Teorema de Stokes

Teorema en cálculo vectorial

Ilustración del teorema de Stokes, con una superficie Σ , su límite ∂Σ y el vector normal n . La dirección de circulación positiva del contorno límite ∂Σ y la dirección n del flujo positivo a través de la superficie Σ están relacionadas por una regla de la mano derecha (es decir, los dedos de la mano derecha circulan a lo largo de ∂Σ y el pulgar se dirige a lo largo de n ).

El teorema de Stokes , ^[1] también conocido como el teorema de Kelvin-Stokes ^{[2] [3]} en honor a Lord Kelvin y George Stokes , el teorema fundamental para los rizos o simplemente el teorema del rizo , ^[4] es un teorema en cálculo vectorial sobre . Dado un campo vectorial , el teorema relaciona la integral del rizo del campo vectorial sobre alguna superficie, con la integral de línea del campo vectorial alrededor del límite de la superficie. El teorema clásico de Stokes se puede enunciar en una sola oración: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La integral de línea de un campo vectorial sobre un bucle es igual a la integral de superficie de su rotacional sobre la superficie encerrada.

El teorema de Stokes es un caso especial del teorema de Stokes generalizado . ^{[5] [6]} En particular, un campo vectorial en puede considerarse como una 1-forma en cuyo caso su rotacional es su derivada exterior , una 2-forma. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Teorema

Sea una superficie orientada suave en con borde . Si se define un campo vectorial y tiene derivadas parciales de primer orden continuas en una región que contiene , entonces Más explícitamente, la igualdad dice que ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

El principal desafío en una formulación precisa del teorema de Stokes es definir la noción de límite. Se sabe bien que superficies como el copo de nieve de Koch , por ejemplo, no presentan un límite integrable según el método de Riemann, y la noción de medida de superficie en la teoría de Lebesgue no se puede definir para una superficie que no sea de Lipschitz . Una técnica (avanzada) es pasar a una formulación débil y luego aplicar la maquinaria de la teoría de la medida geométrica ; para ese enfoque, consulte la fórmula de coarea . En este artículo, en cambio, utilizamos una definición más elemental, basada en el hecho de que se puede discernir un límite para subconjuntos de dimensión completa de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Se dará una explicación más detallada para posteriores discusiones. Sea una curva plana de Jordan suave por partes . El teorema de la curva de Jordan implica que se divide en dos componentes, uno compacto y otro que no es compacto. Sea denotar la parte compacta; entonces está acotada por . Ahora basta con transferir esta noción de límite a lo largo de una función continua a nuestra superficie en . Pero ya tenemos una función de este tipo: la parametrización de . ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Supongamos que es suave por partes en el entorno de , con . ^{[nota 1]} Si es la curva espacial definida por ^{[nota 2]} entonces llamamos al límite de , escrito . ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Con la notación anterior, si es cualquier campo vectorial suave en , entonces ^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .}$$

Aquí, " " representa el producto escalar en . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Caso especial de un teorema más general

El teorema de Stokes puede considerarse un caso especial de la siguiente identidad: ^[9] donde es cualquier vector o campo escalar uniforme en . Cuando es un campo escalar uniforme, se recupera el teorema de Stokes estándar. $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

Prueba

La demostración del teorema consta de 4 pasos. Suponemos el teorema de Green , por lo que lo que nos interesa es cómo reducir el complicado problema tridimensional (teorema de Stokes) a un problema rudimentario bidimensional (teorema de Green). ^[10] Al demostrar este teorema, los matemáticos normalmente lo deducen como un caso especial de un resultado más general , que se enuncia en términos de formas diferenciales y se demuestra utilizando maquinaria más sofisticada. Aunque potentes, estas técnicas requieren una formación sustancial, por lo que la demostración a continuación las evita y no presupone ningún conocimiento más allá de una familiaridad con el cálculo vectorial básico y el álgebra lineal. ^[8] Al final de esta sección, se ofrece una breve demostración alternativa del teorema de Stokes, como corolario del teorema de Stokes generalizado.

Prueba elemental

Primer paso de la demostración elemental (parametrización de la integral)

Como en el § Teorema , reducimos la dimensión utilizando la parametrización natural de la superficie. Sean ψ y γ como en esa sección, y observemos que por cambio de variables donde J _y ψ representa la matriz jacobiana de ψ en y = γ ( t ) . $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }}$$

Sea ahora { e _u , e _v } una base ortonormal en las direcciones de coordenadas de R ² . ^{[nota 3]}

Reconociendo que las columnas de J _y ψ son precisamente las derivadas parciales de ψ en y , podemos expandir la ecuación anterior en coordenadas como $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}$$

Segundo paso de la prueba elemental (definición del pullback)

El paso anterior sugiere que definamos la función $${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}$$

Ahora bien, si las funciones de valor escalar y se definen de la siguiente manera, entonces, ${\displaystyle P_{u}}$ ${\displaystyle P_{v}}$ $${\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}$$ $${\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}$$

Este es el retroceso de F a lo largo de ψ y, por lo anterior, satisface $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}$$

Hemos reducido con éxito un lado del teorema de Stokes a una fórmula bidimensional; ahora pasamos al otro lado.

Tercer paso de la demostración elemental (segunda ecuación)

En primer lugar, calculamos las derivadas parciales que aparecen en el teorema de Green , mediante la regla del producto : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}$$

Convenientemente, el segundo término se anula en la diferencia, por igualdad de parciales mixtos . Por lo tanto, ^{[nota 4]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}$$

Pero ahora consideremos la matriz en esa forma cuadrática, es decir, . Afirmamos que esta matriz, de hecho, describe un producto vectorial. Aquí el superíndice " " representa la transposición de matrices . ${\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Para ser precisos, sea una matriz arbitraria de 3 × 3 y sea ${\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}$$

Nótese que x ↦ a × x es lineal, por lo que está determinada por su acción sobre los elementos de la base. Pero mediante cálculo directo Aquí, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } representa una base ortonormal en las direcciones de coordenadas de . ^{[nota 5]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por lo tanto ( A − A ^T ) x = a × x para cualquier x .

Sustituyendo A , obtenemos ${\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}$ $${\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$$

Ahora podemos reconocer la diferencia de parciales como un producto triple (escalar) : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}$$

Por otra parte, la definición de una integral de superficie también incluye un producto triple: ¡el mismo! $${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}$$

Así que obtenemos $${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Cuarto paso de la demostración elemental (reducción al teorema de Green)

Combinando el segundo y tercer paso y luego aplicando el teorema de Green se completa la prueba. El teorema de Green afirma lo siguiente: para cualquier región D limitada por la curva cerrada de Jordan γ y dos funciones suaves de valor escalar definidas en D; ${\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Podemos sustituir la conclusión del PASO 2 en el lado izquierdo del teorema de Green anterior y sustituir la conclusión del PASO 3 en el lado derecho. QED

Demostración mediante formas diferenciales

Las funciones se pueden identificar con las 1-formas diferenciales a través del mapa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}$$

Escriba la 1-forma diferencial asociada a una función F como ω _F . Luego se puede calcular que donde ★ es la estrella de Hodge y es la derivada exterior . Por lo tanto, por el teorema de Stokes generalizado, ^[11] $${\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}$$

Aplicaciones

Campos irrotacionales

En esta sección, discutiremos el campo irrotacional ( campo vectorial lamelar ) basado en el teorema de Stokes.

Definición 2-1 (campo irrotacional). Un campo vectorial suave F en un espacio abierto es irrotacional ( campo vectorial lamelar ) si ∇ × F = 0 . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

Este concepto es muy fundamental en mecánica; como demostraremos más adelante, si F es irrotacional y el dominio de F es simplemente conexo , entonces F es un campo vectorial conservativo .

Teorema de Helmholtz

En esta sección, presentaremos un teorema derivado del teorema de Stokes que caracteriza los campos vectoriales sin vórtices. En mecánica clásica y dinámica de fluidos, se denomina teorema de Helmholtz .

Teorema 2-1 (Teorema de Helmholtz en dinámica de fluidos). ^{[5] [3] : 142} Sea un subconjunto abierto con un campo vectorial laminar F y sean c ₀ , c ₁ : [0, 1] → U bucles suaves por partes. Si existe una función H : [0, 1] × [0, 1] → U tal que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [TLH0] H es suave por partes,
• [TLH1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [TLH2] H ( t , 1) = c ₁ ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) para todo s ∈ [0, 1] .

Entonces, $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}$$

Algunos libros de texto como Lawrence ^[5] llaman a la relación entre c ₀ y c ₁ establecida en el teorema 2-1 "homotópica" y a la función H : [0, 1] × [0, 1] → U "homotopía entre c ₀ y c ₁ ". Sin embargo, "homotópica" u "homotopía" en el sentido mencionado anteriormente son diferentes (más fuertes que) las definiciones típicas de "homotópica" u "homotopía"; estas últimas omiten la condición [TLH3]. Por lo tanto, de ahora en adelante nos referiremos a la homotopía (homótopo) en el sentido del teorema 2-1 como una homotopía tubular (resp. tubular-homotópica) . ^{[nota 6]}

Demostración del teorema de Helmholtz

Las definiciones de γ ₁ , ..., γ ₄

En lo que sigue, abusamos de la notación y utilizamos " " para la concatenación de rutas en el grupoide fundamental y " " para invertir la orientación de una ruta. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

Sea D = [0, 1] × [0, 1] , y divida ∂ D en cuatro segmentos de línea γ _j . de modo que $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}$$

Suponiendo que c ₀ y c ₁ son homotópicos suaves por partes, existe una homotopía suave por partes H : D → M $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}$$

Sea S la imagen de D bajo H. Esto se deduce inmediatamente del teorema de Stokes. F es laminar, por lo que el lado izquierdo se anula, es decir $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$ $${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Como H es tubular (satisfaciendo [TLH3]), y . Por lo tanto, las integrales de línea a lo largo de Γ ₂ ( s ) y Γ ₄ ( s ) se cancelan, dejando ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ $${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Por otra parte, c ₁ = Γ ₁ , , de modo que la igualdad deseada se sigue casi inmediatamente. ${\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}$

Fuerzas conservadoras

El teorema de Helmholtz explica por qué el trabajo realizado por una fuerza conservativa al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria. Primero, presentamos el Lema 2-2, que es un corolario y un caso especial del teorema de Helmholtz.

Lema 2-2. ^{[5] [6]} Sea un subconjunto abierto , con un campo vectorial laminar F y un bucle suave por partes c ₀ : [0, 1] → U . Fijemos un punto p ∈ U , si existe una homotopía H : [0, 1] × [0, 1] → U tal que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [SC0] H es suave por partes ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p para todo s ∈ [0, 1] .

Entonces, $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

El Lema 2-2 anterior se desprende del Teorema 2-1. En el Lema 2-2, la existencia de H que satisface [SC0] a [SC3] es crucial; la pregunta es si tal homotopía puede tomarse para bucles arbitrarios. Si U es simplemente conexo, tal H existe. La definición de espacio simplemente conexo es la siguiente:

Definición 2-2 (espacio simplemente conexo). ^{[5] [6]} Sea no vacío y conexo por trayectorias . M se llama simplemente conexo si y solo si para cualquier bucle continuo, c : [0, 1] → M existe una homotopía tubular continua H : [0, 1] × [0, 1] → M desde c hasta un punto fijo p ∈ c ; es decir, ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• [SC0'] H es continua ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p para todo s ∈ [0, 1] .

La afirmación de que "para una fuerza conservativa, el trabajo realizado al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria" podría parecer una consecuencia inmediata si la M está simplemente conexa. Sin embargo, recuerde que la conexión simple solo garantiza la existencia de una homotopía continua que satisfaga [SC1-3]; en cambio, buscamos una homotopía suave por partes que satisfaga esas condiciones.

Afortunadamente, la brecha en la regularidad se resuelve mediante el teorema de aproximación de Whitney. ^{[6] : 136, 421  [12]} En otras palabras, la posibilidad de encontrar una homotopía continua, pero no poder integrar sobre ella, en realidad se elimina con el beneficio de las matemáticas superiores. Así, obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 2-2. ^{[5] [6]} Sea abierto y simplemente conexo con un campo vectorial irrotacional F . Para todos los bucles suaves por partes c : [0, 1] → U ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

Ecuaciones de Maxwell

En la física del electromagnetismo , el teorema de Stokes proporciona la justificación de la equivalencia de la forma diferencial de la ecuación de Maxwell-Faraday y la ecuación de Maxwell-Ampère y la forma integral de estas ecuaciones. Para la ley de Faraday, el teorema de Stokes se aplica al campo eléctrico : ${\displaystyle \mathbf {E} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Para la ley de Ampère, se aplica el teorema de Stokes al campo magnético : ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Notas

1. representa el conjunto de imágenes de ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \psi }$
2. puede no ser una curva de Jordan si el bucle interactúa mal con . No obstante, siempre es un bucle , y topológicamente es una suma conexa de un número contable de curvas de Jordan, de modo que las integrales están bien definidas. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. En este artículo, tenga en cuenta que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, se les asignan diferentes significados. Por ejemplo, en la notación de algunos libros de texto, { e _u , e _v } puede significar lo siguiente { t _u , t _v } respectivamente. Sin embargo, en este artículo, se trata de dos significados completamente diferentes. Aquí, y el " " representa la norma euclidiana . $${\displaystyle \mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.}$$ $${\displaystyle h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$
4. Para todos , para toda matriz cuadrada , y por lo tanto . ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A;n\times n}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}}$
5. En este artículo, tenga en cuenta que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos se asignan a cosas diferentes. $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$
6. Existen libros de texto que utilizan los términos "homotopía" y "homotópico" en el sentido del Teorema 2-1. ^[5] De hecho, esto es muy conveniente para el problema específico de las fuerzas conservativas. Sin embargo, ambos usos de homotopía aparecen con suficiente frecuencia como para que sea necesario algún tipo de terminología para desambiguar, y el término "homotopía tubular" adoptado aquí sirve bastante bien para ese fin.

Referencias

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9. Pérez-Garrido, Antonio (2024). "Recuperación de teoremas poco utilizados del cálculo vectorial y su aplicación a problemas de electromagnetismo". American Journal of Physics . 92 (5): 354–359. arXiv : 2312.17268 . doi :10.1119/5.0182191.
10. Colley, Susan Jane (2002). Cálculo vectorial (4.ª ed.). Boston: Pearson. págs. 500–3.
11. Edwards, Harold M. (1994). Cálculo avanzado: un enfoque de formas diferenciales . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.
12. LS Pontryagin, Variedades lisas y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, American Mathematical Society , Providence, RI, 1959, págs. 1–114. MR 0115178 (22 #5980 [4]). Véanse los teoremas 7 y 8.