Acción eficaz

Quantum version of the classical action

En la teoría cuántica de campos , la acción efectiva cuántica es una expresión modificada de la acción clásica que tiene en cuenta las correcciones cuánticas y garantiza que se aplique el principio de mínima acción , lo que significa que al extremar la acción efectiva se obtienen las ecuaciones de movimiento para los valores esperados del vacío de los campos cuánticos. La acción efectiva también actúa como una funcional generadora para funciones de correlación irreducibles de una partícula . El componente potencial de la acción efectiva se denomina potencial efectivo , y el valor esperado del vacío verdadero es el mínimo de este potencial en lugar del potencial clásico, lo que lo hace importante para estudiar la ruptura espontánea de la simetría .

Fue definida perturbativamente por primera vez por Jeffrey Goldstone y Steven Weinberg en 1962, ^[1] mientras que la definición no perturbativa fue introducida por Bryce DeWitt en 1963 ^[2] e independientemente por Giovanni Jona-Lasinio en 1964. ^[3]

El artículo describe la acción efectiva para un solo campo escalar , sin embargo, existen resultados similares para múltiples campos escalares o fermiónicos .

Generando funciones

Estas funciones generadoras también tienen aplicaciones en la mecánica estadística y la teoría de la información , con factores y convenciones de signos ligeramente diferentes. ${\displaystyle i}$

Una teoría cuántica de campos con acción se puede describir completamente en el formalismo de integral de trayectoria utilizando la función de partición. ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{4}x\phi (x)J(x)}.}$

Dado que corresponde a transiciones de vacío a vacío en presencia de una corriente externa clásica , se puede evaluar de forma perturbativa como la suma de todos los diagramas de Feynman conectados y desconectados . También es la función generadora de funciones de correlación. ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle =(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

donde los operadores de campo escalares se denotan por . Se puede definir otra función generadora útil encargada de generar funciones de correlación conectadas ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$ ${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\cdots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\text{con}}=(-i)^{n-1}{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

que se calcula de forma perturbativa como la suma de todos los diagramas conectados. ^[4] Aquí conectado se interpreta en el sentido de la descomposición en grupos , lo que significa que las funciones de correlación se acercan a cero en grandes separaciones espaciales. Las funciones de correlación generales siempre se pueden escribir como una suma de productos de funciones de correlación conectadas.

La acción efectiva cuántica se define utilizando la transformación de Legendre de ${\displaystyle W[J]}$

${\displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J_{\phi }]-\int d^{4}xJ_{\phi }(x)\phi (x),}$

donde es la corriente de fuente para la cual el campo escalar tiene el valor esperado , a menudo llamado campo clásico, definido implícitamente como la solución de ${\displaystyle J_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\langle {\hat {\phi }}(x)\rangle _{J}={\frac {\delta W[J]}{\delta J(x)}}.}$

Como valor esperado, el campo clásico puede considerarse como el promedio ponderado de las fluctuaciones cuánticas en presencia de una corriente que genera el campo escalar. Al tomar la derivada funcional de la transformación de Legendre con respecto a se obtiene ${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle J_{\phi }(x)=-{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

En ausencia de una fuente , lo anterior muestra que el valor esperado de vacío de los campos extrema la acción efectiva cuántica en lugar de la acción clásica. Esto no es nada más que el principio de mínima acción en la teoría de campos cuánticos completa. La razón por la que la teoría cuántica requiere esta modificación proviene de la perspectiva de la integral de trayectoria, ya que todas las configuraciones de campo posibles contribuyen a la integral de trayectoria, mientras que en la teoría de campos clásica solo contribuyen las configuraciones clásicas. ${\displaystyle J_{\phi }(x)=0}$

La acción efectiva es también la funcional generadora de funciones de correlación irreducibles de una partícula (1PI) . Los diagramas 1PI son gráficos conectados que no se pueden desconectar en dos partes cortando una sola línea interna. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\mathrm {1PI} }=i{\frac {\delta ^{n}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x_{1})\dots \delta \phi (x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

siendo la suma de todos los diagramas de Feynman 1PI. La estrecha conexión entre y significa que hay una serie de relaciones muy útiles entre sus funciones de correlación. Por ejemplo, la función de correlación de dos puntos, que no es nada menos que el propagador , es la inversa de la función de correlación de dos puntos 1PI ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle \Delta (x,y)}$

${\displaystyle \Delta (x,y)={\frac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}}={\frac {\delta \phi (x)}{\delta J(y)}}={\bigg (}{\frac {\delta J(y)}{\delta \phi (x)}}{\bigg )}^{-1}=-{\bigg (}{\frac {\delta ^{2}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg )}^{-1}=-\Pi ^{-1}(x,y).}$

Métodos para calcular la acción efectiva

Una forma directa de calcular la acción efectiva de manera perturbativa como una suma de diagramas 1PI es sumar todos los diagramas de vacío 1PI adquiridos utilizando las reglas de Feynman derivadas de la acción desplazada . Esto funciona porque cualquier lugar donde aparece en cualquiera de los propagadores o vértices es un lugar donde se podría unir una línea externa . Esto es muy similar al método del campo de fondo que también se puede utilizar para calcular la acción efectiva. ${\displaystyle \Gamma [\phi _{0}]}$ ${\displaystyle S[\phi +\phi _{0}]}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi }$

Como alternativa, la aproximación de un bucle a la acción se puede encontrar considerando la expansión de la función de partición alrededor de la configuración del campo de valores esperados del vacío clásico , obteniéndose ^{[5] [6]} ${\displaystyle \phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)}$

${\displaystyle \Gamma [\phi _{\text{cl}}]=S[\phi _{\text{cl}}]+{\frac {i}{2}}{\text{Tr}}{\bigg [}\ln {\frac {\delta ^{2}S[\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg |}_{\phi =\phi _{\text{cl}}}{\bigg ]}+\cdots .}$

Simetrías

Las simetrías de la acción clásica no son automáticamente simetrías de la acción cuántica efectiva . Si la acción clásica tiene una simetría continua que depende de alguna función ${\displaystyle S[\phi ]}$ ${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$ ${\displaystyle F[x,\phi ]}$

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon F[x,\phi ],}$

Entonces esto impone directamente la restricción

${\displaystyle 0=\int d^{4}x\langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

Esta identidad es un ejemplo de una identidad de Slavnov-Taylor . Es idéntica al requisito de que la acción efectiva sea invariante bajo la transformación de simetría.

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon \langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}.}$

Esta simetría es idéntica a la simetría original para la importante clase de simetrías lineales .

${\displaystyle F[x,\phi ]=a(x)+\int d^{4}y\ b(x,y)\phi (y).}$

Para los funcionales no lineales las dos simetrías generalmente difieren porque el promedio de un funcional no lineal no es equivalente al funcional de un promedio.

Convexidad

El potencial efectivo aparente adquirido a través de la teoría de perturbación debe corregirse al potencial efectivo real , que se muestra mediante líneas discontinuas en la región donde ambos difieren. ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Para un espacio-tiempo con volumen , el potencial efectivo se define como . Con un hamiltoniano , el potencial efectivo en siempre da el mínimo del valor esperado de la densidad de energía para el conjunto de estados que satisfacen . ^[7] Esta definición sobre múltiples estados es necesaria porque múltiples estados diferentes, cada uno de los cuales corresponde a una corriente de fuente particular, pueden dar como resultado el mismo valor esperado. Se puede demostrar además que el potencial efectivo es necesariamente una función convexa . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{4}}$ ${\displaystyle V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \langle \Omega |H|\Omega \rangle }$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)}$ ${\displaystyle V''(\phi )\geq 0}$

Calcular el potencial efectivo de forma perturbativa puede a veces producir un resultado no convexo, como un potencial que tiene dos mínimos locales . Sin embargo, el potencial efectivo verdadero sigue siendo convexo, volviéndose aproximadamente lineal en la región donde el potencial efectivo aparente no es convexo. La contradicción ocurre en los cálculos en torno a vacíos inestables, ya que la teoría de perturbaciones supone necesariamente que el vacío es estable. Por ejemplo, considere un potencial efectivo aparente con dos mínimos locales cuyos valores esperados y son los valores esperados para los estados y , respectivamente. Entonces, cualquier en la región no convexa de también se puede adquirir para algunos utilizando ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle |\Omega _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\Omega _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle |\Omega \rangle \propto {\sqrt {\lambda }}|\Omega _{1}\rangle +{\sqrt {1-\lambda }}|\Omega _{2}\rangle .}$

Sin embargo, la densidad de energía de este estado no puede ser el potencial efectivo correcto, ya que no minimiza la densidad de energía. Más bien, el potencial efectivo real es igual o menor que esta construcción lineal, lo que restablece la convexidad. ${\displaystyle \lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle V_{0}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Véase también

• Método de campo de fondo
• Función de correlación
• Formulación de la integral de trayectoria
• Grupo de renormalización
• Ruptura espontánea de la simetría

Referencias

1. Weinberg, S. ; Goldstone, J. (agosto de 1962). "Simetrías rotas". Phys. Rev . 127 (3): 965–970. Código Bibliográfico :1962PhRv..127..965G. doi :10.1103/PhysRev.127.965 . Consultado el 6 de septiembre de 2021 .
2. DeWitt, B. ; DeWitt, C. (1987). Relativité, groupes et topologie = Relatividad, grupos y topología: conferencias dictadas en Les Houches durante la sesión de 1963 de la Escuela de verano de física teórica de la Universidad de Grenoble . Gordon y Breach. ISBN 0677100809.
3. Jona-Lasinio, G. (31 de agosto de 1964). "Teorías de campos relativistas con soluciones que rompen la simetría". Il Nuovo Cimento . 34 (6): 1790–1795. Bibcode :1964NCim...34.1790J. doi :10.1007/BF02750573. S2CID  121276897 . Consultado el 6 de septiembre de 2021 .
4. Zinn-Justin, J. (1996). "6". Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford: Oxford University Press. págs. 119-122. ISBN. 978-0198509233.
5. Kleinert, H. (2016). "22" (PDF) . Partículas y campos cuánticos . World Scientific Publishing. pág. 1257. ISBN. 9789814740920.
6. Zee, A. (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2.ª ed.). Princeton University Press. pp. 239–240. ISBN 9780691140346.
7. Weinberg, S. (1995). "16". La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas . Vol. 2. Cambridge University Press. págs. 72–74. ISBN 9780521670548.
8. Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Westview Press. pp. 368–369. ISBN 9780201503975.

Lectura adicional

• Das, A. : Teoría de campos: un enfoque de trayectoria integral , World Scientific Publishing 2006
• Schwartz, MD: Teoría cuántica de campos y el modelo estándar , Cambridge University Press 2014
• Toms, DJ: El principio de acción de Schwinger y la acción eficaz , Cambridge University Press 2007
• Weinberg, S.: La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas , vol. II, Cambridge University Press 1996