DFA en conjuntos de datos muy grandes.
• Physionet Una buena descripción general del código DFA y C para calcularlo.
• Implementación de MFDFA Python del análisis de fluctuación sin tendencia (multifractal).