Potencial efectivo

Energía potencial neta encontrada en mecánica orbital.

El potencial efectivo (también conocido como energía potencial efectiva ) combina múltiples efectos, quizás opuestos, en un solo potencial. En su forma básica, es la suma de la energía potencial centrífuga "opuesta" a la energía potencial de un sistema dinámico . Puede usarse para determinar las órbitas de los planetas (tanto newtonianas como relativistas ) y para realizar cálculos atómicos semiclásicos, y a menudo permite reducir los problemas a menos dimensiones .

Definición

Potencial efectivo. E > 0: órbita hiperbólica (A ₁ como pericentro), E = 0: órbita parabólica (A ₂ como pericentro), E < 0: órbita elíptica ( A ₃ como pericentro, A ₃ ' como apocentro), E = E _min : órbita circular ( A ₄ como radio). Los puntos A ₁ , ..., A ₄ se denominan puntos de inflexión.

La forma básica de potencial se define como: ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$

$${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),}$$

• L es el momento angular
• r es la distancia entre las dos masas
• μ es la masa reducida de los dos cuerpos (aproximadamente igual a la masa del cuerpo en órbita si una masa es mucho mayor que la otra); y
• U ( r ) es la forma general del potencial .

La fuerza efectiva, entonces, es el gradiente negativo del potencial efectivo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

Propiedades importantes

Hay muchas características útiles del potencial efectivo, como

$${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}$$

Para encontrar el radio de una órbita circular, simplemente minimice el potencial efectivo con respecto a , o de manera equivalente, establezca la fuerza neta en cero y luego resuelva para : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{0}}$

$${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$$

${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ ${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$

Una órbita circular puede ser estable o inestable. Si es inestable, una pequeña perturbación podría desestabilizar la órbita, pero una órbita estable volvería al equilibrio. Para determinar la estabilidad de una órbita circular, determine la concavidad del potencial efectivo. Si la concavidad es positiva, la órbita es estable:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0}$$

La frecuencia de pequeñas oscilaciones, utilizando el análisis hamiltoniano básico , es

$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},}$$

${\displaystyle r}$

Potencial gravitacional

Componentes del potencial efectivo de dos cuerpos en rotación: (arriba) los potenciales gravitacionales combinados; (btm) los potenciales gravitacional y rotacional combinados

Visualización del potencial efectivo en un plano que contiene la órbita (modelo de lámina de goma gris con contornos violetas de igual potencial), los puntos lagrangianos (rojo) y un planeta (azul) que orbita una estrella (amarillo) ^[1]

Considere una partícula de masa m que orbita alrededor de un objeto mucho más pesado de masa M. Supongamos la mecánica newtoniana , que es a la vez clásica y no relativista. La conservación de la energía y el momento angular dan dos constantes E y L , que tienen valores

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$$

$${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}}$$

• ${\displaystyle {\dot {r}}}$es la derivada de r con respecto al tiempo,
• ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$es la velocidad angular de la masa  m ,
• G es la constante gravitacional ,
• E es la energía total, y
• L es el momento angular .

Sólo se necesitan dos variables, ya que el movimiento ocurre en un plano. Sustituyendo la segunda expresión en la primera y reordenando se obtiene

$${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$$

$${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

^{[Nota 1]}equilibriosmétrica relativista general de Schwarzschild

Los potenciales efectivos se utilizan ampliamente en varios subcampos de la materia condensada, por ejemplo, el potencial de núcleo de Gauss (Likos 2002, Baeurle 2004) y el potencial de Coulomb filtrado (Likos 2001).

Ver también

• Geopotencial

Notas

1. Se puede encontrar una derivación similar en José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach , págs. 31–33

Referencias

1. Seidov, Zakir F. (2004). "Seidov, problema de Roche". La revista astrofísica . 603 : 283–284. arXiv : astro-ph/0311272 . Código Bib : 2004ApJ...603..283S. doi :10.1086/381315.

Otras lecturas

• José, JV; Saletán, EJ (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63636-0..
• Likos, CN; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M .; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. (2002). "Interacción efectiva gaussiana entre dendrímeros flexibles de cuarta generación: un estudio teórico y experimental". J. química. Física . 117 (4): 1869–1877. Código bibliográfico : 2002JChPh.117.1869L. doi : 10.1063/1.1486209. Archivado desde el original el 19 de julio de 2011.

• Baeurle, SA; Kroener J. (2004). "Modelado de interacciones efectivas de agregados micelares de tensioactivos iónicos con el potencial de núcleo de Gauss". J. Matemáticas. química . 36 (4): 409–421. doi :10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb.

• Likos, CN (2001). "Interacciones efectivas en física de materia condensada blanda". Informes de Física . 348 (4–5): 267–439. Código bibliográfico : 2001PhR...348..267L. CiteSeerX  10.1.1.473.7668 . doi :10.1016/S0370-1573(00)00141-1.