Efecto Franz-Keldysh

Cambio en la absorción óptica de un semiconductor cuando se le aplica un campo eléctrico

El efecto Franz-Keldysh es un cambio en la absorción óptica de un semiconductor cuando se le aplica un campo eléctrico . El efecto recibe su nombre del físico alemán Walter Franz y del físico ruso Leonid Keldysh .

Karl W. Böer fue el primero en observar el desplazamiento del borde de absorción óptica con campos eléctricos ^[1] durante el descubrimiento de los dominios de alto campo ^[2] y lo denominó efecto Franz. ^[3] Unos meses después, cuando estuvo disponible la traducción al inglés del artículo de Keldysh, lo corrigió y lo denominó efecto Franz-Keldysh. ^[4]

Tal como se concibió originalmente, el efecto Franz-Keldysh es el resultado de funciones de onda que se "filtran" hacia la banda prohibida. Cuando se aplica un campo eléctrico, las funciones de onda del electrón y del hueco se convierten en funciones de Airy en lugar de ondas planas. La función de Airy incluye una "cola" que se extiende hacia la banda prohibida clásicamente. Según la regla de oro de Fermi , cuanto mayor sea la superposición entre las funciones de onda de un electrón libre y un hueco, más fuerte será la absorción óptica. Las colas de Airy se superponen ligeramente incluso si el electrón y el hueco están a potenciales ligeramente diferentes (ubicaciones físicas ligeramente diferentes a lo largo del campo). El espectro de absorción ahora incluye una cola a energías por debajo de la banda prohibida y algunas oscilaciones por encima de ella. Sin embargo, esta explicación omite los efectos de los excitones , que pueden dominar las propiedades ópticas cerca de la banda prohibida.

El efecto Franz-Keldysh se produce en semiconductores uniformes y voluminosos, a diferencia del efecto Stark, confinado en lo cuántico , que requiere un pozo cuántico. Ambos se utilizan para moduladores de electroabsorción . El efecto Franz-Keldysh suele requerir cientos de voltios , lo que limita su utilidad con la electrónica convencional, aunque este no es el caso de los moduladores de electroabsorción de efecto Franz-Keldysh disponibles comercialmente que utilizan una geometría de guía de ondas para guiar el portador óptico.

Efecto sobre la espectroscopia de modulación

El coeficiente de absorción está relacionado con la constante dieléctrica (especialmente la parte compleja ₂ ). A partir de la ecuación de Maxwell, podemos encontrar fácilmente la relación, ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\omega k_{0}}{c}}={{\omega \kappa _{2}} \over {n_{0}c}}.}$

n ₀ y k ₀ son las partes real y compleja del índice de refracción del material. Consideraremos la transición directa de un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción inducida por la luz incidente en un cristal perfecto e intentaremos tener en cuenta el cambio del coeficiente de absorción para cada hamiltoniano con una interacción probable como electrón-fotón, electrón-hueco, campo externo. Este enfoque se desprende de. ^[5] Ponemos el primer objetivo en el trasfondo teórico del efecto Franz-Keldysh y la espectroscopia de modulación de tercera derivada.

Un hamiltoniano electrónico en un campo electromagnético

${\displaystyle H={1 \over 2m}(\mathbf {p} +e\mathbf {A} )^{2}+V(\mathbf {r} )}$

donde A es el potencial vectorial y V ( r ) es un potencial periódico.

${\displaystyle \mathbf {A} ={1 \over 2}A_{0}\mathbf {e} [e^{\mathrm {i} (\mathbf {k} _{p}\cdot \mathbf {r} -\omega t)}+e^{-\mathrm {i} (\mathbf {k} _{p}\cdot \mathbf {r} -\omega t)}]}$

( k _p y e son el vector de onda del campo em y el vector unitario ).

Despreciando el término cuadrado y utilizando la relación dentro del calibre de Coulomb , obtenemos ${\displaystyle A^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {p} =\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$

${\displaystyle H\sim {p^{2} \over 2m}+V(\mathbf {r} )+{e \over m}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} }$

Luego, utilizando la función de Bloch ( j = v, c que significa banda de valencia, banda de conducción) ${\displaystyle |jk\rangle =e^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{jk}(\mathbf {r} )}$

La probabilidad de transición se puede obtener de manera que

${\displaystyle w_{cv}={2\pi \over \hbar }|\langle ck'|{e \over m}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} |vk\rangle |^{2}\delta [E_{c}(k')-E_{v}(k)-\hbar \omega ]}$

${\displaystyle ={\pi e^{2} \over 2\hbar m^{2}}A_{0}^{2}|\langle ck'|\exp(\mathrm {i} \mathbf {k} _{p}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {e} \cdot \mathbf {p} |vk\rangle |^{2}\delta [E_{c}(k')-E_{v}(k)-\hbar \omega ]}$

${\displaystyle \mathbf {e} \cdot \mathbf {p} _{cv}={1 \over V}\int _{v}e^{\mathrm {i} (\mathbf {k} _{p}+\mathbf {k} -\mathbf {k} ')\cdot \mathbf {r} }{u^{*}}_{ck'}(\mathbf {r} )\mathbf {e} \cdot (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} )u_{vk}(\mathbf {r} )d^{3}r}$

La disipación de potencia de las ondas electromagnéticas por unidad de tiempo y unidad de volumen da lugar a la siguiente ecuación

${\displaystyle \hbar \omega w_{cv}={1 \over 2}\omega \kappa _{2}\epsilon _{0}{E_{0}}^{2}}$

De la relación entre el campo eléctrico y el potencial vectorial, , podemos decir ${\displaystyle \mathbf {E} =-{{\partial \mathbf {A} } \over {\partial t}}}$ ${\displaystyle E_{0}=\omega A_{0}}$

Y finalmente podemos obtener la parte imaginaria de la constante dieléctrica y seguramente el coeficiente de absorción. ${\displaystyle \kappa ={{\pi e^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}\sum _{k,k'}|\mathbf {e} \cdot \mathbf {p} _{cv}|^{2}\delta [E_{c}(k')-E_{v}(k)-\hbar \omega ]\delta _{kk'}}$

Hamiltoniano de dos cuerpos (electrón-hueco) con campo electromagnético

Un electrón en la banda de valencia (vector de onda k) se excita por absorción de fotones en la banda de conducción (el vector de onda en la banda es ) y deja un hueco en la banda de valencia (el vector de onda del hueco es ). En este caso, incluimos la interacción electrón-hueco. ( ) ${\displaystyle k'=k_{e}}$ ${\displaystyle k_{h}=-k}$ ${\displaystyle V(r_{e}-r_{h})}$

Pensando en la transición directa, es casi lo mismo. Pero supongamos que no se ignora la ligera diferencia del momento debido a la absorción del fotón y que el par electrón-hueco del estado ligado es muy débil y que la aproximación de la masa efectiva es válida para el tratamiento. Entonces podemos elaborar el siguiente procedimiento, la función de onda y los vectores de onda del electrón y el hueco. ${\displaystyle |k_{e}|,|k_{h}|}$

${\displaystyle \Psi _{ij}(r_{e},r_{h})=\psi _{ik_{e}}(r_{e})\psi _{jk_{h}}(r_{h})}$(i, j son los índices de banda, y r _e , r _h , k _e , k _h son las coordenadas y los vectores de onda del electrón y el hueco respectivamente)

Y podemos tomar el momento del centro de masa Q tal que y definir el hamiltoniano ${\displaystyle Q=k_{e}+k_{h}.}$ ${\displaystyle H=H_{e}+H_{h}+V(r_{e}-r_{h})}$

Luego, las funciones de Bloch del electrón y del hueco se pueden construir con el término de fase ${\displaystyle A_{cv}^{n,Q}}$ ${\displaystyle \Psi ^{n,Q}(r_{e},r_{h})=\sum _{c,k_{e},v,k_{h}}A_{cv}^{n,Q}(k_{e},k_{h})\psi _{ck_{e}}(r_{e})\psi _{vk_{h}}(r_{h})}$

Si V varía lentamente a lo largo de la distancia de la integral, el término puede tratarse de la siguiente manera.

Aquí asumimos que las bandas de conducción y valencia son parabólicas con masas escalares y que en la parte superior de la banda de valencia , es decir ( está la brecha de energía) ${\displaystyle \mathrm {E} _{v}(0)=0}$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}(k_{e})={{\hbar ^{2}k_{e}^{2}} \over {2m_{e}}}+\mathrm {E} _{G},\mathrm {E} _{v}(k_{h})={{\hbar ^{2}k_{h}^{2}} \over {2m_{h}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{G}}$

Ahora, la transformada de Fourier de la ecuación ( 1 ), la ecuación de masa efectiva para el excitón, se puede escribir como ${\displaystyle A_{cv}^{n,Q}(k_{e},k_{h})}$

${\displaystyle [(-{\hbar ^{2} \over 2M}\nabla ^{2})+(-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2}-{e^{2} \over 4\pi \epsilon r})]\Phi ^{n,k}(r,R)=[\mathrm {E} -\mathrm {E} _{G}]\cdot \Phi ^{n,Q}(r,R)}$

${\displaystyle r=r_{e}-r_{h},R={{m_{e}r_{e}+m_{h}r_{h}} \over {m_{e}+m_{h}}},{1 \over \mu }={1 \over m_{e}}+{1 \over m_{h}},M=m_{e}+m_{h}}$

entonces la solución de la ecuación está dada por

${\displaystyle \Psi ^{n,Q}(r,R)=\Psi _{Q}(R)\psi _{n}(r)}$ ${\displaystyle \Psi ^{n,Q}(r,R)={1 \over {\sqrt {V}}}\exp(iQ\cdot R)\phi _{n}(r)}$

${\displaystyle \phi _{n}(r)}$Se denomina función envolvente de un excitón. El estado fundamental del excitón se da en analogía con el átomo de hidrógeno .

entonces, la función dieléctrica es

^{El cálculo detallado se encuentra en [5]} .

Efecto Franz-Keldysh

El efecto Franz-Keldysh significa que se puede permitir que un electrón en una banda de valencia se excite hacia una banda de conducción al absorber un fotón con su energía por debajo de la banda prohibida. Ahora estamos pensando en la ecuación de masa efectiva para el movimiento relativo del par electrón-hueco cuando se aplica el campo externo a un cristal. Pero no debemos incluir un potencial mutuo del par electrón-hueco en el hamiltoniano.

Cuando se descuida la interacción de Coulomb, la ecuación de masa efectiva es

${\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2}-eE\cdot r\right]\psi (r)=\epsilon \psi (r)}$.

Y la ecuación se puede expresar,

${\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over {dr_{i}^{2}}}-eE_{i}r_{i}-\epsilon _{i}\right]\psi (r_{i})=0}$(donde es el valor en la dirección del eje principal del tensor de masa efectiva reducida) ${\displaystyle \mu _{i}}$

Utilizando cambio de variables:

${\displaystyle \hbar \theta _{i}=\left({{e^{2}E_{i}^{2}\hbar ^{2}} \over {2\mu _{i}}}\right)^{1/3},\xi _{i}={{\epsilon _{i}+eE_{i}r_{i}} \over {\hbar \theta _{i}}}}$

entonces la solución es

${\displaystyle \psi (\xi _{x},\xi _{y},\xi _{z})=C_{x}C_{y}C_{z}Ai(-\xi _{x})Ai(-\xi _{y})Ai(-\xi _{z})}$

dónde ${\displaystyle C_{i}={{\sqrt {e|E_{i}|}} \over {\hbar \theta }}}$

Por ejemplo, la solución viene dada por ${\displaystyle E_{y}=E_{z}=0,E_{x}}$

${\displaystyle \psi (x,y,z)=C\cdot Ai\left({{-eEx-\epsilon +\hbar ^{2}k_{y}^{2}/2\mu _{y}+\hbar ^{2}k_{z}^{2}/2\mu _{z}} \over {\hbar \theta _{x}}}\right)}$

La constante dieléctrica se puede obtener insertando esta expresión en la ecuación ( 2 ), y cambiando la suma con respecto a λ a ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }d\epsilon _{x}d\epsilon _{y}d\epsilon _{z}}$

La integral con respecto a está dada por la densidad conjunta de estados para la banda de dos D. (La densidad conjunta de estados no es nada más que el significado de DOS del electrón y del hueco al mismo tiempo). ${\displaystyle d\epsilon _{x}d\epsilon _{y}}$

${\displaystyle {\kappa (\omega ,E)}={{\pi ^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}|e\cdot p_{cv}|^{2}{{e|E_{x}|} \over {\hbar \theta _{x}^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }{J^{2D}}_{cv}(\hbar \omega -\epsilon _{G}-\epsilon _{x})\cdot \left|Ai\left(-{{\epsilon _{x}} \over {\hbar \theta }}\right)^{2}\right|d\epsilon _{x}.}$

dónde ${\displaystyle J_{cv}^{2D}(\hbar \omega )={(\mu _{y}\mu _{z})^{1/2} \over \pi \hbar ^{2}},\hbar \omega >\epsilon _{G}.}$

${\displaystyle =0,\hbar \omega <\epsilon _{G}.}$

Luego ponemos ${\displaystyle \eta ={{\hbar \omega -\epsilon _{G}} \over {\hbar \theta _{x}}}}$

Y pensemos en el caso que encontramos , es decir con la solución asintótica para la función de Airy en este límite. ${\displaystyle \eta <<0}$ ${\displaystyle \hbar \omega <<\epsilon _{G}}$

Finalmente, ${\displaystyle \kappa _{2}(\omega ,E_{x})={1/2}\kappa _{2}(\omega )\exp \left[-{4 \over 3}\left({{\epsilon _{G}-\hbar \omega } \over {\hbar \theta _{x}}}\right)\right]}$

Por lo tanto, ¡existe una función dieléctrica para la energía del fotón incidente por debajo de la banda prohibida! Estos resultados indican que se produce absorción para un fotón incidente.

Véase también

• Efecto Stark confinado cuánticamente

Referencias

1. Böer, KW; Hänsch, HJ; Kümmel, U. (1958). "Método zum Sichtbarmachen von Leitfähigkeitsinhomogenitäten von Halbleitern". Die Naturwissenschaften (en alemán). 45 (19). Springer Science and Business Media LLC: 460. Bibcode : 1958NW.....45..460B. doi :10.1007/bf00632716. ISSN  0028-1042. S2CID  20829600.
2. Karl W. Böer Monatsber. Deutsch.Akad. d.Wissensch. 1.272 (1959)
3. Böer, KW (1959). "Inhomogene Feldverteilung in CdS-Einkristallen im Bereich hoher Feldstärken". Zeitschrift für Physik (en alemán). 155 (2). Springer Science y Business Media LLC: 184–194. Código bibliográfico : 1959ZPhy..155..184B. doi :10.1007/bf01337935. ISSN  1434-6001. S2CID  121855447.
4. Böer, KW; Hänsch, HJ; Kümmel, U. (1959). "Anwendung elektro-optischer Effekte zur Analyse des elektrischen Leitungsvorganges in CdS-Einkristallen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 155 (2). Springer Science y Business Media LLC: 170–183. Código Bib : 1959ZPhy..155..170B. doi :10.1007/bf01337934. ISSN  1434-6001. S2CID  121560792.
5. C. Hamaguchi, "Física básica de semiconductores", Springer (2001)

Referencias generales

• W. Franz, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorborskante , Z. Naturforschung 13a (1958) 484–489.
• LV Keldysh, Comportamiento de cristales no metálicos en campos eléctricos intensos , J. Exptl. Theoret. Phys. (URSS) 33 (1957) 994–1003, traducción: Soviet Physics JETP 6 (1958) 763–770.
• LV Keldysh, Ionización en el campo de una onda electromagnética fuerte , J. Exptl. Theoret. Phys. (URSS) 47 (1964) 1945–1957, traducción: Soviet Physics JETP 20 (1965) 1307–1314.
• Williams, Richard (15 de marzo de 1960). "Absorción de luz inducida por campo eléctrico en CdS". Physical Review . 117 (6). American Physical Society (APS): 1487–1490. Bibcode :1960PhRv..117.1487W. doi :10.1103/physrev.117.1487. ISSN  0031-899X.
• JI Pankove, Procesos ópticos en semiconductores , Dover Publications Inc. Nueva York (1971).
• H. Haug y SW Koch, "Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores", World Scientific (1994).
• C. Kittel, " Introducción a la física del estado sólido ", Wiley (1996).