Ecuación diferencial parcial parabólica

Clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden.

Una ecuación diferencial parcial parabólica es un tipo de ecuación diferencial parcial (PDE). Las PDE parabólicas se utilizan para describir una amplia variedad de fenómenos dependientes del tiempo en, entre otros, ciencias de la ingeniería y matemáticas financieras . Los ejemplos incluyen la ecuación del calor , la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y la ecuación de Black-Scholes .

Definición

Para definir el tipo más simple de PDE parabólica, considere una función de valor real de dos variables reales independientes, y . Una PDE de segundo orden, lineal y de coeficiente constante toma la forma ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

donde los subíndices denotan las derivadas parciales de primer y segundo orden con respecto a y . La EDP se clasifica como parabólica si los coeficientes de la parte principal (es decir, los términos que contienen las segundas derivadas de ) satisfacen la condición ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Por lo general, representa una posición unidimensional y representa el tiempo, y la PDE se resuelve sujeta a condiciones iniciales y de contorno prescritas. Las ecuaciones con se denominan elípticas, mientras que las con son hiperbólicas . El nombre "parabólica" se utiliza porque la suposición sobre los coeficientes es la misma que la condición para que la ecuación de geometría analítica defina una parábola plana . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$ ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

El ejemplo básico de una PDE parabólica es la ecuación de calor unidimensional.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

donde es la temperatura en la posición a lo largo de una varilla delgada en el tiempo y es una constante positiva llamada difusividad térmica . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$

La ecuación del calor dice, aproximadamente, que la temperatura en un momento y punto dados aumenta o disminuye a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura promedio cerca de ese punto. La cantidad mide qué tan lejos está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas . ${\displaystyle u_{xx}}$

El concepto de PDE parabólica se puede generalizar de varias maneras. Por ejemplo, el flujo de calor a través de un cuerpo material se rige por la ecuación tridimensional del calor.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

dónde

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

denota el operador de Laplace que actúa sobre . Esta ecuación es el prototipo de una PDE parabólica multidimensional . ^[2] ${\displaystyle u}$

Observar que es un operador elíptico sugiere una definición más amplia de PDE parabólica: ${\displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

donde es un operador elíptico de segundo orden (lo que implica que debe ser positivo ; un caso que se considera a continuación). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para un vector también puede ser parabólico. Por ejemplo, tal sistema está oculto en una ecuación de la forma ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

si la función valorada en matriz tiene un núcleo de dimensión 1. ${\displaystyle a(x)}$

Solución

Bajo supuestos amplios, un problema de valor inicial/límite para una PDE parabólica lineal tiene una solución para siempre. La solución , en función de durante un tiempo fijo , es generalmente más suave que los datos iniciales . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

Para una PDE parabólica no lineal, una solución de un problema de valor inicial/en la frontera podría explotar en una singularidad en un período de tiempo finito. Puede resultar difícil determinar si existe una solución para siempre o comprender las singularidades que surgen. Preguntas tan interesantes surgen en la solución de la conjetura de Poincaré mediante el flujo de Ricci . ^{[ cita necesaria ]}

Ecuación parabólica hacia atrás

De vez en cuando nos topamos con la llamada PDE parabólica invertida , que adopta la forma (obsérvese la ausencia de un signo menos). ${\displaystyle u_{t}=Lu}$

Un problema de valor inicial para la ecuación de calor hacia atrás,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

es equivalente a un problema de valor final para la ecuación de calor ordinaria,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

De manera similar a un problema de valor final para una PDE parabólica, un problema de valor inicial para una PDE parabólica hacia atrás generalmente no está bien planteado (las soluciones a menudo crecen ilimitadamente en un tiempo finito, o incluso no existen). No obstante, estos problemas son importantes para el estudio del reflejo de las singularidades de las soluciones para varias otras PDE. ^[3]

Ver también

• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica

Notas

1. Zauderer 2006, pág. 124.
2. Zauderer 2006, pág. 139.
3. Taylor 1975.

Referencias

• Taylor, Michael E. (1975). "Reflexión de singularidades de soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 28 (4): 457–478. CiteSeerX  10.1.1.697.9255 . doi :10.1002/cpa.3160280403. ISSN  0010-3640.
• Zauderer, Erich (2006). Ecuaciones diferenciales parciales de Matemática Aplicada . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-69073-3. OCLC  70158521.

Otras lecturas

• Perthame, Benoît (2015), Ecuaciones parabólicas en biología: crecimiento, reacción, movimiento y difusión , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 19 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, señor  2597943
• "Ecuación diferencial parcial parabólica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Ecuación diferencial parcial parabólica, métodos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]