Ecuación de Black-Scholes

Ecuación diferencial parcial en finanzas matemáticas.

El gráfico superficial del valor de una opción de compra europea a lo largo del tiempo y el precio de la acción subyacente, junto con algunas trayectorias representativas del precio de las acciones. Si el precio de las acciones comienza muy por encima del precio de ejercicio, es probable que termine por encima del precio de ejercicio. Si el precio de las acciones comienza muy por debajo, entonces tiene una pequeña posibilidad de terminar por encima del precio de ejercicio. El valor medio del punto final de las trayectorias es exactamente igual a la altura de la superficie.

En finanzas matemáticas , la ecuación de Black-Scholes , también llamada ecuación de Black-Scholes-Merton , es una ecuación diferencial parcial (PDE) que rige la evolución de los precios de los derivados según el modelo de Black-Scholes . ^[1] En términos generales, el término puede referirse a una PDE similar que puede derivarse de una variedad de opciones o, más generalmente, de derivados .

Movimientos brownianos geométricos simulados con parámetros de datos de mercado

Considere una acción que no paga dividendos. Ahora construya cualquier derivado que tenga un tiempo de maduración fijo en el futuro y que, al madurar, tenga un pago que dependa de los valores tomados por la acción en ese momento (como las opciones europeas de compra o venta). Entonces el precio del derivado satisface ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(S_{T})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0\\V(T,s)=K(s)\quad \forall s\end{cases}}}$

donde es el precio de la opción en función del precio de la acción S y el tiempo t , r es la tasa de interés libre de riesgo y es la volatilidad de la acción. ${\displaystyle V(t,S)}$ ${\displaystyle \sigma }$

La idea financiera clave detrás de la ecuación es que, bajo el supuesto del modelo de un mercado sin fricciones , uno puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de la manera correcta y, en consecuencia, "eliminar el riesgo". implica que solo hay un precio correcto para la opción, como lo devuelve la fórmula de Black-Scholes .

Interpretación financiera

La ecuación tiene una interpretación concreta que los profesionales suelen utilizar y es la base para la derivación común que se proporciona en la siguiente subsección. La ecuación se puede reescribir en la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

El lado izquierdo consta de un término de "caída del tiempo", el cambio en el valor de la derivada con respecto al tiempo, llamado theta , y un término que involucra la segunda derivada espacial gamma , la convexidad del valor de la derivada con respecto al valor subyacente. El lado derecho es el rendimiento sin riesgo de una posición larga en el derivado y una posición corta que consiste en acciones del activo subyacente. ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$

La idea de Black y Scholes fue que la cartera representada por el lado derecho no tiene riesgo: por lo tanto, la ecuación dice que el rendimiento sin riesgo en cualquier intervalo de tiempo infinitesimal puede expresarse como la suma de theta y un término que incorpora gamma. Para una opción, theta suele ser negativa, lo que refleja la pérdida de valor debido a tener menos tiempo para ejercer la opción (para una opción de compra europea sobre un subyacente sin dividendos, siempre es negativa). Gamma suele ser positiva, por lo que el término gamma refleja las ganancias al mantener la opción. La ecuación establece que en cualquier intervalo de tiempo infinitesimal, la pérdida de theta y la ganancia del término gamma deben compensarse entre sí para que el resultado sea un rendimiento a una tasa sin riesgo.

Desde el punto de vista del emisor de la opción, por ejemplo un banco de inversión, el término gamma es el coste de cubrir la opción. (Dado que gamma es mayor cuando el precio spot del subyacente está cerca del precio de ejercicio de la opción, los costos de cobertura del vendedor son mayores en esa circunstancia).

Derivación

La siguiente derivación se proporciona en Opciones, futuros y otros derivados de Hull . ^{[2] : 287–288} Esto, a su vez, se basa en el argumento clásico del artículo original de Black-Scholes.

Según los supuestos del modelo anterior, el precio del activo subyacente (normalmente una acción) sigue un movimiento browniano geométrico . Eso es

${\displaystyle {\frac {dS}{S}}=\mu \,dt+\sigma \,dW\,}$

donde W es una variable estocástica ( movimiento browniano ). Tenga en cuenta que W , y en consecuencia su incremento infinitesimal dW , representa la única fuente de incertidumbre en la historia del precio de la acción. Intuitivamente, W ( t ) es un proceso que "se mueve hacia arriba y hacia abajo" de una manera tan aleatoria que su cambio esperado en cualquier intervalo de tiempo es 0. (Además, su varianza en el tiempo T es igual a T ; consulte el proceso de Wiener § Propiedades básicas ); un buen análogo discreto para W es un paseo aleatorio simple . Por tanto, la ecuación anterior establece que la tasa de rendimiento infinitesimal de la acción tiene un valor esperado de μ  dt y una varianza de . ${\displaystyle \sigma ^{2}dt}$

Se conoce el pago de una opción (o cualquier derivado dependiente de la acción S ) al vencimiento. Para encontrar su valor en un momento anterior necesitamos saber cómo evoluciona en función de y . Por el lema de Itô para dos variables tenemos ${\displaystyle V(S,T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW}$

Consideremos ahora una determinada cartera, denominada cartera de cobertura delta , que consta de una opción corta y acciones largas a la vez . El valor de estas participaciones es ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Pi =-V+{\frac {\partial V}{\partial S}}S}$

Durante el período de tiempo , la ganancia o pérdida total por cambios en los valores de las tenencias es (pero consulte la nota a continuación): ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta S}$

Ahora discretiza las ecuaciones para dS / S y dV reemplazando diferenciales con deltas:

${\displaystyle \Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,}$

${\displaystyle \Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta W}$

y sustituirlos apropiadamente en la expresión para : ${\displaystyle \Delta \Pi }$

${\displaystyle \Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t}$

Observe que el término ha desaparecido. De este modo se ha eliminado la incertidumbre y la cartera está efectivamente libre de riesgos. La tasa de rendimiento de esta cartera debe ser igual a la tasa de rendimiento de cualquier otro instrumento sin riesgo; de lo contrario, habría oportunidades de arbitraje. Ahora, asumiendo que la tasa de rendimiento libre de riesgo es la que debemos tener durante el período de tiempo. ${\displaystyle \Delta W}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =r\Pi \,\Delta t}$

Si ahora sustituimos nuestras fórmulas por y obtenemos: ${\displaystyle \Delta \Pi }$ ${\displaystyle \Pi =\int \Delta \Pi }$

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\Delta t}$

Simplificando, llegamos a la famosa ecuación diferencial parcial de Black-Scholes:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

Con los supuestos del modelo de Black-Scholes, esta ecuación diferencial parcial de segundo orden es válida para cualquier tipo de opción siempre que su función de precio sea dos veces diferenciable con respecto a y una vez con respecto a . Surgirán diferentes fórmulas de fijación de precios para diversas opciones a partir de la elección de la función de pago al vencimiento y de las condiciones límite apropiadas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

Nota técnica: Una sutileza oscurecida por el enfoque de discretización anterior es que el cambio infinitesimal en el valor de la cartera se debió únicamente a cambios infinitesimales en los valores de los activos mantenidos, no a cambios en las posiciones de los activos. En otras palabras, se suponía que la cartera se autofinanciaba . ^{[ cita necesaria ]}

Derivación alternativa

A continuación se presenta una derivación alternativa que puede utilizarse en situaciones en las que inicialmente no está claro cuál debería ser la cartera de cobertura. (Para referencia, consulte 6.4 de Shreve vol II). ^[3]

En el modelo de Black-Scholes, suponiendo que hemos elegido la medida de probabilidad neutral al riesgo, se supone que el precio de las acciones subyacentes S ( t ) evoluciona como un movimiento browniano geométrico:

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)}$

Dado que esta ecuación diferencial estocástica (SDE) muestra que la evolución del precio de las acciones es markoviana , cualquier derivado sobre este subyacente es función del tiempo t y del precio de las acciones en el momento actual, S ( t ). Luego, una aplicación del lema de Itô da una SDE para el proceso de derivadas descontadas , que debería ser una martingala. Para que esto se cumpla, el término de deriva debe ser cero, lo que implica la PDE de Black-Scholes. ${\displaystyle e^{-rt}V(t,S(t))}$

Esta derivación es básicamente una aplicación de la fórmula de Feynman-Kac y puede intentarse siempre que los activos subyacentes evolucionen de acuerdo con las SDE determinadas.

Métodos de resolución

Una vez que se deriva la PDE de Black-Scholes, con condiciones de contorno y terminales, para una derivada, la PDE se puede resolver numéricamente utilizando métodos estándar de análisis numérico, como un tipo de método de diferencias finitas . ^[4] En ciertos casos, es posible resolver una fórmula exacta, como en el caso de una convocatoria europea, que fue realizada por Black y Scholes.

La solución es conceptualmente simple. Dado que en el modelo de Black-Scholes el precio de las acciones subyacentes sigue un movimiento browniano geométrico, la distribución de , condicionada a su precio en el momento , es una distribución log-normal. Entonces, el precio del derivado es simplemente el pago esperado descontado , que puede calcularse analíticamente cuando la función de pago es analíticamente manejable, o numéricamente si no. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{T}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E[e^{-r(T-t)}K(S_{T})|S_{t}]}$ ${\displaystyle K}$

Para hacer esto para una opción de compra, recuerde que la PDE anterior tiene condiciones de contorno ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\sim S-Ke^{-r(T-t)}{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

La última condición da el valor de la opción en el momento en que vence. Otras condiciones son posibles cuando S llega a 0 o al infinito. Por ejemplo, las condiciones comunes utilizadas en otras situaciones son elegir delta para que desaparezca cuando S va a 0 y gamma para que desaparezca cuando S va al infinito; estos darán la misma fórmula que las condiciones anteriores (en general, diferentes condiciones límite darán diferentes soluciones, por lo que se debe utilizar algún conocimiento financiero para elegir las condiciones adecuadas para la situación en cuestión).

La solución de la PDE da el valor de la opción en cualquier momento anterior . Para resolver la PDE reconocemos que es una ecuación de Cauchy-Euler que se puede transformar en una ecuación de difusión introduciendo la transformación de cambio de variable. ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\max\{S-K,0\}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=T-t\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \end{aligned}}}$

Entonces la PDE de Black-Scholes se convierte en una ecuación de difusión

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

La condición terminal ahora se convierte en una condición inicial. ${\displaystyle C(S,T)=\max\{S-K,0\}}$

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\left(e^{x}-1\right)H(x),}$

donde H ( x ) es la función escalón de Heaviside . La función de Heaviside corresponde a la aplicación de los datos de límites en el sistema de coordenadas S , t que requiere cuando t = T ,

${\displaystyle C(S,\,T)=0\quad \forall \;S<K,}$

suponiendo que ambos S , K > 0. Con esta suposición, es equivalente a la función max sobre todos los x en los números reales, con la excepción de x = 0. La igualdad anterior entre la función max y la función de Heaviside es en el sentido de distribuciones porque no se cumple para x = 0. Aunque sutil, esto es importante porque la función de Heaviside no necesita ser finita en x = 0, ni siquiera estar definida. Para obtener más información sobre el valor de la función de Heaviside en x = 0, consulte la sección "Argumento cero" en el artículo Función escalonada de Heaviside .

Usando el método de convolución estándar para resolver una ecuación de difusión dada una función de valor inicial, u ( x , 0), tenemos

${\displaystyle u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0}(y)\exp {\left[-{\frac {(x-y)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\right]}}dy,}$

que, después de alguna manipulación, produce

${\displaystyle u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{+})-KN(d_{-}),}$

¿Dónde está la función de distribución acumulativa normal estándar y ${\displaystyle N(\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right].\end{aligned}}}$

Estas son las mismas soluciones (traducción actualizada) que obtuvo Fischer Black en 1976. ^[6]

Al volver al conjunto original de variables se obtiene la solución indicada anteriormente a la ecuación de Black-Scholes. ${\displaystyle u,x,\tau }$

Ahora se puede realizar la condición asintótica.

${\displaystyle u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},}$

lo que da simplemente S al volver a las coordenadas originales.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N(x)=1.}$

Referencias

1. Øksendal, Bernt (1998). "Precio de opciones". Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (5ª ed.). Berlín: Springer. págs. 266–283. ISBN 3-540-63720-6.
2. Casco, John C. (2008). Opciones, futuros y otros derivados (7 ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-505283-9.
3. Shreve, Steven (2004). Cálculo estocástico para finanzas II (1ª ed.). Saltador. págs. 268-272. ISBN 0-387-40101-6.
4. Wilmott, Pablo; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995). "Métodos de diferencias finitas". Las matemáticas de los derivados financieros . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 135-164. ISBN 0-521-49789-2.
5. Chan, Raymond (3 de julio de 2021), Ecuaciones de Black-Scholes (PDF)
6. Véase la ecuación (16) en Black, Fischer S. (1976). "La fijación de precios de los contratos de productos básicos". Revista de economía financiera . 3 (1–2): 167–179. doi :10.1016/0304-405X(76)90024-6.