Ecuación diferencial de retardo

Tipo de ecuación diferencial

En matemáticas , las ecuaciones diferenciales de retardo ( DDE ) son un tipo de ecuación diferencial en la que la derivada de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Los DDE también se denominan sistemas de retardo de tiempo , sistemas con efecto posterior o tiempo muerto, sistemas hereditarios, ecuaciones con argumentos desviados o ecuaciones en diferencias diferenciales. Pertenecen a la clase de sistemas con estado funcional , es decir, ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que son de dimensión infinita, a diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) que tienen un vector de estado de dimensión finita. Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de los DDE: ^[1]

1. El efecto secundario es un problema aplicado: es bien sabido que, junto con las crecientes expectativas de desempeño dinámico, los ingenieros necesitan que sus modelos se comporten más como el proceso real. Muchos procesos incluyen fenómenos secundarios en su dinámica interna. Además, los actuadores , sensores y redes de comunicación que ahora participan en bucles de control de retroalimentación introducen tales retrasos. Finalmente, además de los retrasos reales, los retrasos se utilizan con frecuencia para simplificar modelos de orden muy alto. Entonces, el interés por los DDE sigue creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control.
2. Los sistemas de retardo todavía se resisten a muchos controladores clásicos : se podría pensar que el enfoque más simple consistiría en reemplazarlos por algunas aproximaciones de dimensión finita. Desafortunadamente, ignorar los efectos que están adecuadamente representados por los DDE no es una alternativa general: en la mejor situación (retrasos constantes y conocidos), conduce al mismo grado de complejidad en el diseño de control. En los peores casos (por ejemplo, retrasos variables en el tiempo), es potencialmente desastroso en términos de estabilidad y oscilaciones.
3. La introducción voluntaria de retrasos puede beneficiar al sistema de control . ^[2]
4. A pesar de su complejidad, las DDE a menudo aparecen como modelos simples de dimensión infinita en el área muy compleja de las ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

Una forma general de la ecuación diferencial de retardo de tiempo para es ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$$

${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Ejemplos

• Retraso continuo
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)}$$
• retraso discreto
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$
  para ${\displaystyle \tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.}$
• Lineal con retrasos discretos
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$
  dónde . ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$
• Ecuación del pantógrafo
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$
  donde a , b y λ son constantes y 0 < λ < 1. Esta ecuación y algunas formas más generales llevan el nombre de los pantógrafos de los trenes. ^{[3] [4]}

Resolviendo DDE

La mayoría de los DDE se resuelven paso a paso con un principio llamado método de pasos. Por ejemplo, considere el DDE con un solo retraso.

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

con la condición inicial dada . Entonces la solución en el intervalo viene dada por cuál es la solución al problema de valor inicial no homogéneo ${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,\tau ]}$ ${\displaystyle \psi (t)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$

${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$

Ejemplo

Supongamos y . Entonces el problema del valor inicial se puede resolver con integración, ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ ${\displaystyle \phi (t)=1}$

$${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,ds,}$$

es decir , donde la condición inicial está dada por . De manera similar, para el intervalo integramos y ajustamos la condición inicial, ${\displaystyle x(t)=at+1}$ ${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$ ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}}$$

es decir, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

Reducción a EDO

En algunos casos, las ecuaciones diferenciales se pueden representar en un formato que parece ecuaciones diferenciales de retardo .

• Ejemplo 1 Considere una ecuación
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).}$$
  Introducir para obtener un sistema de EDO. ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau }$
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.}$$
• Ejemplo 2 Una ecuación
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)}$$
  es equivalente a
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$
  dónde
  $${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .}$$

La ecuación característica

De manera similar a las EDO , muchas propiedades de las DDE lineales se pueden caracterizar y analizar utilizando la ecuación característica . ^[5] La ecuación característica asociada al DDE lineal con retardos discretos

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$

$${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$

Las raíces λ de la ecuación característica se denominan raíces características o valores propios y el conjunto de soluciones a menudo se denomina espectro . Debido a la exponencial en la ecuación característica, la DDE tiene, a diferencia del caso ODE, un número infinito de valores propios, lo que hace que el análisis espectral sea más complicado. Sin embargo, el espectro tiene algunas propiedades que pueden explotarse en el análisis. Por ejemplo, aunque hay un número infinito de valores propios, sólo hay un número finito de valores propios en cualquier franja vertical del plano complejo. ^[6]

Esta ecuación característica es un problema propio no lineal y existen muchos métodos para calcular el espectro numéricamente. ^{[7] [8]} En algunas situaciones especiales es posible resolver la ecuación característica explícitamente. Considere, por ejemplo, el siguiente DDE:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}$$

$${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.}$$

λ

$${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$

W _kk-función Lambert W

$${\displaystyle x(t)=e^{t\cdot W_{k}(-1)}.}$$

Otro ejemplo

El siguiente DDE: ^[9]

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$

Tener como solución en la función: ^[10] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}F(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}}$$

función Fabius ${\displaystyle F(t)}$

Aplicaciones

• Dinámica de la diabetes ^[11]
• Epidemiología ^{[12] [13]}
• Dinámica de la población ^{[14] [15]}
• Electrodinámica clásica ^[16]

Ver también

• Ecuación diferencial funcional
• Desigualdad de Halanay

Referencias

1. Richard, Jean-Pierre (2003). "Sistemas de retardo de tiempo: una descripción general de algunos avances recientes y problemas abiertos". Automática . 39 (10): 1667–1694. doi :10.1016/S0005-1098(03)00167-5.
2. Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh; Murray, Richard M. (2010). "Implementación simple basada en retrasos de controladores de tiempo continuo". Actas de la Conferencia Americana de Control de 2010. págs. 5781–5788. doi :10.1109/ACC.2010.5530439. ISBN 978-1-4244-7427-1. S2CID  1200900.
3. Griebel, Thomas (1 de enero de 2017). "La ecuación del pantógrafo en cálculo cuántico". Tesis de Maestría .
4. Ockendon, John Richard; Taylor, AB; Templo, George Frederick James (4 de mayo de 1971). "La dinámica de un sistema de captación de corriente para una locomotora eléctrica". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Matemáticas y Físicas . 322 (1551): 447–468. Código bibliográfico : 1971RSPSA.322..447O. doi :10.1098/rspa.1971.0078. S2CID  110981464.
5. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y Estabilización de Sistemas Temporizados. Avances en Diseño y Control. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. págs. 3–32. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
6. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y Estabilización de Sistemas Temporizados. Avances en Diseño y Control. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. pag. 9. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
7. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007). Estabilidad y Estabilización de Sistemas Temporizados. Avances en Diseño y Control. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. págs. 33–56. doi :10.1137/1.9780898718645. ISBN 978-0-89871-632-0.
8. Apeltanos, Pieter; Michiels, Wim (29 de abril de 2023). "Análisis y diseño de controladores de sistemas temporizados mediante TDS-CONTROL. Tutorial y manual". arXiv : 2305.00341 [matemáticas.OC].
9. Juan Arias de Reyna (2017). "Aritmética de la función de Fabius". arXiv : 1702.06487 [matemáticas.NT].
10. "A288163 - Oeis".
11. Makroglou, Atenea; Li, Jiaxu; Kuang, Yang (1 de marzo de 2006). "Modelos matemáticos y herramientas de software para el sistema regulador de glucosa-insulina y la diabetes: una descripción general". Matemática Numérica Aplicada . Artículos seleccionados, Tercera conferencia internacional sobre soluciones numéricas de Volterra y ecuaciones de retardo. 56 (3): 559–573. doi :10.1016/j.apnum.2005.04.023. ISSN  0168-9274.
12. Salpeter, Edwin E.; Salpeter, Shelley R. (15 de febrero de 1998). "Modelo matemático para la epidemiología de la tuberculosis, con estimaciones del número reproductivo y función de retraso de la infección". Revista Estadounidense de Epidemiología . 147 (4): 398–406. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN  0002-9262. PMID  9508108.
13. Kajiwara, Tsuyoshi; Sasaki, Toru; Takeuchi, Yasuhiro (1 de agosto de 2012). "Construcción de funcionales de Lyapunov para ecuaciones diferenciales de retardo en virología y epidemiología". Análisis no lineal: aplicaciones del mundo real . 13 (4): 1802–1826. doi :10.1016/j.nonrwa.2011.12.011. ISSN  1468-1218.
14. Gopalsamy, K. (1992). Estabilidad y oscilaciones en ecuaciones diferenciales de retardo de la dinámica de poblaciones. Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers. doi :10.1007/978-94-015-7920-9. ISBN 978-0792315940.
15. Kuang, Y. (1993). Ecuaciones diferenciales de retardo con aplicaciones en dinámica de poblaciones. Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0080960029.
16. López, Álvaro G. (1 de septiembre de 2020). "Sobre un origen electrodinámico de las fluctuaciones cuánticas". Dinámica no lineal . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . doi :10.1007/s11071-020-05928-5. ISSN  1573-269X. S2CID  210838940.

Otras lecturas

• Belén, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales de retardo. Matemática Numérica y Computación Científica. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Ecuaciones en diferencias diferenciales (PDF) . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. Nueva York, Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Sistemas lineales de retardo de tiempo y variación de parámetros: análisis, observación, filtrado y control. Avances en retrasos y dinámicas. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Conductor, Rodney D. (1977). Ecuaciones diferenciales ordinarias y de retardo. Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 20. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4684-9467-9. ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Ecuaciones diferenciales de retardo aplicadas. Encuestas y Tutorías en Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 3. Nueva York, NY: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-0-387-74372-1. ISBN 978-0387743714.

enlaces externos

• Saltar Thompson (ed.). "Ecuaciones diferenciales de retardo". Scholarpedia .