El método de teoremas mecánicos ( en griego : Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), también conocido como El método , es una de las principales obras supervivientes del antiguo polímata griego Arquímedes . El método toma la forma de una carta de Arquímedes a Eratóstenes , [1] el bibliotecario jefe de la Biblioteca de Alejandría , y contiene el primer uso explícito atestiguado de indivisibles (los indivisibles son versiones geométricas de infinitesimales ). [1] [2] La obra se pensó originalmente perdida, pero en 1906 fue redescubierta en el célebre Palimpsesto de Arquímedes . El palimpsesto incluye la explicación de Arquímedes del "método mecánico", llamado así porque se basa en el centro de pesos de las figuras ( centroide ) y la ley de la palanca , que fueron demostrados por Arquímedes en Sobre el equilibrio de los planos .
Arquímedes no admitió el método de los indivisibles como parte de las matemáticas rigurosas y, por lo tanto, no publicó su método en los tratados formales que contienen los resultados. En estos tratados, demuestra los mismos teoremas por extenuación , encontrando límites superiores e inferiores rigurosos que convergen a la respuesta requerida. Sin embargo, el método mecánico fue lo que utilizó para descubrir las relaciones para las que luego dio pruebas rigurosas.
La idea de Arquímedes es utilizar la ley de la palanca para determinar las áreas de las figuras a partir del centro de masas conocido de otras figuras. [1] : 8 El ejemplo más simple en lenguaje moderno es el área de la parábola. Un enfoque moderno sería encontrar esta área calculando la integral
que es un resultado elemental en cálculo integral . En cambio, el método de Arquímedes equilibra mecánicamente la parábola (la región curva que se integra arriba) con un cierto triángulo que está hecho del mismo material. La parábola es la región en el plano entre el eje y la curva como varía de 0 a 1. El triángulo es la región en el mismo plano entre el eje y la línea , también como varía de 0 a 1.
Corta la parábola y el triángulo en rebanadas verticales, una para cada valor de . Imagina que el eje es una palanca, con un fulcro en . La ley de la palanca establece que dos objetos en lados opuestos del fulcro se equilibrarán si cada uno tiene el mismo torque , donde el torque de un objeto es igual a su peso por su distancia al fulcro. Para cada valor de , la rebanada del triángulo en la posición tiene una masa igual a su altura , y está a una distancia del fulcro; por lo que equilibraría la rebanada correspondiente de la parábola, de altura , si esta última se moviera a , a una distancia de 1 en el otro lado del fulcro.
Como cada par de rebanadas se equilibra, mover toda la parábola a equilibraría todo el triángulo. Esto significa que si la parábola original sin cortar se cuelga con un gancho desde el punto (de modo que toda la masa de la parábola esté unida a ese punto), equilibrará el triángulo que se encuentra entre y .
El centro de masas de un triángulo se puede encontrar fácilmente mediante el siguiente método, también debido a Arquímedes. [1] : 14 Si se traza una línea mediana desde cualquiera de los vértices de un triángulo hasta el borde opuesto , el triángulo se equilibrará sobre la mediana, considerada como un fulcro. La razón es que si el triángulo se divide en segmentos de línea infinitesimales paralelos a , cada segmento tiene la misma longitud en lados opuestos de la mediana, por lo que el equilibrio se sigue por simetría. Este argumento se puede hacer fácilmente riguroso por agotamiento utilizando pequeños rectángulos en lugar de líneas infinitesimales, y esto es lo que hace Arquímedes en Sobre el equilibrio de los planos .
Por lo tanto, el centro de masa de un triángulo debe estar en el punto de intersección de las medianas. Para el triángulo en cuestión, una mediana es la línea , mientras que una segunda mediana es la línea . Al resolver estas ecuaciones, vemos que la intersección de estas dos medianas está por encima del punto , de modo que el efecto total del triángulo sobre la palanca es como si la masa total del triángulo estuviera empujando hacia abajo (o colgando de) este punto. El torque total ejercido por el triángulo es su área, 1/2, multiplicado por la distancia 2/3 de su centro de masa desde el fulcro en . Este torque de 1/3 equilibra la parábola, que está a una distancia 1 del fulcro. Por lo tanto, el área de la parábola debe ser 1/3 para darle el torque opuesto.
Este tipo de método se puede utilizar para hallar el área de una sección arbitraria de una parábola, y se pueden utilizar argumentos similares para hallar la integral de cualquier potencia de , aunque las potencias superiores se vuelven complicadas sin álgebra. Arquímedes sólo llegó hasta la integral de , que utilizó para hallar el centro de masa de un hemisferio y, en otro trabajo, el centro de masa de una parábola.
Considere la parábola de la figura de la derecha. Elija dos puntos en la parábola y llámelos A y B.
Supóngase que el segmento AC es paralelo al eje de simetría de la parábola. Supóngase además que el segmento BC se encuentra sobre una línea tangente a la parábola en B. La primera proposición establece: [1] : 14
Sea D el punto medio de AC . Construyamos un segmento de línea JB a través de D , donde la distancia de J a D es igual a la distancia de B a D . Pensaremos en el segmento JB como una "palanca" con D como su fulcro. [3] Como Arquímedes había demostrado previamente, el centro de masa del triángulo está en el punto I de la "palanca" donde DI : DB = 1:3. Por lo tanto, basta con mostrar que si todo el peso del interior del triángulo reposa en I , y todo el peso de la sección de la parábola en J , la palanca está en equilibrio.
Consideremos una sección transversal infinitamente pequeña del triángulo dado por el segmento HE , donde el punto H se encuentra en BC , el punto E se encuentra en AB y HE es paralelo al eje de simetría de la parábola. Llamemos F a la intersección de HE y la parábola y G a la intersección de HE y la palanca . Si el peso de todos esos segmentos HE descansa en los puntos G donde intersecan la palanca, entonces ejercen el mismo momento de torsión sobre la palanca que el peso total del triángulo que descansa en I . Por lo tanto, queremos demostrar que si el peso de la sección transversal HE descansa en G y el peso de la sección transversal EF de la sección de la parábola descansa en J , entonces la palanca está en equilibrio. En otras palabras, basta con demostrar que EF : GD = EH : JD . Pero esa es una consecuencia rutinaria de la ecuación de la parábola. QED
Nuevamente, para ilustrar el método mecánico, es conveniente utilizar un poco de geometría de coordenadas. [4] Si se coloca una esfera de radio 1 con su centro en x = 1, el radio de la sección transversal vertical en cualquier x entre 0 y 2 viene dado por la siguiente fórmula:
La masa de esta sección transversal, para efectos de equilibrio sobre una palanca, es proporcional al área:
Arquímedes consideró entonces rotar la región triangular entre y = 0 e y = x y x = 2 en el plano x - y alrededor del eje x , para formar un cono. [1] : 18–21 La sección transversal de este cono es un círculo de radio
y el área de esta sección transversal es
Entonces, si se pesan juntas las rebanadas del cono y de la esfera , el área transversal combinada es:
Si las dos rebanadas se colocan juntas a una distancia de 1 del fulcro, su peso total se equilibraría exactamente con un círculo de área a una distancia x del fulcro en el otro lado. Esto significa que el cono y la esfera juntos, si todo su material se moviera a x = 1, equilibrarían un cilindro de radio de base 1 y longitud 2 en el otro lado.
Como x varía de 0 a 2, el cilindro tendrá un centro de gravedad a una distancia 1 del fulcro, por lo que todo el peso del cilindro puede considerarse en la posición 1. La condición de equilibrio asegura que el volumen del cono más el volumen de la esfera sea igual al volumen del cilindro.
El volumen del cilindro es el área de la sección transversal multiplicada por la altura, que es 2, o . Arquímedes también pudo hallar el volumen del cono mediante el método mecánico, ya que, en términos modernos, la integral involucrada es exactamente la misma que la del área de la parábola. El volumen del cono es 1/3 del área de su base multiplicada por la altura. La base del cono es un círculo de radio 2, con área , mientras que la altura es 2, por lo que el área es . Restando el volumen del cono del volumen del cilindro se obtiene el volumen de la esfera:
La dependencia del volumen de la esfera con respecto al radio es obvia a partir del escalado, aunque tampoco era trivial hacerlo rigurosamente en aquel entonces. El método proporciona entonces la fórmula familiar para el volumen de una esfera . Al escalar las dimensiones linealmente, Arquímedes extendió fácilmente el resultado del volumen a los esferoides . [1] : 21-23
El argumento de Arquímedes es casi idéntico al argumento anterior, pero su cilindro tenía un radio mayor, de modo que el cono y el cilindro colgaban a una mayor distancia del punto de apoyo. Arquímedes consideraba que este argumento era su mayor logro, por lo que pidió que la figura que lo acompañaba, de la esfera, el cono y el cilindro en equilibrio, se grabara en su lápida.
Para hallar el área de la superficie de la esfera, Arquímedes argumentó que, así como el área del círculo podía considerarse como una cantidad infinita de triángulos rectángulos infinitesimales que rodeaban la circunferencia (véase Medición del círculo ), el volumen de la esfera podía considerarse dividido en muchos conos con una altura igual al radio y la base en la superficie. Todos los conos tienen la misma altura, por lo que su volumen es 1/3 del área de la base por la altura.
Arquímedes afirma que el volumen total de la esfera es igual al volumen de un cono cuya base tiene la misma área de superficie que la esfera y cuya altura es el radio. [1] : 20-21 No se dan detalles para el argumento, pero la razón obvia es que el cono se puede dividir en conos infinitesimales dividiendo el área de la base, y luego cada cono hace una contribución de acuerdo con su área de base, exactamente lo mismo que en la esfera.
Sea S la superficie de la esfera . El volumen del cono con área de base S y altura r es , que debe ser igual al volumen de la esfera: . Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera debe ser , o "cuatro veces su círculo más grande". Arquímedes lo demuestra rigurosamente en Sobre la esfera y el cilindro .
Una de las cosas notables del método es que Arquímedes encuentra dos formas definidas por secciones de cilindros, cuyo volumen no involucra , a pesar de que las formas tienen límites curvilíneos. Este es un punto central de la investigación: ciertas formas curvilíneas podrían rectificarse con regla y compás, de modo que existen relaciones racionales no triviales entre los volúmenes definidos por las intersecciones de sólidos geométricos.
Arquímedes enfatiza esto al comienzo del tratado e invita al lector a intentar reproducir los resultados con algún otro método. A diferencia de los otros ejemplos, el volumen de estas formas no se calcula rigurosamente en ninguna de sus otras obras. A partir de fragmentos del palimpsesto, parece que Arquímedes inscribió y circunscribió formas para demostrar límites rigurosos para el volumen, aunque no se han conservado los detalles.
Las dos formas que considera son la intersección de dos cilindros en ángulos rectos (el bicilindro ), que es la región de ( x , y , z ) que obedece a: y el prisma circular, que es la región que obedece a: Ambos problemas tienen un corte que produce una integral fácil para el método mecánico. Para el prisma circular, corte el eje x en rebanadas. La región en el plano y - z en cualquier x es el interior de un triángulo rectángulo de longitud de lado cuya área es , de modo que el volumen total es: que se puede rectificar fácilmente utilizando el método mecánico. Agregar a cada sección triangular una sección de una pirámide triangular con área equilibra un prisma cuya sección transversal es constante.
Para la intersección de dos cilindros, el corte se pierde en el manuscrito, pero se puede reconstruir de una manera obvia en paralelo al resto del documento: si el plano xz es la dirección del corte, las ecuaciones para el cilindro dan que mientras que , que define una región que es un cuadrado en el plano x - z de longitud de lado , de modo que el volumen total es: Y esta es la misma integral que para el ejemplo anterior. Jan Hogendijk argumenta que, además del volumen del bicilindro, Arquímedes conocía su área de superficie , que también es racional. [5]
Una serie de proposiciones de geometría se prueban en el palimpsesto mediante argumentos similares. Un teorema es que la ubicación de un centro de masa de un hemisferio se encuentra a 5/8 de la distancia desde el polo hasta el centro de la esfera. Este problema es importante porque evalúa una integral cúbica.
