La regla de oro de Fermi

Fórmula de tasa de transición

En física cuántica , la regla de oro de Fermi es una fórmula que describe la tasa de transición (la probabilidad de una transición por unidad de tiempo) de un estado propio de energía de un sistema cuántico a un grupo de estados propios de energía en un continuo, como resultado de una perturbación débil. . Esta tasa de transición es efectivamente independiente del tiempo (siempre que la fuerza de la perturbación sea independiente del tiempo) y es proporcional a la fuerza del acoplamiento entre los estados inicial y final del sistema (descrito por el cuadrado del elemento de la matriz de la perturbación) así como la densidad de estados . También es aplicable cuando el estado final es discreto, es decir, no forma parte de un continuo, si hay alguna decoherencia en el proceso, como relajación o colisión de los átomos, o como ruido en la perturbación, en cuyo caso la densidad de Los estados se reemplazan por el recíproco del ancho de banda de decoherencia.

Antecedentes históricos

Aunque la regla lleva el nombre de Enrico Fermi , la mayor parte del trabajo que condujo a ella se debe a Paul Dirac , quien veinte años antes había formulado una ecuación prácticamente idéntica, incluyendo los tres componentes de una constante, el elemento matricial de la perturbación y una energía. diferencia. ^{[1] [2]} Se le dio este nombre porque, debido a su importancia, Fermi la llamó "regla de oro nº 2". ^[3]

La mayoría de los usos del término regla de oro de Fermi se refieren a la "regla de oro n.° 2", pero la "regla de oro n.° 1" de Fermi tiene una forma similar y considera la probabilidad de transiciones indirectas por unidad de tiempo. ^[4]

La tasa y su derivación.

La regla de oro de Fermi describe un sistema que comienza en un estado propio de un hamiltoniano H ₀ no perturbado y considera el efecto de un hamiltoniano H' perturbador aplicado al sistema. Si H' es independiente del tiempo, el sistema entra sólo en aquellos estados del continuo que tienen la misma energía que el estado inicial. Si H' oscila de forma sinusoidal en función del tiempo (es decir, es una perturbación armónica) con una frecuencia angular ω , la transición es a estados con energías que difieren en ħω de la energía del estado inicial. ${\displaystyle |i\rangle }$

En ambos casos, la probabilidad de transición por unidad de tiempo desde el estado inicial a un conjunto de estados finales es esencialmente constante. Está dado, en aproximación de primer orden, por ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$

$${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),}$$

elemento matricialnotación bra-ketH'densidad de estadosvida media ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$ ${\displaystyle \rho (E_{f})}$ ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle e^{-\Gamma _{i\to f}t}}$

La forma estándar de derivar la ecuación es comenzar con la teoría de la perturbación dependiente del tiempo y tomar el límite de absorción bajo el supuesto de que el tiempo de la medición es mucho mayor que el tiempo necesario para la transición. ^{[5] [6]}

Sólo la magnitud del elemento matriz entra en la regla de oro de Fermi. La fase de este elemento de la matriz, sin embargo, contiene información separada sobre el proceso de transición. Aparece en expresiones que complementan la regla de oro en el enfoque semiclásico de la ecuación de Boltzmann para el transporte de electrones. ^[9] ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$

Si bien la regla de oro se establece y deriva comúnmente en los términos anteriores, la función de onda del estado final (continuo) a menudo se describe de manera bastante vaga y no se normaliza correctamente (y la normalización se utiliza en la derivación). El problema es que para producir un continuo no puede haber confinamiento espacial (lo que necesariamente discretizaría el espectro) y, por lo tanto, las funciones de onda del continuo deben tener una extensión infinita y, a su vez, esto significa que la normalización es infinita, no unidad. Si las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de otros números cuánticos, es habitual normalizar las funciones de onda continuas con energía etiquetada , escribiendo dónde está la función delta de Dirac , y efectivamente un factor de la raíz cuadrada. de la densidad de estados se incluye en . ^[10] En este caso, la función de onda continua tiene dimensiones de , y la regla de oro ahora es ${\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |\varepsilon _{i}\rangle }$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}$

$${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.}$$

^[11] ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Derivación normalizada en la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo.

Lo siguiente parafrasea el tratamiento de Cohen-Tannoudji. ^[10] Como antes, el hamiltoniano total es la suma de un hamiltoniano “original” H ₀ y una perturbación: . Todavía podemos expandir la evolución temporal de un estado cuántico arbitrario en términos de estados propios de energía del sistema no perturbado, pero estos ahora consisten en estados discretos y estados continuos. Suponemos que las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de ningún otro número cuántico. La expansión en los estados relevantes en el cuadro de Dirac es ${\displaystyle H=H_{0}+H'}$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\varepsilon a_{\varepsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\varepsilon \rangle ,}$$

donde , y son las energías de los estados , respectivamente. La integral está sobre el continuo , es decir, está en el continuo. ${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{i}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega =\varepsilon /\hbar }$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon }$ ${\displaystyle |i\rangle ,|\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon \in C}$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$$

y premultiplicando por produce ${\displaystyle \langle i|}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\varepsilon }(t),}$$

donde y premultiplicando por produce ${\displaystyle \Omega _{i\varepsilon }=\langle i|H'|\varepsilon \rangle /\hbar }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon '|}$

$${\displaystyle {\frac {da_{\varepsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\varepsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).}$$

Hicimos uso de la normalización . Integrando este último y sustituyendo al primero, ${\displaystyle \langle \varepsilon '|\varepsilon \rangle =\delta (\varepsilon '-\varepsilon )}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }\Omega _{\varepsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}$$

Se puede ver aquí que el tiempo depende de los tiempos anteriores , es decir , no es markoviano . Hacemos la aproximación de Markov, es decir, que solo depende del tiempo (que es menos restrictiva que la aproximación usada anteriormente y permite que la perturbación sea fuerte) ${\displaystyle da_{i}/dt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}\approx 1}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T},}$$

dónde y . Integrando sobre , ${\displaystyle T=t-t'}$ ${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{i}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}$$

La fracción de la derecha es una función delta de Dirac naciente , lo que significa que tiende a ser así (ignorando su parte imaginaria, lo que conduce a un cambio de energía sin importancia, mientras que la parte real produce desintegración ^[10] ). Finalmente ${\displaystyle \delta (\varepsilon -\varepsilon _{i})}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

$${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t),}$$

que puede tener soluciones: , es decir, la decadencia de la población en el estado discreto inicial es donde ${\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t/2)}$ ${\displaystyle P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t)}$

$${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\varepsilon \rangle |^{2}.}$$

Aplicaciones

Semiconductores

La regla de oro de Fermi se puede utilizar para calcular la tasa de probabilidad de transición de un electrón que es excitado por un fotón desde la banda de valencia a la banda de conducción en un semiconductor de banda prohibida directa, y también para cuando el electrón se recombina con el hueco y emite. un fotón. ^[12] Considere un fotón de frecuencia y vector de onda , donde la relación de dispersión de la luz es y es el índice de refracción. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\textbf {q}}}$ ${\displaystyle \omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|}$ ${\displaystyle n}$

Usando el medidor de Coulomb donde y , el potencial vectorial de la luz viene dado por dónde está el campo eléctrico resultante. ${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}=A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} ({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C}$

$${\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} .({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}.}$$

Para un electrón en la banda de valencia, el hamiltoniano es

$${\displaystyle H={\frac {({\textbf {p}}+e{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}),}$$

${\displaystyle V({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}}$

$${\displaystyle H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right],}$$

${\displaystyle H'}$

De aquí en adelante consideramos la transición dipolar óptica vertical y, por lo tanto, tenemos una probabilidad de transición basada en la teoría de la perturbación dependiente del tiempo que

$${\displaystyle \Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega ),}$$

$${\displaystyle H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {p} ,}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )}$

Para los estados inicial y final en las bandas de valencia y conducción, tenemos y , respectivamente y si el operador no actúa sobre el espín, el electrón permanece en el mismo estado de espín y por tanto podemos escribir la función de onda de Bloch de los estados inicial y final. como ${\displaystyle |i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle |f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle H'}$

$${\displaystyle \Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}},}$$

$${\displaystyle \Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}},}$$

fotoluminiscencia ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$

$${\displaystyle \Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega ),}$$

momento dipolar de transición óptica ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}}$ ${\displaystyle \langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}').}$$

Finalmente, queremos saber la tasa de transición total . Por lo tanto, necesitamos sumar todos los estados iniciales y finales posibles que puedan satisfacer la conservación de energía (es decir, una integral de la zona de Brillouin en el espacio k ), y tener en cuenta la degeneración del espín, que después del cálculo da como resultado ${\displaystyle \Gamma (\omega )}$

$${\displaystyle \Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )}$$

densidad conjunta de valencia-conducción de estados ${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )}$

$${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}},}$$

Observamos que de manera general podemos expresar la regla de oro de Fermi para semiconductores como ^[13]

$${\displaystyle \Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega ).}$$

De la misma manera, la fotocorriente estacionaria proporcional a la intensidad de la luz es

$${\displaystyle {\textbf {J}}=-{\frac {2\pi e\tau }{\hbar }}\sum _{i,f}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{(2\pi )^{D}}}|{\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}|(f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}}))|H_{if}'|^{2}\delta (E_{f}({\textbf {k}})-E_{i}({\textbf {k}})-\hbar \omega ),}$$

${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}}$ ${\displaystyle f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle |H_{if}'|^{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle \langle i|{\textbf {p}}|f\rangle =-im_{0}\omega \langle i|{\textbf {r}}|f\rangle }$

Microscopía de efecto túnel

En un microscopio de efecto túnel , se utiliza la regla de oro de Fermi para derivar la corriente de efecto túnel. Toma la forma

$${\displaystyle w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi }),}$$

${\displaystyle M}$

Óptica cuántica

Al considerar las transiciones de niveles de energía entre dos estados discretos, la regla de oro de Fermi se escribe como

$${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}g(\hbar \omega ),}$$

del fotónfrecuencia angular^[14] ${\displaystyle g(\hbar \omega )}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

experimento de drexhage

Tanto el patrón de radiación como la potencia total emitida (que es proporcional a la tasa de desintegración) de un dipolo dependen de su distancia a un espejo.

La regla de oro de Fermi predice que la probabilidad de que un estado excitado decaiga depende de la densidad de estados. Esto se puede ver experimentalmente midiendo la tasa de desintegración de un dipolo cerca de un espejo: como la presencia del espejo crea regiones de mayor y menor densidad de estados, la tasa de desintegración medida depende de la distancia entre el espejo y el dipolo. ^{[15] [16]}

Ver también

• Decaimiento exponencial  : disminución del valor a una tasa proporcional al valor actual
• Lista de cosas que llevan el nombre de Enrico Fermi
• Desintegración de partículas  : descomposición espontánea de una partícula subatómica inestable en otras partículas
• Función Sinc  : función matemática especial definida como sin(x)/x
• Teoría de la perturbación dependiente del tiempo  : modelado aproximado de un sistema cuánticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• regla de sargento

Referencias

1. Bransden, BH; Joachain, CJ (1999). Mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice Hall. pag. 443.ISBN​ 978-0582356917.
2. Dirac, PAM (1 de marzo de 1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación". Actas de la Royal Society A. 114 (767): 243–265. Código bibliográfico : 1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR  94746.Véanse las ecuaciones (24) y (32).
3. Fermi, E. (1950). Física nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0226243658.fórmula VIII.2
4. Fermi, E. (1950). Física nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0226243658.fórmula VIII.19
5. Notas UT de R Schwitters sobre derivación.
6. Es notable que la tasa es constante y no aumenta linealmente en el tiempo, como podría esperarse ingenuamente en transiciones en las que se impone una estricta conservación de la energía. Esto se debe a la interferencia de las contribuciones oscilatorias de las transiciones a numerosos estados continuos con una conservación de energía sólo aproximada e imperturbable , véase Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , págs. 151. 
7. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
8. Merzbacher, Eugen (1998). "19,7" (PDF) . Mecánica cuántica (3ª ed.). Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-88702-7.
9. NA Sinitsyn, Q. Niu y AH MacDonald (2006). "Desplazamiento de coordenadas en la ecuación semiclásica de Boltzmann y efecto Hall anómalo". Física. Rev. B. 73 (7): 075318. arXiv : cond-mat/0511310 . Código Bib : 2006PhRvB..73g5318S. doi : 10.1103/PhysRevB.73.075318. S2CID  119476624.
10. Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (1977). Mecánica Cuántica Vol II Capítulo XIII Complemento D_{XIII} . Wiley. ISBN 978-0471164333.
11. Bete, Hans ; Salpeter, Edwin (1977). Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Springer, Boston, MA. ISBN 978-0-306-20022-9.
12. Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales (4 ed.). Saltador. pag. 260.doi : 10.1007 /978-3-642-00710-1. ISBN 978-3-642-00709-5.
13. Edvinsson, T. (2018). "Confinamiento cuántico óptico y propiedades fotocatalíticas en nanoestructuras bidimensionales, unidimensionales y cero". Ciencia abierta de la Royal Society . 5 (9): 180387. Código bibliográfico : 2018RSOS....580387E. doi :10.1098/rsos.180387. ISSN  2054-5703. PMC 6170533 . PMID  30839677. 
14. Zorro, Mark (2006). Óptica cuántica: una introducción . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 51.ISBN​ 9780198566731.
15. KH Drexhage; H. Kuhn; FP Schäfer (1968). "Variación del tiempo de decadencia de la fluorescencia de una molécula frente a un espejo". Berichte der Bunsengesellschaft für physikalische Chemie . 72 (2): 329. doi : 10.1002/bbpc.19680720261. S2CID  94677437.
16. KH Drexhage (1970). "Influencia de una interfaz dieléctrica en el tiempo de caída de la fluorescencia". Revista de Luminiscencia . 1 : 693–701. Código bibliográfico : 1970JLum....1..693D. doi :10.1016/0022-2313(70)90082-7.

enlaces externos

• Más información sobre la regla de oro de Fermi
• Derivación de la regla de oro de Fermi
• Teoría de la perturbación dependiente del tiempo.
• La regla de oro de Fermi: su derivación y descomposición mediante un modelo ideal